人教版九年级上册 数学 24.1.2垂直于弦的直径 教学设计

24.1.2垂直于弦的直径教学设计
教学目标：
1、知识与技能目标
通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
掌握辅助线的作法——连半径，作弦的垂线段。
2、过程与方法目标：通过定理探究、证明和应用的过程，发展学生的数学思维，
培养学生的观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力。
3、情感、态度与价值观
（1）通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；
（2）培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，从数学学习活动中获得成功的体验。
二、教学重点、难点：
重点：垂径定理及其应用
难点：区分垂径定理的题设与结论
三、教具准备：圆形纸片、三角板、圆规。
四、教学过程：
教学步骤
教学内容
设计意图
一、创设情境，激疑引趣
引例：你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥,
距今有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少？同学们，你能帮他求出来吗？学完了本节课的内容，我们一起来解决这个问题。
从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣。让学生体会生活中数学随处可见，体验数学如何用来解决生活中的实际问题。
二、实验观察，得出猜想
探究活动1
实验观察：让学生拿出准备好的圆形纸片的圆心。
从而得到圆的一条基本性质
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。
探究活动2
问题：问题：在圆形纸片上画一条直径CD，在直径CD上取一点E（点E与O不重合），过点E画一条弦AB，然后沿CD对折，观察线段AE是否等于BE？如何才能使得直径CD平分弦AB？你发现了什么结论？
(
A
B
C
D
E
O
)
提出猜想：根据以上的研究和图，我们可以大胆提出这样的猜想
(
⌒
⌒
⌒
⌒
)
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．
验证猜想：教师用电脑课件演示图中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性。通过回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图形。
在对圆是轴对称图形证明的基础上，通过折纸，体验垂径定理的形成过程，帮助学生分析垂径定理的条件和结论。同时又为学习推论作好准备。
三、证明猜想，归纳定理
1．证明猜想：
猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从等腰三角形和圆的对称性两方面寻找证明思路。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
在猜想之后对定理进行证明，这样可以加深学生对定理的理解。
四、新知强化，巩固定理
尝试练习
1．下列图形中能否得到AE=BE，为什么？
图1
图2
图3
图4
2．如图,已知⊙O的半径OB=5，OP⊥AB，垂足为P，且OP=3，则AB=______
.
用两个简单的练习题来进一步加深学生对垂径定理的理解。对运用垂径定理来解决赵州桥的问题打下基础。
五、探究活动
探究3：在圆上任意作一条弦AB，你能否找到平分弦AB的直径CD?
思考：此时AB与CD的位置关系？
想一想：
如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB
的直径CD一定会垂直弦AB吗？
(
CD⊥AB
)思考：已知CD是直径，且平分弦AB,能否得到
，且平分弧ACB及弧AB?
猜想：
CD是圆O的直径
AE=BE
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
通过动手作图，引导学生感受在圆O中平分弦AB的弦无数条，而满足过圆心O的弦只有一条，这一条弦就是直径。在接下来的想一想中，为了让学生对“弦AB不能是直径”的认识有深刻的印象，特意动手让学生画一画，用实践来体验为什么“弦AB不能是直径”，从而得出垂径定理的推论。
六、应用定理，解决问题
问题
：你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥,
距今有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
(
AB
︵
)
(
AB
︵
)分析：如图，用
表示主桥拱，设
所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O
作弦AB
的垂线OC，D为垂足，OC与AB
相交于点D，根据前面的结论，D
是AB
的中点，C是
的中点，CD
就是拱高．
方法总结：
1、作辅助线：作垂直、连半径
2、构造直角三角形
以垂径定理的图形为基本模型，根据
实际问题的条件，建立数学几何模型，来解决赵州桥问题。让学生了解到：在圆中，解决有关弦的问题是，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。
这种添加辅助线的方法需要不断强化，让学生真正掌握。
七、同类练习
3．已知⊙O中，直径EF⊥AB于C，若CF=4，AB=16，求⊙O的半径。
习题与赵州桥问题类似，通过这道题的练习，可以加深学生对这种模型的印象。达到进一步理解和掌握垂径定理解决实际问题的目的。
八、课堂练习
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（
）.
A.4
B.6
C.8
D.10
2．已知⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径。
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。那么AC＝BD吗？为什么？
方法总结：1.辅助线：作垂线、连半径。
2.找直角三角形
拓展提升：
5.
已知⊙O的直径是50
cm，⊙O的两
条平行弦AB=40
cm
，CD=48cm，请算一
算弦AB与CD之间的距离。
课堂练习的设置由易到难，以不同的形式来强化学生对垂径定理的认识。从练习中归纳总结解题的方法，从而使学生掌握此类问题的解题方法和技巧。
九、课堂小结
1．定理的三种基本图形：如图1、2、3
2．计算中三个量的关系：
如图4：
。
。
3．证明中常用的辅助线——作弦心距。
（图1）
（图2）
（图3）
（图4）
总结方法，进一步加深学生运用垂径定理解决问题方法的印象。在今后运用垂径定理解决问题中做到心中有数。