人教版八年级数学上册第十三章13.1.2线段垂直平分线课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
线段垂直平分线
106
国
道
新知引入
A
B
在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？
新知讲解
动手操作：直线MN垂直平分线段AB，垂足为C；在MN上任取点P
，
P1，
P2……，分别量一量点P
，
P1，
P2……到点A与点B的距离，你有什么发现？
由此你能得到什么规律？
P
M
N
C
A
B
P1
P2
新知讲解
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
我发现
PA=PB
P1A=P1B
……
P2A=P2B
你能验证这一结论吗？
P
M
N
C
A
B
P1
P2
我猜想
新知讲解
A
B
P
l
C
已知：如图，直线l⊥AB
，垂足为C，且AC=CB.点P在l上.
求证：PA=PB.
证明：∵l⊥AB
,
∴
∠PCA=
∠PCB=90?.
在
ΔPAC和Δ
PBC中，
AC=BC
∠PCA=∠PCB
PC=PC
∴
ΔPAC
≌Δ
PBC.
∴PA=PB.
线段垂直平分线的性质
1
新知讲解
应用格式：
∵　PC⊥AB，AC=BC，
∴　
PA
=PB
．
作用：见线段垂直平分线，得线段相等.
P
A
B
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
C
线段垂直平分线的性质
1
新知应用
例1
如图，在△ABC中，已知AC=27，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE．
∵BE+EC+BC=50，
∴AE+EC+BC=50，
即AC+BC=50．
又AC=27，
∴BC=23．
A
B
C
D
E
新知应用
例2
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝20°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于_______°．
A
B
C
D
E
解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝20°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°，
∵DE是边AC的垂直平分线，∠C＝20°，
∴CE＝AE，
∴∠EAC＝∠C＝20°，
∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝70°－20°＝50°.
50
【变式1】如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，则△BCD的周长为_______.
新知演练
28cm
【解析】
△BCD的周长为BC+BD+CD＝BC+AD+CD
＝BC+AC
＝10+18
＝28cm．
【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．
若∠CBD
:
∠DBA
＝3:1，则∠A的度数为________．
新知演练
18°
提示：∠A＝∠ABD＝x，∠CBD＝3x，5x＝90°，x＝18°．
新知引入
想一想：如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
P
A
B
合作探究
线段垂直平分线的判定
2
C
新知讲解
P
A
B
已知：如图，PA
=PB．
求证：点P
在线段AB
的垂直平分线上．
证明：过点P
作AB
的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA
=∠PCB
=90°．
在Rt△PCA
和Rt△PCB
中，
PA
=PB，PC
=PC，
∴
Rt△PCA
≌Rt△PCB（HL）．
∴
AC
=BC．
又
PC⊥AB，
∴
点P
在线段AB
的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定
2
新知讲解
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵　PA
=PB，
∴　点P
在AB
的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
P
A
B
新知讲解
你能再找一些到线段AB
两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB
两端点距离相等的点？
这些点能组成什么图形？
P
A
B
C
l
与A，B
的距离相等的点都在直线l上，所以直线l
可以看成与A、B两点
的距离相等的所有点的集合.
新知应用
例3
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明
：
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上.
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上.
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD.
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
新知应用
例4
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明
：
∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴
OA=OB.
同理OB=OC.
∴
OA=OC.
∴
点O在AC的垂直平分线上.
结论：
三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
106
国
道
新知应用
A
B
在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？
现在你能想到方法确定医院的位置了吗？
【变式1】在锐角三角形ABC内一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC
（
）
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
新知演练
D
【变式2】如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，已知AB+BD＝DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
新知演练
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD＝DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴AB+BD＝AE+DE，
又∵AB+BD＝DC，
∴DC＝AE+DE，
∴DE+EC＝AE+DE
∴EC＝AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
　
拓展提升
1.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再结合（1）即可解答．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
拓展提升
2.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
A
B
C
D
E
F
拓展提升
课堂总结
性质
判定
线段的垂直平分线的性质和判定
内容
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上