北师大版数学九年级下册 2.3 确定二次函数的表达式 课件（31张ppt)

第二章 二次函数
第3节 确定二次函数的表达式
1
课堂讲解
用一般式(三点式)确定二次函数表达式
用顶点式确定二次函数表达式
用交点式确定二次函数表达式
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的表达式，那么要求一个二次函数的表达式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.
1
知识点
用一般式（三点式）确定二次函数的表达式
知1－讲
已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；
而用一般式求待定系数要经历以下四步：
第一步：设一般式y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；
第四步：写出函数表达式.
例1 如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，
(2，7)三点，试求这个二次函数的表达式.
知1－讲
解：设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)
三 点，得关于a，b，c的三元一次方程组
∴所求二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5.
解得
1.设一般式
2.点代入
一般式
3.解得方程组
4.写出表达式
1 (1)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)
两点，求这个二次函数的表达式；
知1－练
将点(1，1)和(2，3)的坐标分别代入表达式
y＝x2＋bx＋c，得
解这个方程组，得
∴所求二次函数的表达式为y＝x2－x＋1.
解：
(2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个
求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的
二次函数与第(1)题相同.
知1－练
将点(2，3)更换为点(0，1)．将点(1，1)和(0，1)的坐标分别代入表达式y＝x2＋bx＋c，得
解这个方程组，得
∴所求二次函数的表达式为y＝x2－x＋1.
解：
2 已知二次函数的图象经过点(0, 2), (1，0)和(-2,
3)，求这个二次函数的表达式.
知1－练
设所求的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，由已知，将三点(0，2)，(1，0)，(－2，3)的坐标分别代入表达式，
得 解这个方程组，得
∴所求二次函数的表达式为
y＝－ x2－ x＋2.
解：
3 (中考·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一
个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋
1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于
二次函数的值．
知1－练
知1－练
(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，
B(0，－1)和C(4，5)三点，∴
∴a＝ ，b＝－ ，c＝－1.
∴二次函数的表达式为y＝ x2－ x－1.
(2)当y＝0时， 得 x2－ x－1＝0，
解得x1＝2，x2＝－1，
∴点D的坐标为(－1，0)．
解：
知1－练
(3)如图．
当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值．
【中考·黑龙江】如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上,
∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝－ x2＋bx＋c经过B，D两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BD，点P是抛物线上一点，
直线OP把△BOD的周长分成
相等的两部分，求点P的坐标．
知1－练
4
知1－练
(1)∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到 Rt△COD，
∴CD＝AB＝1，OA＝OC＝2，
则点B(2，1)，D(－1，2)，代入表达式，
得： 解得
∴二次函数的表达式为y＝－ x2＋ x＋ ；
解：
知1－练
(2)如图，设OP与BD交于点Q.
? ∵直线OP把△BOD的周长分
成相等的两部分，
且OB＝OD，
∴DQ＝BQ，即点Q为BD的中点，
∴点Q的坐标为
设直线OP对应的函数表达式为y＝kx，
将点Q的坐标代入，得 k＝ ，
解：
知1－练
解得k＝3，
∴直线OP对应的函数表达式为y＝3x，
代入y＝－ x2＋ x＋ ，
得－ x2＋ x＋ ＝3x，
解得x＝1或x＝－4(舍去)．
当x＝1时，y＝3，
∴点P的坐标为(1，3)．
2
知识点
用顶点式确定二次函数表达式
知2－讲
二次函数 y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k ，
顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另
一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
例2 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，
3)求这条抛物线的表达式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ， ∴这条抛物线的表达 式为：y= (x-4)2-1.
知2－讲
总 结
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通
常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
知2－讲
1 已知二次函数图象的顶点坐标是(-1，1)，且经过
点(1，-3)，求这个二次函数的表达式.
知2－练
设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k .
∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，1)，
∴h＝－1，k＝1.
又∵二次函数的图象经过点(1，－3)，
代入得－3＝a(1＋1)2＋1，解得a＝－1 .
∴所求二次函数的表达式为
y＝－(x＋1)2＋1＝－x2－2x .
解：
2 已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，
E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其
中三个点．
(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2
＋k(a>0)上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
知2－练
知2－练
(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1.
若点C(－1，2)在抛物线上，
则点C关于直线x＝1的对称点(3，2)也在这条抛
物线上．
∴C，E两点不可能同时在抛物线
y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
证明：
知2－练
(2)点A不在抛物线上．
理由：若点A(1，0)在抛物线y＝a(x－1)2＋k
(a＞0)上，则k＝0.
∴y＝a(x－1)2(a＞0)．
易知B(0，－1)，D(2，－1)都不在抛物线上．
由(1)知C，E两点不可能同时在抛物线上．
∴与抛物线经过其中三个点矛盾．
∴点A不在抛物线上．
解：
知2－练
由(2)可知点A不在抛物线上．结合(1)的结论易知B，D一定在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
①若点C(－1，2)在此抛物线上，
则 解得
②若点E(4，2)在此抛物线上，
则 解得
综上可知， 或
解：
知3－讲
3
知识点
用交点式确定二次函数解析式
例3已知抛物线与x 轴的交点是A（-2，0），B（1，0），
且抛物线经过点C（2，8），求该抛物线对应的函数表达式。
导引：∵抛物线与x 轴的交点是A（-2，0），B（1，0），
∴可设抛物线对应的函数表达式为y=a（x+2）（x-1）.
又∵抛物线经过点C（2，8），把它代入y=a（x+2）（x-1）中，得8=a（2+2）×（2-1），∴ a=2.故抛物线对应的函数表达式为y=2（x+2）（x-1）， 即y=2x2+2x-4.
总 结
知3－讲
（1）本题第（2）问是一个开放性题，平移
方法不唯一，只需将原顶点平移成横纵
坐标互为相反数即可.
（2）已知图象与x轴的交点坐标，通常选择
交点式.
【中考·杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数
y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同
一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜
n，求x0的取值范围．
知3－练
1
知3－练
(1)由函数y1的图象经过点(1，－2)，
得(a＋1)(－a)＝－2，解得a1＝－2，a2＝1.
当a＝－2时，函数y1的表达式为
y＝(x－2)(x＋2－1)，
即y＝x2－x－2；
当a＝1时，函数y1的表达式为y＝(x＋1)(x－2)，
即y＝x2－x－2.
综上所述，函数y1的表达式为y＝x2－x－2.
解：
知3－练
(2)当y1＝0时，(x＋a)(x－a－1)＝0，
解得x＝－a或x＝a＋1，
所以y1的图象与x轴的交点是
(－a，0)，(a＋1，0)．
当y2＝ax＋b的图象经过(－a，0)时，
－a2＋b＝0，即b＝a2；
当y2＝ax＋b的图象经过(a＋1，0)时，
a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a.
知3－练
(3)由题易知y1的图象的对称轴为直线x＝ .
当P在对称轴的左侧(含顶点)时，
y随x的增大而减小，
因为(1，n)与(0，n)关于直线x＝ 对称，
所以由m＜n，得0＜x0≤ ；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得 ＜x0＜1.
综上所述，x0的取值范围为0＜x0＜1.
设
列
解
答
步骤
类型
一般式（三点式）
顶点式
交点式
待定系数法求二次函数表达式
1
知识小结
谢谢！