华东师大版八年级数学上册13.3.1等腰三角形的性质课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
13.3.1等腰三角形
细心观察 积极探索
在观察中发现特点
在探索中提高能力
让我们一起 走进美丽的数学世界
活动（一）：细心观察
活动（一）：细心观察
活动（一）：细心观察
活动（一）：细心观察
共同特点
活动（一）：细心观察
等腰三角形
A
B
C
等腰三角形:
有两条边相等的三角形,
叫做等腰三角形.
等腰三角形的概念
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边,
底边与腰的夹角叫做底角.
两腰所夹的角叫做顶角,
腰
腰
底边
顶角
底角
回顾
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,
并剪去绿色部分,
再把它展开,得到的△ABC有什么特点
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
活动（二）：动手操作
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
A
B
C
D
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
重合的线段 重合的角
等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∠B=∠C
∠ADB=∠ADC
∠BAD=∠CAD
活动（三）：细心观察 大胆猜想
性质1
(等边对等角)
等腰三角形的两个底角相等。
A
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
想一想：1.如何证明两个角相等？
议一议：2.如何构造两个全等的三 角形？
活动（四）：小组讨论
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等。
D
证明：
作底边的中线AD，则BD=CD
AB=AC ( 已知 )
BD=CD ( 已作 )
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等。
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠1=∠2
AB=AC ( 已知 )
∠1=∠2 ( 已作 )
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
1
2
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等。
D
证明：
作底边的高线AD，则∠BDA=∠CDA=90°
AB=AC ( 已知 )
AD=AD (公共边)
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
在Rt△BAD和Rt△CAD中
归纳结论
等腰三角形的两个底角相等。
性质1
(等边对等角)
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AC=AB（已知）
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
A
B
C
1、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
小试牛刀
2、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
__________________.
3、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
① 顶角度数+2×底角度数=180°
② 0°＜顶角度数＜180°
③ 0°＜底角度数＜90°
结论: 在等腰三角形中,
40 °
35 °，35 °
70°,40° 或 55°,55°
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么
重合的线段 重合的角
　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC
=90°
猜想：等腰三角形的顶角平分线,底
边上的中线，底边上的高互相重合
A
B
C
则有∠1＝ ∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 作顶角的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ BD＝CD
∠ADB ＝∠ADC=
90°
论证猜想
(等腰三角形三线合一)
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合
性质2:
归纳结论
用符号语言表示为：
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ， = 。
2、∵AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ 。
3、∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = 。
A
B
C
D
⌒
⌒
1
2
1
2
1
2
BD
CD
AD
BC
1
2
AD
BC
BD
CD
根据等腰三角形性质2填空,
在△ABC中， AB=AC，
小试牛刀
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
A
B
C
D
BAD
CAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BD
BAD
BC
AD
CD
知一线得二线
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 , 过屋顶A的立柱AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、
∠CAD的度数.
A
B
D
C
应用新知，体验成功。
∴∠BAD=∠CAD=50°
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）.
又∵AD⊥BC，
∴∠B=∠C= 180°－∠BAC=40°(三角形内角和定理)
解：在△ABC中
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）
又∵∠BAC=100
知识延伸
三条边都相等的三角形是等边三角形，如图：在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？
A
B
C
显然，AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到
∠B= ∠ C
同理可得 ∠A= ∠ B
所以 ∠A= ∠ B= ∠ C
而 ∠A+∠ B+∠ C=1800
也就是说：
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于600。
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形。
谈谈你在这节课中，有什么收获？
1、等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线。
3、等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合。
2、等腰三角形的两个底角相等。
作业: 教材P84习题13.3
第1、2、3、4题