洛南中学2020—2021学年度第一学期第一次考试
高二数学试题
一、
单选题（共12题，共60分）
1.
在等差数列中，已知,则?(
????)
A.
10
B.
11
C.
12
D.
13
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质求得的值，再由等差中项的性质可得的值.
【详解】由等差中项的性质得，
所以，则，
所以，，
故选：A.
【点睛】在等差数列的性质中，下标和的性质是比较重要的一个，也是常考的内容之一，此性质指的是“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”，它说明了等差数列中与首末两项距离相等的两项的和相等，这一性质常与等差数列的前n项和公式结合在一起，采用整体代换的思想，达到简化解题过程的目的．
2.
已知等比数列，，则……+＝（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比通项公式求公比和首项分别为，，利用等比数列的性质知数列是等比数列，应用等比数列前n项和公式求其前n项和
【详解】令的公比为，由，知：，；
∵根据等比数列性质：数列是公比为，首项为的等比数列；
∴；
故选：C
【点睛】本题考查了等比数列，利用通项公式求首项与公比，再根据等比数列的性质：乘积项的下标和等间距，则乘积构成等比数列，最后应用等比数列前n项和公式求和
3.
若为等比数列，，＝（
）
A.
3
B.
C.
3或
D.
或
【答案】C
【解析】
【分析】
设公比为有，根据等比数列的性质知，又即可求得进而求得，即可求的值；
【详解】若的公比为，则；
∵，又由，即有或；
∴或，故有或
故选：C
【点睛】本题考查了等比数列的性质，根据等比数列性质结合已知求项，进而得到公比，最后即可求目标式的值；
4.
已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(
)
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
【答案】D
【解析】
因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．
5a1+20d=15
5a1+25d=30
d=3，选B
5.
已知数列的通项公式是，那么这个数列是（
）
A.
递增数列
B.
递减数列
C.
常数列
D.
摆动数列
【答案】A
【解析】
【分析】
判断与的大小，来判断递增和递减数列.
【详解】，
所以数列是递增数列.
故选：A
【点睛】本题考查数列的单调性，属于基础题型.
6.
已知等差数列满足,则它的前10项的和（
）
A.
23
B.
85
C.
95
D.
135
【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为d，由题意可得，解得，
．选C．
7.
已知数列{an}满足
且，则的值是( )
A.
－5
B.
－
C.
5
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：即
数列是公比为3的等比数列
．
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．
8.
已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（
）
A.
8
B.
7或8
C.
8或9
D.
9
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件确定数列的前项和，，根据二次函数的特点确定函数的最大值，以及的值.
【详解】，数列是等差数列，并且公差为，
，
对称轴是，，
所以当或时，取得最大值.
故选：C
【点睛】本题考查等差数列的前项和的最大值，属于基础题型.
9.
等差数列{}前n项和为，满足，则下列结论中正确的是（
）
A.
是中的最大值
B.
是中的最小值
C.
=0
D.
=0
【答案】D
【解析】
设由知所对应的二次函数图像对称轴为
所以故选D
10.
若a，4，3a为等差数列的连续三项，则的值为（）
A.
2047
B.
1062
C.
1023
D.
531
【答案】C
【解析】
【详解】∵
a，4，3a为等差数列的连续三项
∴a+3a=4a=2×4，
解得a=2，
故=20+21+22+…+29=．选C．
11.
在等比数列中，如果，那么该数列的前8项和为（
）
A.
12
B.
24
C.
48
D.
204
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用等比数列通项公式求、公比，再由等比数列前n项和公式即可求前8项和；
【详解】令等比数列的公比为，又由，知：
，而，则解之得；
∴等比数列的前n项和
；
故数列的前8项和；
故选：D
【点睛】本题考查了等比数列，利用等比数列通项公式求首项、公比，进而写出等比数列的前n项和公式，即可求数列的前8项和；
12.
已知数列的前项和，第项满足，则（
）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用公式求出数列的通项公式，最后通过解不等式组求出的正整数解.
【详解】
∵时适合，∴．
∵，∴，
∴，又∵，∴，
故选：B
【点睛】本题考查了已知求，考查了解不等式组，考查了数学运算能力.
二、填空题（共4小题，共20分）
13.
已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______
【答案】
【解析】
由题意可得，
解得
．
∴等差数列
的前三项为-1，1，3．
则
3．
故答案为
．
14.
已知等差数列的前项和为，且，，则
；
【答案】60
【解析】
【详解】若数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差数列．
所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．
因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，
所以S30=60．
故答案为60．
15.
已知为等差数列，，，则_________．
【答案】1
【解析】
设的公差为d，首项为，根据题意得
∴
∴
故答案为1
16.
《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，
__________天后两只老鼠打穿城墙．
【答案】6
【解析】
大老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为的等比数列．所以距离之和所以这两只老鼠相逢所需天数为6天.
三、解答题（共6题；共80分）
17.
在等差数列中，已知，求通项公式及前项和.
【答案】，
【解析】
【分析】
根据已知条件结合等差数列的通项公式求、，即可写出通项公式及前项和；
【详解】令等差数列的公差为，则由，知：
，解之得；
∴根据等差数列的通项公式及前n项和公式，有：
，
；
【点睛】本题考查了等差数列，根据已知项的和等差数列通项公式的基本量，进而写出通项公式和前n项和公式；
18.
等比数列前项和，若，求数列公比与．
【答案】时，；时，
【解析】
【分析】
根据条件列等式求等比数列的公比，再求.
【详解】设等比数列的公比为，则，
即，整理为，
解得或
当时，，
当时，.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前项和，重点考查计算能力，属于基础题型.
19.
等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
因为所以.
解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝＝，
所以Sn＝
20.
已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列．
（1）求数列通项公式；
（2）若数列的前项和..
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列设，，再根据条件得到，列式求解；（2），再分别根据等差数列和等比数列求和.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
因为成等比数列，所以，
即，
整理为：（舍）或，
所以；
（2）由（1）可知，
数列是以4为公比，4为首项的等比数列，前项和为，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，前项和为.
所以数列的前项和为
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合，重点考查计算能力，属于基础题型.
21.
已知数列满足，．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题设，化简得，即可证得数列为等比数列．
（2）由（1），根据等比数列的通项公式，求得，利用等比数列的前n项和公式，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）由题意，数列满足，所以
又因，所以，即，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得，即，
所以
，
即．
【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式和前n项和的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
22.
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且.
（1）求、的通项公式：
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）；
【解析】
【分析】
（1）利用等差等比数列通项公式，结合已知条件可得，进而即可求得公差为、公比为，写出通项公式即可；
（2）写出新数列的通项公式，利用错位相减求数列前n项和，再结合数列前n项和即可求；
【详解】（1）令等差数列的公差为，等比数列的公比为且，
则由，知：
，解之得；
∴，
（2）由（1）知：；
∴；
令，
则；
∴，故；
∴；
【点睛】本题考查了等差等比数列，利用等差等比通项公式求其中基本量，进而写出等差等比数列的通项公式，应用所求数列通项写出新数列通项公式，根据错位相减、等比数列前n项和公式求新数列的前n项和；洛南中学2020—2021学年度第一学期第一次考试
高二数学试题
一、
单选题（共12题，共60分）
1.
在等差数列中，已知,则?(
????)
A.
10
B.
11
C.
12
D.
13
2.
已知是等比数列，，则……+＝（
）
A.
B.
C.
D.
3.
若为等比数列，，＝（
）
A.
3
B.
C.
3或
D.
或
4.
已知某等差数列共有10项，其奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差为(
)
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
5.
已知数列的通项公式是，那么这个数列是（
）
A.
递增数列
B.
递减数列
C.
常数列
D.
摆动数列
6.
已知等差数列满足,则它的前10项的和（
）
A.
23
B.
85
C.
95
D.
135
7.
已知数列{an}满足
且，则的值是( )
A.
－5
B.
－
C.
5
D.
8.
已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（
）
A.
8
B.
7或8
C.
8或9
D.
9
9.
等差数列{}前n项和为，满足，则下列结论中正确的是（
）
A.
是中最大值
B.
是中的最小值
C
=0
D.
=0
10.
若a，4，3a为等差数列的连续三项，则的值为（）
A.
2047
B.
1062
C.
1023
D.
531
11.
在等比数列中，如果，那么该数列的前8项和为（
）
A.
12
B.
24
C.
48
D.
204
12.
已知数列的前项和，第项满足，则（
）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
二、填空题（共4小题，共20分）
13.
已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______
14.
已知等差数列的前项和为，且，，则
；
15.
已知为等差数列，，，则_________．
16.
《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，
__________天后两只老鼠打穿城墙．
三、解答题（共6题；共80分）
17.
在等差数列中，已知，求通项公式及前项和.
18.
等比数列前项和，若，求数列的公比与．
19.
等差数列中，.
(1)求通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
20.
已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和..
21.
已知数列满足，．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
22.
设是等差数列，是各项都为正数等比数列，且.
（1）求、的通项公式：
（2）求数列的前项和．
