北师大版九年级数学上册第三章概率的进一步认识复习学案（含答案）

概率的进一步认识
教学目标：
1、认识了解有关概率的基本概念，知道概率是描述不确定现象的数学模型．；
2、了解必然事件和不可能事件发生的概率，了解事件发生的可能性及游戏规则的公平性，会利用列表法和树状图求概率；
3、会利用频率估计概率，掌握利用频率估计概率的条件和方法；
教学过程：
1、基础知识
1.简单事件
（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定它一定会发生，这类事件称为必然事件；
（2）不可能事件：有一些事件我们事先能肯定它一定不会发生，这类事件称为不可能事件；必然事件与不可能事件都是确定的。
（3）不确定事件：
。
2.概率：
。P必然事件=1，P不可能事件=0，0＜P不确定事件＜1
3.概率的计算方法
（1）用试验估算：
（2）常用的计算方法：①
；②
。
4.频率与概率的关系：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率。
二、由树状图和列表确定概率（列举法）
应用条件及注意点：
（1）注意各种情况出现的可能性务必相同；
（2）其中某一事件发生的概率=；
（3）在考察各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏．(4)用列表法或树状图法求得概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．
例题：
例1
田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强.
(1).
如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？
(2).
如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）
解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜．
(2).当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：
齐王的马
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的马
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率
P=．
例2
“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同样手势不分胜负，假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人同种手势的概率和甲获胜的概率．（提示：为书写方便，解答时可以用S表示“石头”，用J表示“剪刀”，用B表示“布”）
解析：解法一：一次游戏、甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下图：
所有可能出的结果：（S，S）（S，J）（S，B）（J，S）（J，J）（J，B）（B，S）（B，J）（B，B）
从上面的树状图可以看出，一次游戏可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性相同．
所以，P（出同种手势）==
P（甲获胜）==
解法二：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下表：
S
J
B
S
（S，S）
（S，J）
（S，B）
J
（J，S）
（J，J）
（J，B）
B
（B，S）
（B，J）
（B，B）
以下同解法一
评注：（1）利用列表法、树状图法求概率必须是等可能事件.
（2）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能.
例3.有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：
①分别转动转盘A、B；
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．
(1).用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
(2).小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
解析：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
4
5
6
1
4
5
6
2
8
10
12
3
12
15
18
表格中共有9种等可能的结果，其中数字之积为3的倍数的有五种，数字之积为5的倍数的有三种，所以P（3的倍数）=；P（5的倍数）．
（2）这个游戏对双方不公平
∵小亮平均每次得分为2×=（分），
小芸平均每次得分为3×==1（分）．
∵≠1，∴游戏对双方不公平．
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．
考题在线
1.在电视台举行的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论．
（1）写出三位评委给出选手的所有可能的结论；
（2）对于选手，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？
答案：解：（1）画出树状图来说明评委给出选手的所有可能结果：
（2）由上可知评委给出选手所有可能的结果有种．
对于选手，“只有甲、乙两位评委给出相同结论”有种，即“通过通过待定”、“待定待定
通过”，所以对于选手“只有甲、乙两位评委给出相同结论”的概率是．
2.一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3，4，5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按这种方法能组成哪些两位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．
答案：解：方法一
3
4
5
3
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，3）
（5，4）
（5，5）
方法二
因此，能组成的两位数有：33，34，35，43，44，45，53，54，55．
组成的两位数有9个．
其中，十位上数字与个位上数字之和为9的两位数有两个，
（十位上数字与个位上数字之和为9的两位数）．
三、用频率估计概率
在考察中，每个对象出现的次数称为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率.当试验次数很大时，一个事件发生的频率稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
应用条件：
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．
3．利用频率估计出的概率是近似值.
课堂练习：
1．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（
）．
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是(
)．
A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；
B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；
C．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；
D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．
3．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（
）．
A．、
B．、
C．、
D．、
4．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（
）．
A．10粒
B．160粒
C．450粒
D．500粒
5．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是（
）．
A．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的；D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．
6．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（
）．
A．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；C．装入红球5个，白球13个，黑球2个；
D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个。
概率练习题
1、某市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是
（
）
A.
明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨
B.
明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨
C.
明天本市一定下雨
D.
明天本市下雨的可能性是70%
2、小明的书包里共有外观、质量完全一样的5本作业簿，其中语文2本，数学2本，英语1本，那么小明从书包里随机抽出一本，是数学作业本的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
3、某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答。在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（
）。
A.
B.
C.
D.
4、现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知直线上的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
5、一个均匀的立方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图是如图所示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
6、在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（
）
A、1
B、
C、
D、
7、某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是
。
8、如图是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形地面示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动，并随机停留在某块瓷砖上，则蚂蚁停留在黑色瓷砖上（不考虑停留在边界的情况）的概率是
．
9、一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率为
。
10、某班级中男生和女生若干个，若随机抽取1人，抽到男生的概率是4/5，则抽到女生的概率为
.
11、四张扑克牌的牌面如图①所示，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在桌面上。
（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是_____；
（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；反之，则为负。你认为这个游戏是否公平？请说明理由。
［综合测试］
1、北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”。现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片（卡片的形状大小一样，质地相同）放入盒子。（1）小玲从盒子中任取一张，取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是多少？（2）小玲从盒子中任取一张卡片，记下名字后放回，再从盒子中任取第二张卡片，记下名字。用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有可能情况，并求出小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率。
2、某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐．
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率．
[参考答案]
1.
D
2.
B
3.
C
4.
C
5.
C
6.
D
7.
1/3
8.
0.5
9.
1/6
10.
1/5
11.
（1）0.5；（2）这个游戏不公平。用树形图排列如图所示：
由上表可知，共有12种情况，每种情况发生的可能性相同，两张牌的牌面数字为偶数的情况有4种，而两张牌的牌面数字为奇数的有8种，因而抽到两张牌的牌面数字之和是偶数的概率为4/12＝1/3，抽到牌面数字之和为奇数的概率为8/12＝2/3，1/3＜2/3.负的概率大于取胜的概率，所以该游戏不公平。
［综合测试］
1、（1）1/3；（2）用树形图排列如下：
由上表可知，共有12种情况，每种情况发生的可能性相同，两次都取到欢欢的情况有1种，因此小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率为1/12.
2、解：（1）甲、乙、丙在A餐厅用餐的概率和在B餐厅用餐的概率都是1/2，
根据乘法原理：甲、乙、丙都在A餐厅用餐的概率或在B餐厅用餐的概率都是1/8，因此再根据加法原理可知甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为1/8+1/8＝1/4。
（2）甲、乙、丙都在A餐厅用餐的概率为1/8，因此甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率为1－1/8＝7/8。
乙出的手势
甲出的手势
1
2
3
4
5
6
A
B
积
转盘B的数字
转盘A的数字
甲
乙
丙
通过
通过
待定
通过
待定
通过
待定
待定
通过
待定
通过
待定
通过
待定
第二次
第一次
开始
3
3
4
5
（3，3）（3，4）（3，5）
4
3
4
5
（4，3）（4，4）（4，5）
5
3
4
5
（5，3）（5，4）（5，5）