北师大版八年级上册数学 1.3 勾股定理的应用 同步测试（Word版 含解析）

1.3 勾股定理的应用 同步测试
一．选择题
1．要焊接一个如图所示的钢架（BD⊥AC于点D），需要钢材的长度（接缝不计）是（　　）
A．3m B．（2+5）m C．7m D．（3+7）m
2．如图，现有一长方形公园，如果游人要从A景点走到C景点，则至少走多少米（　　）
A．900 B．1000 C．1200 D．1400
3．B，C是河岸边两点，A为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝50m，则河宽AD为（　　）
A．25m B．25m C．m D．25m
4．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（　　）
A．东偏南46° B．北偏西44°
C．东偏南46°或西偏北46° D．无法确定
5．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（　　）
A．40cm B．cm C．20cm D．cm
6．（读诗解题）有诗曰：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士好奇，算出索长有几？”（注：一步合五尺）（　　）
A．12尺 B．13.5尺 C．14.5尺 D．15.5尺
7．某市在旧城改造中．计划在市内一块如图所示的三角形ABC空地上种植草皮以美化环境，已知AB＝13米，AD＝12米，AD⊥BC，AC＝20米．若这种草皮每平方米售价a元．则购买这种草皮至少需要（　　）
A．126a元 B．150a元 C．156a元 D．300a元
8．如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（　　）
A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm
9．如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝210m，∠D＝30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（　　）
A．105m B．210m C．70m D．105m
10．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝60cm，AB＝100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空题
11．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当它把绳子的下端拉开6m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　 　．
12．二棵树相距8米，二树高分别是8米、2米，一只小鸟由一棵树梢飞到另一棵树梢，则它至少飞了　 　米．
13．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨7：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲、乙二人的距离的平方是　 　．
14．小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m，当他把绳子的下端拉开8m后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？答　 　m．
15．小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是　 　度．
三．解答题
16．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？
17．如图，一辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工厂厂门（上方为半圆）已知卡车高为3.0米，宽为1.6米，说明你的理由．
18．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达B．求两地的距离？（画出图形，并根据图形解答）
参考答案
1．解：∵BD⊥AC于点D，∴△ABD是直角三角形，
根据勾股定理可得，AB＝＝＝，
∴所需钢材为，AB+BC+AD+CD+BD＝++2+2+1＝2+5（米）．
故选：B．
2．解：在Rt△ACD中，AC2＝AD2+DC2，即AC2＝6002+8002，
∴AC＝1000m，即游人要从A景点走到C景点至少走1000米．
故选：B．
3．解：根据题意画出图形，过A作AD⊥BC于D，因为∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝50m，
所以AB＝AC，BD＝CD＝BC＝×50m＝25m，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝45°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝∠B＝45°，BD＝AD＝25m．
故选：B．
4．解：根据题意，OA＝40×2＝80海里，OB＝30×2＝60海里，
又因为AB＝100海里，802+602＝1002，
所以OB2+OA2＝AB2，
根据勾股定理逆定理，
△AOB为直角三角形．
同理，△AOC为直角三角形．
所以∠AOB＝90，
又因为∠1＝46°，
所以∠2＝180°﹣90°﹣46°＝44°，
∠3＝90°﹣44°＝46°，
根据对顶角相等，∠4＝∠3＝46°，
则乙船的航向为东偏南46°或西偏北46°．
故选：C．
5．解：将盒子展开，如图所示：
AB＝CD＝DF+FC＝EF+GF＝×20+×20＝20cm．
故选：C．
6．解：设绳索长为x尺，
则由题意得（x﹣4）2+102＝x2
解得x＝14.5（尺）
故选：C．
7．解：在RT△ABD中，∵AB＝13，AD＝12，
∴BD＝＝＝5，
在RT△ADC中，∵AC＝20，AD＝12，
∴＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝21，
∴?BC?AD＝×21×12＝126，
∵这种草皮每平方米售价a元，
∴购买这种草皮至少需要126a元．
故选：A．
8．解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：
在RT△ACB中，∵AC＝50，BC＝120，
∴AB＝＝＝130，
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路AB的长度＝130cm．
故选：C．
9．解：连接ED，可得∠AED＝120°﹣30°＝90°，
故在Rt△BDE中，∠AED＝90°，BD＝210m，∠D＝30°，
解可得DE＝105．
故选：A．
10．解：如图，易证△BDE≌△EFG≌△GKH≌△HLM，
可得BD＝EF＝GK＝HL＝BC﹣DC＝﹣72＝8cm．
根据此规律，共有80÷8﹣1＝9个这样的矩形．
故选：D．
11．解：根据题意画出图形如下所示：
则BC＝6m，
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+62＝（x+2）2，
解得x＝8，
故AB＝8m，即旗杆的高8m．
故答案为：8m．
12．解：由题意知：EB＝CD＝2米，AE＝8米，BC＝8米，
则AB＝AE﹣BE＝AE﹣CD＝6米，
在直角△ABC中，AC为斜边，
且AB＝6米，BC＝8米，
根据BC2+AB2＝AC2，
求得：AC＝10米，
∴小鸟飞的最短距离为10米，
故答案为10．
13．解：由题意知：甲、乙所走的方向构成了一个直角．
上午10：00，甲走的路程是18，乙走的路程是10，根据勾股定理，两人距离的平方为182+102＝424．
故答案为424．
14．解：设旗杆高为x
由勾股定理得
x2+82＝（x+2）2
解得x＝15（m）．
故旗杆的高为15m．
15．解：由题意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米；
∵＝13米，
而132＝169，刚好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距离为直角边．
故小白兔第一次左拐的角度是90°．
16．解：如图所示，直角三角形的两条直角边分别是OA＝20×＝40km，OB＝15×2＝30km．
再根据勾股定理，得两条船相距AB＝＝50km．
17．解：设BB′与矩形的宽的交点为C，
∵AB＝1，AC＝0.8，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝0.6米，
∵BB′＝BC+CB′＝2.3+0.6＝2.9＜3.0，
∴不能通过．
18．解：由图形可知：轮船水平方向上向西总共走了9+6+9＝24km，竖直方向上向北总共走了9﹣2＝7km，
所以AB＝＝25km．