2020年秋人教版数学八年级上册 14.2.1 平方差公式课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
14.2
乘法公式
14.2.1
平方差公式
葫芦岛第六初级中学
(a+b)(a?b)=
a2?b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
1.（a
–
b
)
(
a
+
b)
=
a2
-
b2
2.（b
+
a
)(
-b
+
a
)
=
a2
-
b2
★平方差公式
★变形
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
平方差公式是
多项式乘法
（a+b）（p+q）中，p=a，q=-b的特殊形式.
填一填：
12-x2
(-3+a)(-3-a)
(a-b)(a+b)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+x)(1-x)
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
(
0.3x)2-12
练一练：口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)=_________；
(2)(a-b)(b+a)=
__________；
(3)(-a-b)(-a+b)=
________；
(4)(a-b)(-a-b)=
_________.
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
计算：
(1)
(3x＋2
)(
3x－2
)
；
(2)（-x+2y)(-x-2y).
(2)
原式＝
(-x)2
-
(2y)2
＝x2
-
4y2.
解：（1）原式=(3x)2－22
=9x2－4.
解题技巧：应用平方差公式计算时，应注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
例1
【练习】利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
计算：
(1)
(y+2)
(y-2)
–
(y-1)
(y+5);
(2)
102×98
.
解：
(1)
(y+2)(y-2)-
(y-1)(y+5)
（2）102×98
=y2-4-y2-4y+5
=-
4y
+
1.
=y2-22-(y2+4y-5)
=9996.
=
（100＋2）(100－2)
=
1002-22
=
10
000
–
4
通过合理变形，
利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公
式运算条件的
乘法，按乘法
法则进行运算.
例2
【练习】计算：
(1)
51×49;
(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
.
解：
(1)
原式=（50＋1）(50－1)
=
502-12
=2500
–
1
=2499.
(2)
原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
=
9x2-16-6x2-5x+6
=
3x2-5x-10.
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－
x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
例3
对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－
(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的
倍数．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1，
n为正整数，
∴n2-1为整数.
解题技巧：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例4
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
A．4x2-1
B．2x2-1
C．4x-1
D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那
么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的
面积，差是________．
10
（1）(a+3b)(a-
3b)；
=4a2－9.
=4x4－y2.
解：原式=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2
.
=(2a)2－32
解：原式=(-2x2
)2－y2
解：原式=a2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
4.利用平方差公式计算：
5.计算：
20172
－
2016×2018.
解：
20172
－
2016×2018
=
20172
－
(2017－1)×(2017+1)
=
20172
－
（20172－12
)
=
20172
－
20172+12
=1.
6.利用平方差公式计算：
（1）（a-2)(a+2)(a2
+
4)
；
解：原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2)
(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=（x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，
其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
将x＝2代入上式，
得原式=2×22-1=7.
8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋
x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝
________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1－xn+1
-63
2n＋1－2　
x100－1　
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2　
a3－b3　
a4－b4　
平方差公式
内
容
注
意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
字母表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
应用时，紧紧抓住
“一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
课堂总结