2020年北师大七年级数学下册第五章生活中的轴对称 单元教案

第五章
生活中的轴对称
5.1　轴对称现象
1.感知生活中的轴对称现象，探索轴对称的共同特征.
2.理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.
2.通过大量的实例初步认识轴对称，能识别简单的轴对称图形和成轴对称的图形及其对称轴.
自学指导　阅读教材P115～116，完成下列问题.
(一)知识探究
1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2.对称轴是一条直线，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴.
3.如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
(二)自学反馈
1.如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是(
A
)
2.下面给出的四组图形中，成轴对称的是(
D
)
　判断是否成轴对称要看是否能沿着某条直线折叠后重合.
活动1　小组讨论
例1　下列两个图形是轴对称关系的有ABC.
　轴对称图形是指一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，而轴对称是两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，注意两者的区别.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后，得到一个三角形，然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮的图案，她拿出剪出的图案问小冬，打开后的图案的对称轴至少有(
B
)
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
　对称轴是一条直线.
活动2　跟踪训练
1.下图中哪两个图形放在一起可以组成轴对称图形.
解：C和D，B和F.
2.观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴.
解：(1)有2条对称轴；(2)有4条对称轴；(3)有5条对称轴；(4)有3条对称轴，
如图所示：
活动3　课堂小结
1.可用折叠判断是否为轴对称图形.
2.对称轴是一条直线，一条垂直于对应顶点连线的直线.
3.轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形.
5.2　探索轴对称的性质
1.掌握轴对称的性质.
2.会画出已知轴对称图形的另一半.
自学指导　阅读教材P118～119，完成下列问题.
(一)知识探究
轴对称的性质：
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
(2)对应线段相等，对应角相等.
(二)自学反馈
1.如图是轴对称图形，则相等的线段有AB＝CD，BE＝EC，相等的角是∠B＝∠C.
2.把图中(实线部分)补成以虚线l为对称轴的轴对称图形.
解：如图所示.
　可先作出各点的对称点，再顺次连接各点就得到所求图形.
活动1　小组讨论
例　如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠ABC＝125°，AB＝3
cm，EH＝4
cm.
(1)试写出EF，AD的长度；
(2)求∠EFG的度数；
(3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？
解：(1)因为四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，AB＝3
cm，EH＝4
cm，
所以EF＝AB＝3
cm，AD＝EH＝4
cm.
(2)因为∠ABC＝125°，所以∠EFG＝125°.
(3)因为对称轴垂直平分对称点的连线，
所以直线MN垂直平分BF.
活动2　跟踪训练
1.如图，在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，则下列说法错误的是(
D
)
A.OB＝OD　　　　　　　B.AC平分∠BAD
C.BD⊥AC
D.OA＝OC
2.如图，正方形ABCD的面积为16
cm2，则图中阴影部分的面积为(
B
)
A.4
cm2
B.8
cm2
C.12
cm2
D.6
cm2
　利用轴对称性把阴影部分移到对称轴的同一边，即可发现阴影部分面积为全部面积的一半.
3.如图，请在网格纸上，画出所给图形关于直线l对称的图形.
解：如图所示.
活动3　课堂小结
1.在轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
2.轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.
3.成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上.
5.3　简单的轴对称图形
第1课时　等腰三角形的性质
1.理解等腰三角形的有关概念.
2.探索并掌握等腰三角形的性质.
3.了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质.
自学指导　阅读教材P121，完成下列问题.
(一)知识探究
1.等腰三角形是轴对称图形.
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
3.等腰三角形的两个底角相等.
4.等边三角形有三条对称轴，等边三角形每条边都相等.
(二)自学反馈
1.下列说法中，正确的有(
D
)
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形.
A.1个　
　B.2个　
　　C.3个　
　　D.4个
2.△ABC中，AB＝AC.
(1)若∠B＝45°，则∠A＝90°，∠C＝45°；
(2)若∠C＝60°，则∠A＝60°，∠B＝60°.
活动1　小组讨论
例1　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数.
解：因为AB＝AC，∠A＝40°，
所以∠ABC＝∠C＝＝70°.
因为BD是∠ABC的平分线，
所以∠DBC＝∠ABC＝35°.
所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝75°.
例2　如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？
解：如图，作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置.
理由：两点之间线段最短.
　在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
活动2　跟踪训练
1.如图，△ABC中，AC＝BC，直线经过点C，则下列说法正确的是(
D
)
A.垂直AB
B.平分AB
C.垂直平分AB
D.与AB的关系不能确定
2.已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为50°.
3.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数.
解：因为PA＝PQ＝AQ，
所以∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60°.
因为PA＝PB，
所以∠B＝∠PAB.
又因为∠B＋∠PAB＝180°－∠APB＝180－(180°－∠APQ)＝60°，
所以∠PBA＝∠PAB＝30°.同理∠QAC＝30°.
所以∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC
＝30°＋60°＋30°
＝120°.
活动3　课堂小结
在等腰三角形中，常常需要作底边上的高，运用等腰三角形“三线合一”的性质，对于解决相关问题能起到事半功倍的效果.对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形，“三线合一”的性质就更能不受限制，淋漓尽致地发挥了.
第2课时　线段垂直平分线的性质及画法
1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念.
2.探索并掌握线段垂直平分线的有关性质.
自学指导　阅读教材P123～P124，完成下列问题.
(一)知识探究
1.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
2.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
(二)自学反馈
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P是直线CD上的一点.已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(
B
)
A.6　　　　
B.5　　　
　C.4　　
　　D.3
2.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是(
D
)
A.∠A的平分线
B.AC边的中线
C.BC边的高线
D.AB边的垂直平分线
活动1　小组讨论
例1　如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3
cm，△ABD的周长为13
cm，求△ABC的周长.
解：因为DE是AC的垂直平分线，
所以AD＝CD，AC＝2AE＝6(cm).
因为△ABD的周长为13
cm，
所以AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13
cm.
所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝13＋6＝19(cm).
　由垂直平分线的性质得AD＝DC，再通过线段之间的等量代换即可得出△ABC的周长.
例2　某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等.在图中确定休息点M的位置.
解：作AC的垂直平分线交AB于M点，则点M即为所求.
活动2　跟踪训练
1.如图，已知直线MN是线段AB的中垂线，垂足为N，AM＝5
cm，△MAB的周长为16
cm，那么AN等于(
A
)
A.3
cm
B.4
cm
C.5
cm
D.6
cm
2.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD.
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为(
D
)
A.90°
B.95°
C.100°
D.105°
活动3　课堂小结
本课时主要学些了哪些知识与方法，有何收获和感悟？
(1)线段的轴对称性：线段是轴对称图形.
(2)线段的垂直平分线的性质
(3)线段垂直平分线的作图.
第3课时　角平分线的性质及画法
1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念.
2.探索并掌握角平分线的有关性质.
自学指导　阅读教材P125～P126，完成下列问题.
(一)知识探究
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(二)自学反馈
1.下列图形中，不是轴对称图形的是(
D
)
A.角　　　　　　　　B.等边三角形
C.线段
D.直角三角形
2.如图，CD⊥OA，CE⊥OB，D，E为垂足.
(1)若∠1＝∠2，则有CD＝CE；
(2)若CD＝CE，则有∠1＝∠2.
活动1　小组讨论
例1　如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC.试说明：OE＝OD.
解：因为AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC，
所以OE＝OD(角平分线上的点到角两边的距离相等).
　角平分线的性质是说明线段相等的另一个途径，其前提条件有两条：(1)角平分线；(2)垂直.
例2　如图，已知线段a和∠AOB.
(1)在OA边上作点P，使OP＝2a；
(2)作∠AOB的平分线.
解：(1)点P为所求作.
(2)OC为所求作.
　角平分线的作图依据是“SSS”.
活动2　跟踪训练
1.如图，OE平分∠AOB，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，ED与EC的长度关系为(
B
)
A.ED＞EC
B.ED＝EC
C.ED＜EC
D.无法确定
　　　
2.如图，已知∠AOB.小明按如下步骤作图：
①在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
③作射线OC.
根据上述作图步骤，回答下列问题：
(1)写出一个正确的结论：OC为∠AOB的平分线；
(2)如果在OC上任取一点M，那么点M到OA，OB的距离相等.
依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
活动3　课堂小结
在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边作垂线段的方法，在已知角平分线的条件下，也可想到翻折的方法.
5.4　利用轴对称进行设计
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图的过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步审美能力，增强对图形欣赏的意识.
2.能按要求把所给出的图形补成以某条直线为对称轴的轴对称图形，能依据图形的轴对称关系设计轴对称图形.
自学指导　阅读教材P128～129，完成下列问题.
(一)知识探究
轴对称的性质：
在轴对称图形中：(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等.
(二)自学反馈
要在一块长方形的空地上修建一个共坛，要求花坛图案为轴对称图形，图中的设计符合要求的有(
A
)
A.4个　　　　
B.3个　　
　　C.2个　　
　　D.1个
活动1　小组讨论
例1　如图，直线是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半.
　题图　　　
答案图
解：如图所示.
例2　如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形.如图乙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法.(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙)
解：不同涂法的图案例举如下.
活动2　跟踪训练
把下列各图补成以l为对称轴的轴对称图形.
解：如图所示.
活动3　课堂小结
本节课学习了已知对称轴和一个点如何画出它的对应点，以及如何补全图形，并利用轴对称的性质知道如何设计轴对称图形.