初中数学冀教版九年级上册25.6相似三角形的应用（Word版 含解析）

初中数学冀教版九年级上册第二十五章25.6相似三角形的应用
一、选择题
如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知，，则点M离地面的高度MH为
A.
4?m
B.
5m
C.
D.
如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板即中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯为片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的为高度为6cm，则屏幕上图形的高度为
A.
18米
B.
12米
C.
13米
D.
14米
如图，D、E分别是的边AB、BC上的点，，若：：3，则：的值为?
A.
B.
C.
D.
如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得，，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度AB长为
A.
90m
B.
60m
C.
45m
D.
30m
据九章算术记载：“今有山居木西，不知其高，山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平，人目高七尺，问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面，山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为?
?
?
?
?
保留整数，1里丈，1丈尺
A.
162丈
B.
163丈
C.
164丈
D.
165丈
如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为米，则旗杆的高度为
A.
9
B.
12
C.
14
D.
18
如图，有一块直角边的的铁片，现要把它加工成一个正方形加工中的损耗忽略不计，则正方形的边长为?
?
?
A.
B.
C.
D.
如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方即同时使，，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当时，则AB的长为
A.
B.
C.
D.
利用两块完全相同长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是．
A.
B.
C.
D.
二、填空题
在中，，，，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则的最小值是______．
如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时，小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明的眼睛距离地面米，则大树的高为______米．
已知一直立的电线杆在地面上的影长为20m，同时，高为的测竿在地面上的影长为，由此可知该电线杆的长为________m．
在同一时刻，高度为米的小树在阳光下的影长为米，一棵大树的的高度为米，则大树的影长为?
?
?
?
?米．
三、解答题
“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴海岛算经的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米即米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端点F，M，D，N，B在同一条直线上若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为米，求大树AB的高度．
如图所示，有一条路CF为15米宽，这条路的北侧有一栋11层高的楼AB为33米的高层住宅，这条路的南侧有一栋电力公司办公楼CD为12米高，已知高层住宅的每层楼都一样高，当某一时刻，高层住宅楼的影长是165米，办公楼的影子映在住宅楼上，使下面的几层没有见到阳光，请你通过计算说明此刻高层住宅从第几层开始没有被前面的办公楼档住阳光．
一天晚上，小明和小龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当小明走到点A处时，小龙测得小明直立时的身高AM与其影子长AE正好相等，接着小明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小明直立时的身高BN的影子恰好是线段AB，并测得，已知小明直立时的身高为，求路灯的高CD．
某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木如图所示，他们想在和地带种植单价为10元米的太阳花，当地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．根据已知易得∽，可得对应高BH与HD之比，易得，可得∽，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
【解答】
解：，
∽，
，相似三角形对应高的比等于相似比，
，
∽，
，
，
解得．
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用对应边成比例求相应线段的长．也考查了正方形的性质．
设，则，利用正方形的性质得，，再证明∽，利用相似比得到，所以，则，解得，然后用的面积减去正方形的面积得到剩余部分的面积．
【解答】
解：设，则，
四边形CDEF为正方形，
，，
，
∽，
，
，
在中，，
，解得，
，，
剩余部分的面积
故选：D．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【解答】
解：，
∽
AE
AC
DE
BC
，
设屏幕上的小树高是x，则
20
60
6
x
，
解得．
故选A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
证明BE：：3，进而证明BE：：4；证明∽，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】
解：：：3，
：：3；
：：4；
，
∽，
，
：，
故选D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
又对顶角相等，
∽，
，
即，
解得．
故选B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
由题意得到里，尺，尺，里，过E作于G，交CD于H，于是得到尺，里，里，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：由题意得，里，
尺，尺，里，
过E作于G，交CD于H，
则尺，里，里，
，
∽，
，
，
丈，丈．
答：山AB的高为165丈．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，将实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，并通过解方程求出旗杆的高度．
首先根据入射角与反射角相等可得出，进而得到∽，再根据相似三角形的相似比得出，最后代入已知数据求出AB的值即可．
【解答】
解：
根据入射角与反射角相等可知：，故∽，
，即，
解得：，
旗杆的高度为9米．
故选A．
8.【答案】D
【解析】解：的直角边，，
，
如图，过点B作，垂足为P，BP交DE于Q．
，
，
，
，，
∽，
，
设，则有：，
解得，
故选：D．
过点B作，垂足为P，BP交DE于Q，由相似三角形的判定定理得出∽，设边长，根据相似三角形的对应边成比例求出x的值可得．
本题主要考查相似三角形的应用，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：，，
：：：1，，
∽，
，
．
故选B．
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
本题考查的是相似三角形的应用，体现了数形转化思想的应用．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．
设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解．
【解答】
解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：，
由第二个图形可知桌子的高度为：，
两个方程相加得：，
解得：．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：如图，在CB上取一点F，使得，连接CD，AF．
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
的最小值是，
故答案为．
如图，在CB上取一点F，使得，连接CD，由∽，推出，推出，推出，根据即可解决问题；
本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意可得：，，，，，
∽，
，
即：，
米，
故答案为：．
根据反射定律得出，再根据垂直定义得到，得出∽，得出，即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用有关知识，根据题意知道，物体的长度和它影子长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可．
【解答】
解：设电线杆的高是x米．
：：20，
解得：．
故答案为10．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】
解：设树高为x米，
因为
人的身高
人的影长
树的高度
树的影长
，
，
，
故答案为．
15.【答案】解：设NB的长为x米，则米．
由题意，得，，
∽，
．
同理，∽，
．
，
，即．
解得，
，
．
解得．
答：大树AB的高度为8米．
【解析】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．设NB的长为x米，则米．通过∽和∽的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．
16.【答案】?解：如图，过E作于点M，
设，则，
由题意知，，
，
又高的楼是11层，
每层楼为3m高，
是3层楼高，
高层住宅从第4层开始没有被前面的办公楼挡住阳光．
【解析】本题考查了相似三角形的应用及平行投影，解题的关键是构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
先过E作于点M，设，则，依据在同一时刻物高与影长的比相等，列出比例式求解，即可得到EF的长，进而得出结论．
17.【答案】解：设CD长为x米，，，，，
，
米，
，
，
即，计算得出：经检验，是原方程的解，
路灯高CD为米．
【解析】本题主要考查相似三角形的判定及性质以及应用，根据，，，得到，从而得到∽，∽，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
18.【答案】解：梯形ABCD中，，
∽，
，，
，
还需要资金元，
而剩余资金为，
所以资金不够用．
【解析】此题主要考查梯形的有关知识，三角形相似的判定及性质，是一个典型的将图形知识与实际问题相结合的题目先利用相似三角形的判定和性质求出，然后求出在地带种植同样的太阳花所需的资金，然后再比较即可．
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