(共29张PPT)
第二章
二次函数
第5节
二次函数与一元二次方程
第1课时
二次函数与一元二
次方程间的关系
1
课堂讲解
二次函数与一元二次方程之间的关系
二次函数图象与x轴的交点个数问题
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
一元二次方程根的判别式：
式子b?-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通
常用希腊字母Δ表示.
(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.
(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
1
知识点
二次函数与一元二次方程之间的关系
1.一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什
么关系?
2.你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx
+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系?
知1－导
问
题
知1－讲
以
40
m
/s的速度将小球沿与地面成
30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度
h
(单位:m)与飞行时间
t
(单位:s)之间具有关系：
h=
20t–5t2
.
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到
15
m?
若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到
20
m?
若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到
20.5
m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
知1－讲
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t
－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得
到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，
则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，
说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
解：（1）当h=15时，20t-5t2=15，
t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3.
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
知1－讲
t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5，
t2-4t+4.1=0，
因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.
故球的飞行高度达不到20.5m.
知1－讲
（4）当h=0时，20t-5t2=0，
t2-4t=0，
t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
知1－讲
归
纳
从以上可以看出：
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，
就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x
的值.就是求方程3=-x2+4x的解.
例如,解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2
-4x+3的值为0,求自变量x的值.
知1－讲
归
纳
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
例1二次函数y=x2-6x+n
的图象如图所示，
若关于x
的一元二次方程x2-6x+n=0
的一个解为x1=1，
则另一个解x2=
.
知1－讲
5
总
结
知1－讲
对称轴法求一元二次方程的根：根据一元二次方程与二次函数的关系，当已知抛物线与x
轴一个公共点的坐标和对称轴时，可根据轴对称的性质求出抛物线与x
轴另一个公共点的坐标，从而求得对应一元二次方程的根.
一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h
(m)可以用公式h
=
－4.9t2
＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
(1)画出函数h
=
－4.9t2
＋19.6t的图象；
(2)当t=1,
t=2时，足球距地面的高度分别是多少？
(3)方程－4.9t2
＋19.6t
=
0,
－4.9t2
＋19.6t
=
14.7的根的
实际意义分别是什么？
你能在图象上表示出来吗？
知1－练
1
(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t
的图象如图．
(2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7；
当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
解：
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0
m时经过的时间；
方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根的实际意义是当足球
距地面的高度为14.7
m时经过的时间．
方程－4.9t2＋19.6t＝0的根在图象上表示出来如图
中O，A两点；
方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根在图象上表示出来如
图中M，N两点．
知1－练
观察图象(如图)填空：
知1－练
2
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有______个交
点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式
Δ________0；
(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有_____个交
点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式
Δ_______0；
(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴_______公共点，
则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ_____0.
知1－练
两
＞
一
＝
没有
＜
3
(中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象
如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
知1－练
D
2
知识点
二次函数图象与x轴的交点个数问题
知2－导
二次函数y
=x2+x-2,y=x2-6x+9,y
=x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程
x2+x-2=0
,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
知2－导
（1）2个，1个，0个.
（2）2个根，2个相等的根，无实数根.
（3）
二次函数
y=x2+x-2
y=x2-6x+9
y=x2-x+1
与x轴交点坐标
(-2,0),(1,0)
(3,0)
无交点
相应方程的根
x1=-2,x2=1
x1=x2=3
无实根
解：
归
纳
知2－讲
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知,
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公
共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,
函数的值为0,因此x=x0就是方程ax2+bx+
c=0的一个根.
知2－讲
(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
与x轴的公共点的个数
一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
知2－讲
例2如果函数y=kx2-kx+3x+1
的图象与x
轴有且只有一个交点，那么交点坐标是
.
抛物线y＝x2＋bx＋1与x轴只有一个公共点，则b等于( )
A．2
B．－2
C．±2
D．0
知2－练
1
C
【中考·枣庄】已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )
A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
知2－练
2
D
【中考·泰安】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
知2－练
3
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
B
一元二次方程
二次函数
一元二次方程的根
与x轴交点情况
y=0
解方程
图象
由“数”
到“形”
由“形”
到“数”
1
知识小结
【中考?徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
易错点：混淆“与x轴交点”与“与坐标轴交点”而致错
2
易错小结
A
谢谢！(共29张PPT)
第二章
二次函数
第5节
二次函数与一元二次方程
第2课时
用二次函数的图象解
一元二次方程（不等式）
1
课堂讲解
用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次不等式的解集
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
如图是函数y=x2+2x-10的图象.由图象可知方程有
两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.
(1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索：
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
因此，x=-4.3是方程的一个近似
根.
另一个根可以类似地求出：
因此，x=2.3是方程的另一个近
似根.
用一元二次方程的求根公式验
证一下，看是否有相同的结果.
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
1
知识点
用图象法求一元二次方程的近似解
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
(2)确定二次函数的图象与x轴交点的个数，看交点的横坐
标在哪两个整数之间；
知1－讲
知1－讲
(3)列表，在两个整数之间取值，并用计算器算出对应的
y值，当x由x1变到x2，对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或
y1＜0，y2＞0)且|y1|≠|y2|时，x1，x2中必有一个是方程
的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程
的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．
导引：当
y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横
坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如
图所示．
例1
利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－
3＝－8的近似根．
知1－讲
解：在平面直角坐标系内作函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图，
由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋
2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐
标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间．
(1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索：
因此x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根．
知1－讲
x
－1.1
－1.2
－1.3
－1.4
－1.5
y
－6.41
－6.84
－7.29
－7.76
－8.25
(2)另一根可以类似地求出：
因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根．
知1－讲
x
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
y
－6.41
－6.84
－7.29
－7.76
－8.25
解：先把方程化成x2＝－2x＋3.
如图，在同一直角坐标系中
分别画出函数y＝x2和
y＝－2x＋3的图象，得到它
们的交点为(－3，9)和(1，1)，
则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
例2
利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根．
知1－讲
总
结
知1－讲
利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤：
(1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式；
(2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图象；
(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情
况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋
c＝0的根．
【中考·包头】已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )
A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
知1－练
1
D
小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个解．
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、
因式分解法)求解．
知1－练
2
(1)公式法：
∵a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.
∴
即x1＝
x2＝
.
知1－练
解：
(2)解法二：利用二次函数图象与x轴的交点求解．如
图①，把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函数y
＝__________的图象与x
轴交点的横坐标x1，x2，
则x1，x2就是方程的解．
知1－练
x2－x－1
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝
________的图象与直线
y＝_______的交点的横坐标；
②在图②中画出这两个函数
的图象，用x1，x2在x轴上
标出方程的解．
知1－练
x2－x
1
②略．
解：
2
知识点
用图象法求一元二次不等式的解集
知2－讲
根据图象可直观地回答使得y的值大于、等于或小
于零时x的取值(范围)，具体如下表所述：
图象
函数值
自变量的取值(范围)
y＞0
x＜x1或x＞x2
y＝0
x＝x1或x＝x2
y＜0
x1＜x＜x2
y＞0
x1＜x＜x2
y＝0
x＝x1或x＝x2
y＜0
x＜x1或x＞x2
知2－讲
例3
画出抛物线y＝－x2＋4x＋5，观察抛物线，回答下
列问题：
(1)x为何值时，函数值y＞0?
(2)x为何值时，函数值y＝0?
(3)x为何值时，函数值y＜0?
导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与x
轴和y轴的交点，当函数值y＞0时，对应图象上的点
在x轴上方；当函数值y＝0时，对应图象上的点位于
x轴上；当函数值y＜0时，对应图象上的点在x轴的
下方．
知2－讲
解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5＝－(x2－4x＋4)＋9＝
－(x－2)2＋9.∴抛物线的顶点坐标
为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝
0，∴x1＝5，x2＝－1.∴抛物线与x
轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的
交点为(0，5)．由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为
(4，5)．在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图
象．观察图象会发现：(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0
总
结
知2－讲
(1)作抛物线y＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＞0)一般采用“五点法”，
而这“五点”一般为抛物线顶点，与x轴的两交点，与y
轴的交点及它关于对称轴的对称点．
(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，
一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，抛物线
在x轴上方的部分，对应的函数值大于0；抛物线在x
轴下方的部分，对应的函数值小于0；抛物线与x轴的
公共点，对应的函数值等于0.
知2－讲
例4
〈齐齐哈尔〉抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴
为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在(－3，0)和
(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结
论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；
④点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，
则y1＜y2.正确结论
的个数是( )
A．1
B．2
C．3 D．4
C
知2－讲
导引：观察图象可知二次函数对应的一元二次方程有两个
不相等的实数解，所以Δ＝b2－4ac>0，即4ac－b2<
0，故①正确；因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，
所以－
＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正确；
由二次函数图象的对称性可知抛物线与x轴的另一
个交点位于(0，0)和(1，0)之间，所以当x＝1时，y
＜0，即a＋b＋c<0，故③正确；由于二次函数在对
称轴两侧的增减性不一样，当x1当－1y2；当x1＜－1＜x2且－1－x1＝
x2－(－1)时，y1＝y2，所以④错误．所以此题正
确的结论有3个．故选C.
【中考·烟台】如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )
A．b2＞4ac
B．ax2＋bx＋c≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)
在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为
－5和－1
知2－练
1
C
利用图象求一元二次方程的根的方法：直接画出二
次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐
标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．其步骤一般为
(1)作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
(2)观察图象与x轴交点的个数；
(3)若图象与x轴有交点，估计出图象与x轴交点的横坐标
即可得到一元二次方程的近似根．
1
知识小结
图象
函数值
自变量的取值(范围)
y＞0
x＜x1或x＞x2
y＝0
x＝x1或x＝x2
y＜0
x1＜x＜x2
y＞0
x1＜x＜x2
y＝0
x＝x1或x＝x2
y＜0
x＜x1或x＞x2
用图象法求x2－x＋
＝0的解．
易错点：不考虑方程根的情况盲目作图象而致错
2
易错小结
画出抛物线y＝x2－x＋
(如图)．由图象可知抛物线与x轴的交点为(
，0)，所以原方程的解为x1＝x2＝
解：
谢谢！
