5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时）教案(word)

《5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时）》
教学设计
教学目标
经历以和角、差角、倍角公式为依据对函数false进行恒等变换，最终研究其函数性质的过程，体会三角恒等变换的内容、思路和方法，并能解决简单的三角变换应用问题，发展逻辑推理素养与数学运算素养．
教学重难点
教学重点：以研究函数false的性质为载体，体会三角变换的内容、思路和方法．
教学难点：将函数false化为一个角的一种三角函数的形式．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）整体感知
引导语：上一课时我们运用已学过的三角公式完成了部分三角恒等变换的题目，这一节课我们将会继续沿用同样的思路和方法，解决一些应用性较强的问题．
（二）新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）y＝sin3 x＋3cos3 x；
（2）y＝3sin x＋4cos x．
追问1：什么样结构的函数便于求周期，最大值和最小值等性质？
预设答案：一个角的一种三角函数的形式，如false、false等形式．
追问2：前面学过的哪个公式可以实现和差的形式化为false的形式？
预设答案：和差角公式逆用即可实现这种转化．
追问3：在已知的函数式中如何出现两个角的正、余弦？
预设答案：通过对系数变形，只要构造出两个系数的平方和为1就可以解决问题．
预设答案：（1）y＝2(12sin3 x＋32cos3 x)＝2(sin3 xcosπ3＋cos3 xsinπ3)＝2sin3x＋π3．
因此，所求周期为2π3，最大值为2，最小值为－2．
（2）解法一：设3sin x＋4cos x＝Asin (x＋φ)，则
3sin x＋4cos x=Asinxcosφ+Acosxsinφ，
于是Acosφ=3，Asinφ=4．
于是A2cos2φ+A2cos2φ=25，所以A2=25．
取A=5，则cos φ＝35，sin φ＝45．
由y=5sin (x＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5．
解法二：3sin x＋4cos x＝A3Asinx＋4Acosx，
令3A2+4A2=1，解得A2=25，不妨取A=5，
则3sin x＋4cos x＝535sinx＋45cosx
令cos φ＝35，sin φ＝45．
则y=5sinxcos φ＋cosxsin φ=5sin (x＋φ)
故所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5．
图1
设计意图：由例1可以看到，通过三角恒等变换，我们可以把y＝asinx＋bcosx转化为y＝Asin(x＋φ)的形式，这个形式更有利于我们研究该函数的周期、单调区间、最值等性质，这个过程中蕴含了化归思想．因为这个变换过程引进了辅助角false，因此有时候false被称为辅助角公式，其中false，辅助角false满足：false．当我们运用这种方法变形，且false不是特殊角(即false角无法解出)时，应标注false的正弦值、余弦值或正切值以使表达更严谨．
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
追问1：要求最大面积，首先需要根据已知条件将矩形的面积表示出来，它的长和宽与角α有怎样的关系呢？怎样思考？
预设答案：宽false可以在直角false中用false表示出来，false，而false还是在直角false中用false表示出来，false在直角false中用false可以求出，因此，可得false．
追问2：得到这个函数解析式之后，根据我们已有的研究经验，将这个解析式转化为什么样的形式利于求出最值？
预设答案：先化为函数化为false的形式，再参照例1的解决方法变换为false的形式，就可以解决最值了．
预设答案：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α．在Rt△OAD中，DAOA＝tan 60°＝3．
所以OA＝33DA＝33BC＝33sin α，AB＝OB－OA＝cos α－33sin α．
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝cos α-33sin αsin α
＝sin α cos α－33sin2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α)
＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝1332sin 2α＋12cos 2α－36
＝13sin2α＋π6－36．
由0＜α＜π3，得π6＜2α＋π6＜5π6，所以
当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S最大＝13－36＝36．
因此，当α＝π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36．
设计意图：本题为三角函数的实际应用问题，为了降低难度，题目条件中直接给出了自变量false，另外，如果不给出自变量，学生很有可能得到与三角函数无关的函数解析式，这样方法可能会偏离三角函数；即使得到上面的三角函数式，如何转化也是一个难点，可以引导学生从“差异”入手，进行三角恒等变换；在变换过程中，化归与转化思想起到了至关重要的作用，化陌生为熟悉，化高次为一次，化多项为一项等等，教师可以以此为契机，渗透化归思想．
变式：计算下列式子的值：false．
预设答案：
false
设计意图：通过追问简要介绍以“次数差异”为突破口设计三角变换过程．示例中，false三个角显然有着密切联系，如false，false，false，那么我们应该将哪一个角化成另外两个角的和或差呢？这时就可以以“次数”作为决策依据，因为分子和分母中false的三角函数值次数较低，将它替换成false之后，分子分母各项均可化为二次，这样有利于变形化简．因此关注“次数差异”可以更精准地把握三角变换的方向．
（三）归纳小结
问题：本课时我们借助和角公式、差角公式及二倍角公式研究了形如或可化为形如false的函数的性质，解决方法是进一步转化为函数false的形式，那么，为什么要化成这种形式？变形依据是什么？你对三角恒等变换有什么新的体会？
预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．
预设答案：变换后的形式可以更加方便地求出函数的性质．变形依据主要是和、差角公式、二倍角公式等等．三角恒等变换需要仔细研究变换对象与变换目标之间的差异，除角度差异、结构差异、名称差异之外，还需关注次数差异．遇到求最值的问题，可以考虑选择合适的自变量与因变量，并构造函数加以解决．
设计意图：回顾反思，使学生归纳解决三角恒等变换问题的通用思路和常规方法．
（四）作业布置
教科书习题5.5第12，14，17题．
（五）目标检测设计
1．求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）y=5cos x－12sin x；
（2）y= cos x＋2sin x．
2．要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
预设答案：
1．（1）2π，13，－13．（2）2π，5，－5．
2．当矩形为正方形时，花坛的面积最大．
设计意图：通过若干题目，促使学生巩固先前学习的十一个公式(和角、差角、倍角公式)，进一步训练学生先寻找“差异”再制定变换方案的通用策略，熟练求解形如的false的相关性质，构建函数求解相关的最值问题，提升学生逻辑推理、数学运算素养及数学建模素养．