2.2 基本不等式 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版（2019）
必修一2.2
基本不等式
一、单选题
1.已知实数
满足
，且
，则
的最小值为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.若正数
满足
，则
的最大值为（???
）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?9
3.设
、
、
，
，
，
，则
、
、
三数（???
）
A.?都小于
????????????????B.?至少有一个不大于
????????????????C.?都大于
????????????????D.?至少有一个不小于
4.已知
，
，则
的最小值为（???
）
A.?8????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.若两个正实数
满足
，且不等式
有解，则实数m的取值范围
??
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
6.已知不等式
对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为（???
）
A.?8???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?2
7.如果正数
满足
，那么（???
）
A.?
，且等号成立时
的取值唯一
B.?
，且等号成立时
的取值唯一
C.?
，且等号成立时
的取值不唯一
D.?
，且等号成立时
的取值不唯一
8.已知实数
满足
，则
的最小值为（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
二、多选题
9.若
，则下列不等式,其中正确的有（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
10.下列说法正确的是（???
）.
A.?若
，
，则
的最大值为4
B.?若
，则函数
的最大值为-1
C.?若
，
，则
的最小值为1
D.?函数
的最小值为9
11.设
，则下列不等式一定成立的是（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
12.已知正数a，b满足
，ab的最大值为t，不等式
的解集为M，则（????
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
三、填空题
13.已知
，且
，则
的最小值为________．
14.已知
，则
的最小值是________．
15.若正数
满足
，则
的最小值为________.
16.己知
，
，且
，若
恒成立，则实数m的取值范围________．
17.若正数a，b满足
，则ab的最小值是________．
18.已知
，
，
，则
的最小值为________．
19.已知
，若点
在直线
上，则
的最小值为________.
20.已知
，
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的范围是________.
四、解答题
21.已知
，
，且
，
求证：
．
22.已知
，
，
，
（1）求
的最大值.
（2）求
的最小值.
23.已知
都是正数，求证：
（1）
；
（2）
.
24.已知正实数
满足
.
（1）求
的最小值.
（2）证明：
25.????????????
（1）已知
，求函数
的最大值；
（2）已知
(正实数集)，且
，求
的最小值；
（3）已知
，
，且
，求
的最大值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】
,
当且仅当
时取等号
故答案为：B
【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.
2.【答案】
D
【解析】依题意
，当且仅当
时等号成立，所以
的最大值为9.
故答案为：D
【分析】利用基本不等式求得
的最大值.
3.【答案】
D
【解析】由基本不等式得
，
当且仅当
时，等号成立，因此，若
、
、
三数都小于
，则
与
矛盾，即
、
、
三数至少有一个不小于
，
故选D.
【分析】利用基本不等式计算出
，于此可得出结论.
4.【答案】
C
【解析】∵
，
，
∴
，
当且仅当
即
时，等号成立，所以
的最小值为
.
?故答案为：C
【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解
的最小值即可.
5.【答案】
B
【解析】正实数
满足
则
=4，
当且仅当
，
取得最小值4．
由x
有解，可得
解得
或
．
故答案为：B
．
【分析】不等式
有解，即为
大于
的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
6.【答案】
C
【解析】
.
若
，则
，从而
无最小值，不合乎题意；
若
，则
，
.
①当
时，
无最小值，不合乎题意；
②当
时，
，则
不恒成立；
③当
时，
，
当且仅当
时，等号成立.
所以，
，解得
，因此，实数
的最小值为
.
故答案为：C.
【分析】由题意可知，
，将代数式
展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可.
7.【答案】
A
【解析】
，
当且仅当
等号成立，
即
，
当且仅当
等号成立，
且
等号成立
故答案为：A
【分析】利用基本不等式及等号成立的条件即可得到.
8.【答案】
A
【解析】解：因为
满足
，
则
，
当且仅当
时取等号，
故选：
．
【分析】所求
的分母特征，利用
变形构造
，再等价变形
，利用基本不等式求最值.
二、多选题
9.【答案】
A,C,D
【解析】由题：
由基本不等式可得：
，所以A符合题意；
当
时，
，所以B不符合题意；
，所以
，
即
，所以C符合题意；
因为
，所以
即
，所以D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.
10.【答案】
B,D
【解析】对于
，取
得到
，错误；
对于
，
，
时等号成立，正确；
对于
，取
满足等式，此时
，错误；
对于
，
，当
时等号成立，正确.
故答案为：
【分析】依次判断每个选项，通过特殊值排除
和利用均值不等式计算得到答案.
11.【答案】
A,C,D
【解析】A.当
时，
成立，A符合题意；
B.当
时，
，等号成立的条件是
，当
时，
，等号成立的条件是
，B不正确；
C.当
时，
，所以
，C符合题意；
D.
，所以
，等号成立的条件是当且仅当
，即
，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.
12.【答案】
B,C
【解析】∵正数
，
满足
，
∴
，即
的最大值为
，当且仅当
时，取等号.
∵
的解集为
，∴
.
故答案为：BC.
【分析】由基本不等式
，可求
的最大值，然后解二次不等式可得
，结合选项即可判断．
三、填空题
13.【答案】
4
【解析】
，
,
，当且仅当
=4时取等号，
结合
,解得
，或
时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为
，利用基本不等式即可求解.
14.【答案】
【解析】∵
∴
且
∴
，当且仅当
，即
时取等号.
∴
的最小值为
.
故答案为：
.
【分析】根据题设条件可得
，可得
，利用基本不等式即可求解.
15.【答案】
16
【解析】依题意
，
当且仅当
，即
时等号成立.所以
的最小值为
.
故答案为：16
【分析】利用基本不等式求得
的最小值.
16.【答案】
【解析】因为
，当且仅当
，
即
时等号成立，所以
，解得
.
故答案为：
【分析】利用“1”的替换求出
的最小值
，再解不等式
即可.
17.【答案】
25
【解析】依题意
为正数，且
，
所以
，
即
，
解得
，
当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值是25.
故答案为：25
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此即可求得
的最小值.
18.【答案】
12
【解析】由
得出
令
，
，则
当且仅当
，即
时取等号
的最小值为12
故答案为：12
【分析】利用换元法，令
，得出
，结合基本不等式，即可得出
的最小值.
19.【答案】
【解析】
在
上，
，
，
，
设
，则
，
，
当
，即
时，“=”成立，
，
即
的最小值为
，故答案为
.
【分析】由
在直线
上，可得
，设
，则
，原式化为
，展开后利用基本不等式可得结果.
20.【答案】
a≤18
【解析】
又
，
，
那么
当且仅当
，
时取等号．
不等式
恒成立，
所以
．
故答案为：
．
【分析】利用消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值．
四、解答题
21.【答案】
证明：设
，
，因为
，
，所以
，
，且
，
.
当且仅当
，即
时，上述等号成立，原命题得证．
【分析】设
，
，可得出
，然后利用基本不等式可证得
.
22.【答案】
（1）解：法一：
，
因此
，∴
因此
的最大值为
，当且仅当
时取等号
法二：∵
∴
，当且仅当
时取等号
因此
的最大值为
（2）解：
当且仅当
，即
，
时取等号
因此
的最小值为16
【分析】（1）利用结论
,(当且仅当
时等号成立)得到，也可对
平方变形处理.（2）把
与所求
相乘，构造和的形式用基本不等式求最值.
23.【答案】
（1）解：∵
，∴
，当且仅当
时等号成立，
同理可得，
，
∴
，即
；
（2）解：因为
，所以
，
当且仅当
时等号成立，
同理可得
，
，
∴
，
即
.
【分析】（1）因为
，同理可得，
，三个式子相加，即可得到本题答案；（2）因为
，同理可得，
，
，三个式子相加，即可得到本题答案.
24.【答案】
（1）解：因为
，所以
因为
，所以
（当且仅当
，即
时等号成立），
所以
（2）证明：
因为
，所以
故
（当且仅当
时，等号成立）
【分析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.
25.【答案】
（1）解：
,
,故
．
．
,
,
当且仅当
,即
或
(舍)时,等号成立,
故当
时,
．
（2）解：
,
,
,
．
当且仅当
,且
,即
时等号成立,
∴当
,
时,
．
（3）解：
,
当且仅当
,即
,
时取最大值,
所以
有最大值
．
【分析】(1)
将
再对
进行基本不等式求最值即可.
(2)利用
,再展开用基本不等式即可.(3)利用
在
中拼凑出
再利用基本不等式即可.
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