5.5.2 简单的三角恒等变换（第三课时） 教案(word)

《5.5.2 简单的三角恒等变换（第三课时）》
教学设计
教学目标
通过例题，回顾本节学习过的公式及常用的数学思想方法，并用于解决简单的三角变换问题，发展学生逻辑推理与数学运算素养．
教学重难点
教学重点：体会三角函数公式之间的内在联系，并运用公式解决三角恒等变换问题．
教学难点：解决一些三角恒等变换的问题．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）归纳小结
问题1：两角差的余弦公式C(α-β)不仅是和（差）角公式的基础，也可以看成是诱导公式的一般化．你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导这些公式的过程中用到了哪些数学思想方法？
师生活动：学生思考并回答．
预设答案：
和（差）角公式、二倍角公式推导过程图：
C(α-β)
C(α+β)
C2α
β换成-β
β换成α
S(α-β)
S(α+β)
S2α
β换成-β
β换成α
T(α-β)
T(α+β)
T2α
β换成α
和(差)角公式与诱导公式的关系图：
C(α-β)
cos(2kπ+α)=cosα
-β=2kπ，k∈Z
cos(π+α)=-cosα
-β=π
cos(-β)=cosβ
α=0
cos(π-β)=-cosβ
α=π
cos(false-β)=sinβ
α=false
cos(false+α)=-sinα
-β=false
推导这些公式的过程中用到了特殊与一般、转化与化归的数学思想方法．
设计意图：回顾反思，让学生们再次感悟公式false的重要性．
例1 用false的正弦、余弦值表示false．
追问：请你观察例1中给出的问题，你能发现已知量与待求量之间的差异吗？能不能借助目前我们已经掌握的公式逐步消除或削弱这些差异？
预设的回答：变换对象中含有三个任意角，但如果把其中两个角的和或差看作一个整体，则可转化为两个角和或差的形式，可借助和角、差角公式变换求解．
设计意图：通过“差异”引导学生，鼓励他们设计变换过程，同时巩固复习本节学习的和角、差角公式并回顾推导这些公式时用到的数学思想方法，渗透整体意识、化归思想、换元法等，提升学生逻辑推理与数学运算素养．
解：false
false
false．
教师讲解：以上运算可以看出，只要掌握和角公式、差角公式，我们可以推出三个、四个甚至更多个任意角的和或差的正弦、余弦公式，它们的推导并不复杂但是形式非常复杂，因此没必要记忆它们，如果今后真的需要使用这些公式，临场推导即可．
问题2：我们运用公式进行三角恒等变换的一般思路是什么？
师生活动：学生思考并回答．
预设的答案：寻找变换对象和变换目标之间的差异(包括角度差异、名称差异、结构差异、次数差异等)，并以消除或削弱差异为目的选择适当的公式进行变换．
设计意图：引导学生回顾本节核心任务，即三角恒等变换的一般思路．
例2 观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝34，
sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝34，
sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝34．
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
追问1：你打算从哪些角度分析这些式子的相同点与不同点？试逐条分析，并写出一般规律．
预设的答案：可以从角、函数名、次数三个角度着手分析．角：每个式子均包括四个角，第一、第三个角相同；第二、第四个角相同，且比第一、三个角大false；函数名：每个式子均出现四个函数名，且从左向右均为正弦、余弦、正弦、余弦；次数：各式各项均为二次．
故可归纳出等式false．
设计意图：引导学生从不同角度对比分析，进行归纳推理．
追问2：仔细观察刚才发现的规律，你能找到等式两侧的差异吗？如何设计变换方案呢？
预设的答案：有两种方案．方案一：从角度差异着手，等式左侧有false两个角，而等式右侧没有角，可将false看作两角和展开，这样可减少左侧角的个数，缩小与右侧的差异；方案二：从次数差异着手，等式左侧均为二次，右侧为非零常数，零次，故采用降幂扩角公式(半角公式)，积化和差公式降低左侧次数，缩小与右侧的差异．
设计意图：引导学生发现“差异”，并设计变换过程．
解：反映一般规律的等式是false．
证法一：左边false
false
false右边．
证法二：左边false
false右边．
例3 要把半径为R的半圆形铁皮截成长方形，应怎样截取，才能使长方形面积最大？
追问1：如何将长方形的面积表示出来？
4380865104775
x
R
预设答案：如图，设出长方形的宽为x，利用长、宽、半径之间的等量关系可以表示出长false，则长方形的面积为false，然后利用函数知识求出最大值．
424561027305追问2：除了设长方形的长或宽之外，还有哪个量同样可以表示出长和宽？
预设答案：如图，可以用∠AOB表示出长和宽，从而解决面积问题．
解：如图，设圆心为O，长方形截面面积为S，∠AOB＝α，则
AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，
S＝(Rsinα)·2(Rcosα)
＝2R2sinαcosα＝R2sin2α．
当sin2α取最大值，即sin2α＝1时，长方形截面积最大，不难推出，α＝时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R2．
教师讲解：解出本题的关键是找到并设出false，以往我们处理类似问题时，往往都是设边长为基本量，这是因为当时我们并没有系统地学习关于角的理论和性质．学习本章之后，我们比较系统地学习了角的概念、度量、三角函数及其图象和三角恒等变换公式等，不难发现，角是与边同等重要的几何要素．因此，今后解决几何问题时，我们应该充分关注其中的角元素．
（二）作业布置
教科书习题5.5第15，16，20题．
（三）目标检测设计
1．用false表示false．
2．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θ cos θ＝sin2β，求证：4cos22α＝cos22β．
答案：1．false．
2．由于 sin θ＋cos θ＝2sin α，所以(sin θ＋cos θ)2＝4sin2 α，
又sin θ cos θ＝sin2β，因此，1+ 2sin2β ＝4sin2 α，2-cos2β＝2-2cos2α，
故4cos22α＝cos22β．
设计意图：通过若干题目，促使学生巩固本节所学公式，并能通过分析变换对象与变换目标的差异，寻找合适的切入点，设计变换过程，提升学生逻辑推理与数学运算素养．题组可为判断学生是否达到目标“借助和角、差角、倍角公式解决简单的三角恒等变换问题”提供评测依据．