沪科版九年级上册22.3相似三角形的性质课件(23张)

(共23张PPT)
22.3相似三角形的性质
学习目标
【学习目标】
理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比及相似三角形的面积比、周长比与相似比之间的关系．
能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题．
【学习重点】
相似三角形性质的应用．
【学习难点】
相似三角形性质的理解．
情景导入
旧知回顾：
1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫相似三角形，对应边的比也叫相似比．
2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
全等三角形是相似三角形，其相似比为1.
自学互研
知识模块一
相似三角形性质定理1
相似三角形性质定理1有哪些内容？如何证明？
答：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，以角平分线为例．
探究：如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线AD与A′D′的比．
解：∵△A′B′C′∽△ABC，
∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，
∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△ABD∽△A′B′D′(有两个角对应相等的两个三角形相似)，
∴
＝
＝k.
根据上面的探究，你能得到什么结论？
归纳
相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
在上图中，如果AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高和中线，相应的结论依然成立．
范例
如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G.DE∶BC＝2∶3，
那么AG∶GH＝_________．
2∶1
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴
＝
＝
，∴
＝2.
知识模块二
相似三角形性质定理2和定理3
相似三角形性质定理2和性质定理3各是什么？如何证明？
答：定理2：相似三角形周长比等于相似比．
定理3：相似三角形面积比等于相似比的平方．
探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，
＝k，AD、A′D′为△ABC和△A′B′C′的高．
(1)这两个相似三角形周长比为多少？
(2)这两个相似三角形面积比为多少？
解：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，
所以AB∶A′B′＝BC∶B′C′＝AC∶A′C′＝k，
由并比性质可知
(AB＋BC＋AC)∶(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.
(2)由题意可知△ABD∽△A′B′D′，
所以AB∶A′B′＝AD∶A′D′＝k，
因此可得△ABC的面积∶
△A′B′C′的面积＝(
AD·BC)∶(
A′D′·B′C′)＝k2.
范例
1：在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为________．
8，3
【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3.
2：把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的
倍，那么边长应缩短到原来的_______．
知识模块三
相似三角形性质的应用举例
范例
1：探究：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC＝80厘米，高AD＝60厘米，要把铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上，求这个矩形零件的边长．
解：如图，矩形PQRS为加工后矩形零件，
边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E，
设PS为xcm，则PQ＝2xcm.∵PQ∥BC，
∴∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，∴△APQ∽△ABC，
∴
＝
.即：
＝
，
解方程，得：x＝24，2x＝48.
答：这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm.
仿例
如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120毫米，高AD＝80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的．
△ABC的高AD与PN相交于点E.
设正方形PQMN的边长为x毫米．
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴
＝
，因此
＝
得x＝48(毫米)．
答：这个正方形零件的边长是48毫米．
范例
2：(2015·长沙中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，
＝
，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为___．
18
(滨州中考)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则
＝_________
．
仿例
3：某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
范例
解：∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB.
∵AD＝10，BC＝20，∴
＝(
)2＝
∵S△AMD＝500÷10＝50(平方米)，
∴S△CMB＝200(平方米)．
因此还需要资金200×10＝2000(元)．
而剩余资金为2000－500＝1500(元)＜2000元．
∴资金不够用．
检测反馈
1．如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为(　　)
A.　　
　　B.　　　　C.　　　　D.
B
检测反馈
2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为______．
8
3．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是_______．
3
4．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于(　
)
A．
1∶3
B．
2∶3
C.
∶2
D.
∶3
　A
5．已知：△ABC∽△A′B′C′，
＝
，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长是20cm，△A′B′C′的面积是64cm2.
(1)求A′B′边上的中线C′D′的长；
(2)求△A′B′C′的周长；
(3)求△ABC的面积．
解：(1)C′D′＝8cm；
(2)△A′B′C′周长为40cm；
(3)△ABC面积为16cm2.
相似的两个三角形
它们的对应角相等
对应边会成比例
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
相似三角形
都等于相似比
课堂小结
相似三角形的性质
对应角相等
对应边成比例
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
相似比等于对应边的比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
课堂小结