苏科版八年级上册数学 3.4数学活动 探寻勾股数 教案

教学内容 探寻“勾股数”
教学目标 知识与能力 1．理解勾股数定义，了解其中规律，会判断和构造勾股数
过程与方法 2．经历探索分析的过程，从特殊到一般发现部分勾股数的内在规律
情感与态度 3．感受数学规律的内在奥秘，激发探索数学的兴趣
教学重点 勾股数的特征
教学难点 利用勾股数特征构造勾股数
教具学具 多媒体课件 白板
教学过程 教师活动 学生活动 设计意图

一、
数学史，
引入新课
一、勾股定理史
中国古代
勾股定理在初中课本中就学习过，其内容如下：“在直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两直角边（短者叫勾，长者叫股）平方的和．”
约在公元前100年成书的我国现存最古的一部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了“勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给出了普遍的勾股定理．正因为商高首先提出了勾股定理，不少人把该定理称之为商高定理．
国外
在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、埃及、印度的数学家．公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前582年——前497年）是西方第一个证明勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理。
阅读PPT，感受勾股定理。

生活中蕴藏着很多有趣的知识，从中外数学史引入，鼓励学生善于观察，激发探索学习的乐趣。

二.
师生互动
探索研究
二、数学活动探索
1.活动引入
满足关系的3个正整数，
问题：
1.勾股数有多少？
2.请尽可能多地写出来。
3.勾股数有规律吗？
2.活动1
设是一组勾股数
将学生所写的勾股数随机选取，放在屏幕上。
为了便于研究勾股数，相同整数倍的勾股数，研究时只选择最小的那一组，下面来选取合适的勾股数。
提问：请观察勾股数组，有何发现？
活动2
设是一组勾股数，填表
表1
表2
规律一
表1，a为奇数，正整数b,c之间的关系： b=c-1
a,b,c之间的关系： a2＝b＋c
规律二
表2，a为偶数 2n ，
正整数b,c之间的关系： c-b=2
a,b,c之间的关系： b= n?-1 c= n?+1
活动3 构造勾股数
例 3，4，5是一组勾股数，那么
　　6，8，10；9，12，15也是一组勾股数
方法1：如果a，b，c 为一组勾股数，则na，nb，nc 也是一组勾股数，其中n为自然数。
方法2：构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“两个数的平方和（或差）等于第三个数的平方”，即满足以下形式：
要满足上述形式不妨从乘法公式入手.我们已经知道：
③
如果等式右边也能改写成，即可。
思考：
一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股中的最大的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗？
齐答勾股数概念
学生随机作答，并展出，
问题3进行探索。
学生组内分析，提出探索方法。
与学生一起选择勾股数组进行探究。
学生根据奇数，偶数的角度去研究。
学生小组提出所发现的规律
已知勾股数再构造勾股数，利用倍数关系。
教师引导，帮助学生改写4xy,使得它是平方形式即可。
学生思考，合作交流完成解答
回顾勾股数概念
三个问题，逐层递进，引出本节课的研究内容勾股数特征。
从特殊的勾股数慢慢发现其中的规律。
去除整数倍的勾股数，更利于探究。
通过表1和2的分类，慢慢得到勾股数的两个特征。
揭示规律一
如果a 是一个大于1的奇数，b，c 为两个连续自然数，且有
a2＝b＋c ，则为一组勾股数．如3、4、5是一组勾股数，且有32＝4＋5，

规律二
a为偶数2n,
正整数b,c之间的关系：
c-b=2
a,b,c之间的关系：
b= n?-1
c= n?+1
方法1，学生可以快速构造
方法2，很多学生可以理解乘法公式的变形，但是对于改写4xy的思想存在问题，利用整体换元的方式，引导。
利用方法2可以构造更多勾股数。
利用所学知识，完成思考题，对前面的再巩固

三、
归纳总结
知识回顾

课堂小结
白板上显示三个规律
学生回顾，积极思考，踊跃发言。

培养学生归纳总结的能力。
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