江西省南昌市新建区第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文Word含解析

江西省南昌市新建区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）
一、选择题（共12小题；每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）
1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是
A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数x，使
C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使
2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为　(　　)
A. a=-3,b=-4 B. a=-3,b=4
C. a=3,b=-4 D. a=3,b=4
3.若命题为假，且为假，则（ ）
A. 为假 B. 为假 C. 为真 D. 不能判断
4.若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D. 或
5.经过三点的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件
7.已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为 ( )
A. 2 B. 3 C. D.
8.函数的一个单调递增区间为 （ ）
A. B.
C. D.
9.函数在区间上的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
10.函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
11.已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为海里/小时， 当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，其余费用(无论速度如何)都是每小时元.如果甲乙两地相距海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（ ）
A. 海里/小时 B. 海里/小时
C. 海里/小时 D. 海里/小时
二、填空题（共4小题；每小题5分，共20分）
13.实数满足，则的值是_______.
14.设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a的值是_____．
15.动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为_________.
16.已知函数，现给出下列结论：
①有极小值，但无最小值
②有极大值，但无最大值
③若方程恰有一个实数根，则
④若方程恰有三个不同实数根，则
其中所有正确结论的序号为_________
三、解答题（共6小题；共65分）
17.求下列函数的导数
（1）；
（2）
18.设命题:，命题:关于的方程有实根.
（1）若为真命题，求的取值范围.
（2）若“”为假命题，且“”为真命题，求的取值范围.
19.在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．
20.设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数极值．
21.如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
22.已知：函数，其中．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
江西省南昌市新建区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）
一、选择题（共12小题；每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）
1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是
A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数x，使
C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定命题中是否含有特称量词，然后利用判断特称命题的真假．
【详解】对于A，锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；
对于B，为特称命题，当时，成立，所以B正确；
对于C，因为，所以C为假命题；
对于D，对于任何一个负数，都有，所以D错误．
故选B．
【点睛】本题以命题真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题的定义，难度不大，属于基础题．
2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为　(　　)
A. a=-3,b=-4 B. a=-3,b=4
C. a=3,b=-4 D. a=3,b=4
【答案】A
【解析】
由题意可知是实数,是纯虚数,
所以，解得，故选A．
3.若命题为假，且为假，则（ ）
A. 为假 B. 为假 C. 为真 D. 不能判断
【答案】B
【解析】
【分析】
根据为假可判断为真，再根据复合命题为假，即可得命题为假，判断各选项即可.
【详解】命题为假，则命题为真，
命题为假，与中至少有一个为假，
由为真，则为假，
对于A，此时，为真，所以错误.
因而B选项正确，
故选：B
【点睛】本题考查了命题真假的判断，复合命题真假性质应用，属于基础题.
4.若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.
【详解】曲线表示椭圆，
，
解得，且，
的取值范围是或，故选D．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.
5.经过三点的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入后求得圆的方程，再化为圆的标准方程即可.
【详解】因为圆经过，
设圆的方程为，
代入三个坐标可得，
解得
所以圆的方程为，
化为圆的标准方程可得，
故选：D.
【点睛】本题考查了经过三个点求圆的一般方程，圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题.
6.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.
【详解】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），
则，，
，
因此是的充分必要必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
7.已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为 ( )
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题设条件知：2×2b=2a+2c，
∴2b=a+c，
∴c2=+a2，
整理，得3c2-5a2-2ac=0，
∴3e2-2e-5=0．
解得e=或e=-1（舍）．
故选D．
考点：本题主要考查双曲线的几何性质；等差数列的性质．
点评：注意双曲线和椭圆的区别与联系．
8.函数的一个单调递增区间为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先可通过函数的解析式得出函数的导函数，然后令解出函数的增区间，最后将四个选项与函数的增区间进行对比即可得出结果．
【详解】因为函数，所以，
当，，，为增函数
所以当时，函数单调递增，故选A．
【点睛】本题考查了三角函数的相关性质以及导函数的应用，考查了如何利用导函数求函数的单调区间，考查推理能力，是简单题．
9.函数在区间上的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知，令得（舍去），当时，，当时，，因此在上函数只有一个极小值点，也是最小值点，所以．故选A．
考点：导数与函数的最值．
【名师点睛】(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上 必 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x) 不一定 有最大值与最小值.
(2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的 极 值;
②将f(x)的各 极 值与 f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
10.函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上偶函数，其图象关于轴对称，
因为，
所以排除选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，
当时，为增函数．
故选：D.
11.已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
由已知，取顶点，渐近线，则顶点到渐近线的距离为，解得.
12.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为海里/小时， 当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，其余费用(无论速度如何)都是每小时元.如果甲乙两地相距海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（ ）
A. 海里/小时 B. 海里/小时
C. 海里/小时 D. 海里/小时
【答案】C
【解析】
【分析】
根据燃料费用与速度关系，设出解析式，再代入速度为10海里/小时的费用25元，即可求得燃料费用与速度关系的解析式.根据速度与甲乙两地的路程，表示出航行所需时间，即可表示出总的费用.利用导数，求得极值点，结合导数符号判断单调性，即可求得极小值点，即为航速值.
【详解】因为海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，设船速为，燃料费用为元，比例系数为，
则满足 ，
当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，代入上式可得
，解得
其余费用(无论速度如何)都是每小时元，如果甲乙两地相距海里，则所需时间为小时.
则总费用为
所以，
令，解得，
当时，，所以在内单调递减，
当时，，所以在内单调递增，
所以当时，海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，
故选：C
【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，根据题意得函数关系式，由导数的单调性和极值点，属于中档题.
二、填空题（共4小题；每小题5分，共20分）
13.实数满足，则的值是_______.
【答案】1
【解析】
【分析】
将式子展开化简，结合复数运算及复数相等求得的值，即可求得的值.
【详解】实数满足，
化简可得，
所以，解得，
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查了复数相等的意义和简单应用，属于基础题.
14.设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a的值是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
切线的斜率就是函数在处的导数，据此可求．
【详解】，当，
又切线的斜率为，故，填．
【点睛】曲线在点处的切线方程是：，另外注意曲线在某点处的切线与过某点处的切线的区别．
15.动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程.
【详解】将化为，
动点到点的距离比它到直线的距离大1，
则动点到点的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，
该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，
设，
所以，解得，
所以抛物线方程为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用，抛物线标准方程的求法，属于基础题.
16.已知函数，现给出下列结论：
①有极小值，但无最小值
②有极大值，但无最大值
③若方程恰有一个实数根，则
④若方程恰有三个不同实数根，则
其中所有正确结论的序号为_________
【答案】②④
【解析】

所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；
因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或; 若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为②④
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
三、解答题（共6小题；共65分）
17.求下列函数的导数
（1）；
（2）
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）将函数式展开，由幂函数求导公式即可求解.
（2）根据导数除法运算法则，结合指数与三角函数求导公式即可求解.
详解】（1）函数，
展开化简可得，
由幂函数求导公式可得.
（2）
由导数除法运算法则，结合指数函数与三角函数求导公式可得
.
【点睛】本题考查了常见函数的求导公式简单应用，导数的除法运算，属于基础题.
18.设命题:，命题:关于的方程有实根.
（1）若为真命题，求的取值范围.
（2）若“”为假命题，且“”为真命题，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的性质及二次根式意义，可求得当为真命题时的取值范围.
（2）若“”为假命题，且“”为真命题，则命题与命题一真一假.分类讨论即可求得的取值范围.
【详解】（1）命题:，
则，
由二次函数性质可得，
而，
当为真命题，的取值范围为.
（2）命题:关于的方程有实根，
则，解得，
“”假命题，且“”为真命题，则命题与命题一真一假，
当命题为真，命题为假时，满足，此时无解；
当命题为真，命题为假时，满足，解得或
综上所述，的取值范围为.
【点睛】本题考查了由命题真假求参数的取值范围，复合命题真假判断及分类讨论思想的应用，属于基础题.
19.在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.
（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.
于是，.
.
由得，.
所以的斜率为或.
20.设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数极值．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）极小值
【解析】
【分析】
（Ⅰ）因，故由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，解得（因不在定义域内，舍去）当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数，故在处取得极小值
本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力
【详解】
21.如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
【答案】（1）或（2）
【解析】
【分析】
（1）设点到另一个焦点的距离为，由双曲线定义即可求得的值.
（2）由双曲线定义及，可证明，即为直角三角形，即可求得的面积.
【详解】（1）是双曲线的两个焦点，
则
设点到另一个焦点的距离为，
由抛物线定义可知，
解得或，
即点到另一个焦点的距离为或.
（2）是双曲线左支上的点，
，
则，
代入，
可得，
即，
所以为直角三角形，
所以.
【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于基础题.
22.已知：函数，其中．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）在，内是增函数，在，内是减函数．
（2）满足条件的的取值范围是．
【解析】
（1）解：．
当时，
．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：














↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（2）解：由条件可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当
即
在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．
- 20 -