2.1 等式性质与不等式性质 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版（2019）
必修一
2.1
等式性质与不等式性质
一、单选题
1.已知
，且
.下列不等式中成立的是（???
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
2.若
，则一定有（???
）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
3.设
，
，则A,B
的大小关系是（
????）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
4.下列命题中：①
，
；②
，
；③
；④
；正确命题的个数是（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.已知
,
其中
,则m,n的大小关系为(???
)
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?大小不确定
6.若a、b、c，d∈R，则下面四个命题中，正确的命题是（?
）
A.?若a>b，c>b，则a>c?????????????????????????????????????????B.?若a>－b，则c－aC.?若a>b，则ac2>bc2???????????????????????????????????????????D.?若a>b，c>d，则ac>bd
7.若实数
，
满足
，
，则
的取值范围是（????
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
8.若实数
，
满足
，则
的最小值是（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
9.若
，
，则
与
的大小关系为（???
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?随x值变化而变化
10.已知
，则
，
，则
和
的大小关系正确的是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?与
和
的取值有关
11.已知
，则
的值(??
)
A.?都大于1??????????????????B.?都小于1??????????????????C.?至多有一个不小于1??????????????????D.?至少有一个不小于1
12.设
，且
，则下列四个数中最大的是（
??）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
13.若a，b∈R，①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|＞b，则a2＞b2；③a+b≥2
，其中说法正确的个数为（　　）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
二、多选题
14.对于实数
、
、
，下列命题中正确的是（???
）
A.?若
，则
；????????????????????????????????????B.?若
，则
C.?若
，则
?????????????D.?若
，
，则
，
三、填空题
15.设
，
，则
与
的大小关系是________．
16.如果a>b
，
给出下列不等式：
①
；②a3>b3；③
；④2ac2>2bc2；⑤
>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
17.已知
，类比于我们学习过的“糖水加糖甜更甜”的原理，提炼出“向一杯糖水中加入水，则糖水变淡了”的不等关系式为________
四、解答题
18.设
，且
.
（1）求证：
；
（2）若
，求证：
.
19.??
（1）设
，试比较a与b的大小；
（2）已知
且
，试比较
与b的大小.
20.设
.
（1）当
时，比较
的大小；
（2）当
时，比较
的大小.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】
，且
，
，
.
故答案为：B.
【分析】由
和
，得
，根据不等式的性质可得选项.
2.【答案】
C
【解析】由题可得
,则
,
因为
,
则
,
,则有
,
所以
,即
故答案为：C
【分析】由题,可得
,且
,即
,整理后即可得到作出判断.
3.【答案】
B
【解析】因
,故
,
故答案为：B.
【分析】利用a,b的取值范围，再利用同号为正，从而求出
,进而推出
,再利用完全平方关系式和左右两边同时平方，从而选出A,B的大小关系。
4.【答案】
C
【解析】①
，
由不等式的加法得
，所以该命题正确；
②
，
是错误的，如：
，满足已知，但是
不满足
，所以该命题错误；
③
，所以
，所以该命题正确；
④
所以
，所以该命题正确.
故答案为：C
【分析】①利用不等式的加法法则判断；②可以举反例判断；③利用不等式性质判断；④可以利用作差法判断.
5.【答案】
C
【解析】
，所以，
．
故答案为：C．
【分析】作差法，用
，判断其符号.
6.【答案】
B
【解析】解：对于
，例如
，
，
，则不满足，故
错误，
对于
，若
，则
，则
，成立，故
正确，
对于
，若
，则不成立，故
错误，
对于
，例如
，
，
，
，则不满足，故
错误，
故答案为：
．
【分析】对于
，
，
举反例即可判断，对于
，根据不等式的性质即可判断．
7.【答案】
A
【解析】解:∵
,∴
,∴
.
又∵
,∴
,
∴
的取值范围(-2,3).
故答案为：A.
【分析】先求出-2b的范围,再根据不等式的性质求出a-2b的范围.
8.【答案】
B
【解析】解:∵
,∴由
,
得
,当且仅当
时等号成立,
∴
的最小值是
.
故答案为：
.
【分析】由
,利用均值不等
,可求出
的最小值.
9.【答案】
A
【解析】因为
，
，所以，
，故
。
故答案为：A。
【分析】利用作差法结合平方数与0的大小关系，从而比较出
与
的大小。
10.【答案】
A
【解析】∵
，
∴
，∴
。
故答案为：A。
【分析】作差
与0比较后可得结论。
11.【答案】
D
【解析】解:令
，则
，排除A，B.
令
，则
，排除C.
对于D，假设
，则
，
相加得
，矛盾，
故答案为：D.
【分析】取特殊值，结合不等式的性质逐一排除即可.
12.【答案】
B
【解析】解：∵0∴a+a?∴
∵a∴
，
即：???
?∴
，
即：
?∵??
∴即
?又
?∴
??
?∴
，
即：
∴
∴
故答案为：B
【分析】解答此题的关键是熟记不等式的性质及作差比较大小的方法，然后列式比较即可。
13.【答案】
A
【解析】解：
，
时，得出
，
判断①错误；
，且
时，得出
，
判断②错误；
只有
，
时，
成立，
判断③错误．
故答案为：
．
【分析】根据不等式的性质及举反例的方法可判断.
二、多选题
14.【答案】
B,C,D
【解析】若
，则由
得
，A不符合题意；
若
，则
，
　
，B符合题意；
若
，则
，∴
，∴
，C符合题意；
若
，且
同号时，则有
，因此由
得
，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】由不等式的性质判断．
三、填空题
15.【答案】
【解析】
，
，
，
，且
，
，
.
故答案为：
.
【分析】首先分别求出
和
平方各是多少，然后判断出
和
的平方的大小关系，即可判断出
和
的大小关系
16.【答案】
②⑥
【解析】令
，
，排除①，
，排除③选项，
，排除⑤.当
时，排除④.由于幂函数
为
上的递增函数，故
，②是一定成立的.由于
，故
.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对
分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
17.【答案】
【解析】质量为
克的糖水中含有
克糖,质量百分比为
,向其中加入
克水后,
质量百分比变为
,糖水被稀释了,则
.
【分析】质量为
克的糖水中含有
克糖,向其中加入
克水后,
质量百分比变小,可得出不等式.
四、解答题
18.【答案】
（1）证明：由
?
?，
（当且仅当时
取等号）
故有
（2）解：
由
，有
故当
时，
【分析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得证.（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可证出.
19.【答案】
（1）解：
,所以
.
（2）解：因为
且
,所以
,
则
,所以
.
【分析】(1)利用作差法求
的正负即可判断(2)利用作差法换元求
的正负即可.
20.【答案】
（1）解：当
时，
，
则
，
所以
.
（2）解：
①当
时，
，则
；
②当
时，
，则
；
③当
时，
，则
.
【分析】（1）利用作差法比较
的大小；（2）
，再对
分类讨论得解.
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