2019-2020学年湖北省鄂州一中九年级下学期开学数学试卷 （解析版）

2019-2020学年湖北省鄂州一中九年级第二学期开学数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）一个数的相反数是﹣2020，则这个数是（　　）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
2．（3分）2019年9月30日上映的电影《我和我的祖国》掀起一股观影热潮，截止12月25日票房累计达3150000000元，3150000000用科学记数法表示正确的是（　　）
A．315×107 B．3.15×1010 C．3.15×109 D．0.315×1010
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2x2?3x2＝6x2 B．x3+x5＝x8
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
4．（3分）如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，若组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
5．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（　　）
A．20° B．22° C．28° D．38°
6．（3分）一组数据6，7，9，9，9，0，3，若去掉一个数据9，则下列统计量不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
7．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对角线BD，EG都在直线l上，将正方形ABCD沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移，直到点B与点G重合为止，设点D平移的距离为x，，，两个正方形重合部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）甲，乙两车在笔直的公路AB上行驶，乙车从AB之间的C地出发，到达终点B地停止行驶，甲车从起点A地与乙车同时出发到达B地休息半小时后立即以另一速度返回C地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．乙车行驶的速度为每小时40千米
B．甲车到达B地的时间为7小时
C．甲车返回C地比乙车到B地时间晚3小时
D．甲车全程共行驶了840千米
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论．
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．2+2
二、填空题（共6小题）.
11．（3分）把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是　 　．
12．（3分）若，则a3﹣5a+2020＝　 　．
13．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为　 　．
14．（3分）如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，连接OE并延长交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象上，则OE﹣EC＝　 　．
15．（3分）在直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，已知B（4，2），M、N分别是边OC、OA上的点．将△OMN沿着直线MN翻折，点O的对应点是O′．若O′落在△OAC内部，过O′作平行于x轴的直线交CO于点E，交AC于点F，若O′是EF的中点，则O′横坐标x的取值范围为　 　．
16．（3分）如图，已知等边△AOC的周长为3，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则等边△A2019C2018C2019的顶点A2019坐标为　 　．
三、解答题（共8题，17～20每题8分，21～22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）先化简：（），再从﹣2，﹣1，1，2，3中选择一个你喜欢的值代入求值．
18．（8分）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
19．（8分）电子政务、数字经济、智慧社会……一场数字革命正在神州大地激荡，在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
组别 成绩x（分） 人数
A 60≤x＜70 10
B 70≤x＜80 m
C 80≤x＜90 16
D 90≤x≤100 4
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中m＝　 　；统计图中n＝　 　；B组的圆心角是　 　度．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．
20．（8分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
21．（9分）图①是一个演讲台，图②是演讲台的侧面示意图，支架BC是一段圆弧，台面与两支架的连接点A，B间的距离为30cm，CD为水平地面，∠ADC＝75°，∠DAB＝60°，BD⊥CD．
（1）求BD的长（结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.7）；
（2）如图③，若圆弧BC所在圆的圆心O在CD的延长线上，且OD＝CD，求支架BC的长（结果保留根号）．
22．（9分）如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．
（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；
（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．
i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．
ii）若DG＝，求⊙O的周长（结果保留π）
23．（10分）某水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为20天，销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤20）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤20）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：
x（天） 1 2 3 …
m（kg） 20 24 28 …
（1）请分别写出销售单价y（元/kg）与x（天）之间及销售量m（kg）是x（天）的之间的函数关系式
（2）求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
（3）请求出试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的天数．
24．（12分）抛物线l1：y＝x2+bx+c与它的对称轴x＝﹣2交于点A，且经过点B（0，﹣2）．
（1）求抛物线l1的解析式；
（2）如图1，直线y＝kx+2k﹣8（k＜0）与抛物线l1交于点E，F，若△AEF的面积为，求k的值；
（3）如图2，将抛物线l1向下平移n（n＞0）个单位长度得到抛物线l2，抛物线l2与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线l2于另一点D；抛物线l2的对称轴与x轴的交于点M，P为线段OC上一点，若△POM与△PCD相似，并且符合该条件的点P有且只有2个，求n的值及相应点P的坐标．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）一个数的相反数是﹣2020，则这个数是（　　）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
解：∵一个数的相反数是﹣2020，
∴这个数是：2020．
故选：A．
2．（3分）2019年9月30日上映的电影《我和我的祖国》掀起一股观影热潮，截止12月25日票房累计达3150000000元，3150000000用科学记数法表示正确的是（　　）
A．315×107 B．3.15×1010 C．3.15×109 D．0.315×1010
解：3150000000＝3.15×109．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2x2?3x2＝6x2 B．x3+x5＝x8
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
解：A、2x2?3x2＝6x4，故A错误；
B、x3与x5不是同类项，不能合并，故B错误；
C、x4÷x＝x3，故C正确；
D、（x5）2＝x10，故D错误；
故选：C．
4．（3分）如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，若组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
解：由题中所给出的主视图知物体共3列，且都是最高两层；由左视图知共三行，所以小正方体的个数最多的几何体为：第一列4个小正方体，第二列3个小正方体，第三列3个小正方体，n的最大值：4+3+3＝10个．
故选：B．
5．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是（　　）
A．20° B．22° C．28° D．38°
解：
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∵∠1＝38°，
∴∠ACD＝38°，
∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°，
故选：B．
6．（3分）一组数据6，7，9，9，9，0，3，若去掉一个数据9，则下列统计量不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
解：∵数据6，7，9，9，9，0，3中，9出现了3次，
∴这组数据的众数为9，
去了一个9后，这组数据中，9出现了2次，众数仍然是9，
∴众数没有变化，平均数，中位数，方差都发生了变化，
故选：B．
7．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对角线BD，EG都在直线l上，将正方形ABCD沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移，直到点B与点G重合为止，设点D平移的距离为x，，，两个正方形重合部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：如图（1），当0≤x≤2时，；
如图（2），当2＜x＜4时，正方形ABCD在正方形EFGH内部，
则；
如图（3），当4≤x≤6时，BG＝2﹣（x﹣4）＝6﹣x，
∴．综上所述，选项A符合题意．
故选：A．
8．（3分）甲，乙两车在笔直的公路AB上行驶，乙车从AB之间的C地出发，到达终点B地停止行驶，甲车从起点A地与乙车同时出发到达B地休息半小时后立即以另一速度返回C地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．乙车行驶的速度为每小时40千米
B．甲车到达B地的时间为7小时
C．甲车返回C地比乙车到B地时间晚3小时
D．甲车全程共行驶了840千米
解：图象过（0，60）点，因此AC的距离为60千米，
过（3，0），说明经过3小时，甲追上乙，可求出速度的差为20千米/时，
两辆的最大距离为80千米，说明甲到达B地，而乙还在途中，可得甲从追上乙到B地由用了80÷20＝4小时，因此甲行全程用3+4＝7小时，故B选项正确的；
当甲在B地休息半小时，两车的距离减少80﹣60＝20千米，说明乙车用半小时行20千米，求得乙的速度为40千米/小时，故A选项是正确的；
甲从B地到C地速度为：60÷（8﹣7.5）﹣40＝80千米/小时，甲从B到C用时：360÷80＝4.5，甲总时间为：3+4+0.5+4.5＝12（小时），乙到B地总时间为：360÷40＝9（小时），12﹣9＝3，故C正确．
再根据速度差为20千米/小时，可求出甲的速度为40+20＝60千米/小时，故全程为60×7＝420千米；C地到B地的距离为360千米，甲从A地到B地然后返回到C共行驶360+420＝780千米．故D选项是不正确的；
故选：D．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论．
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，故①正确；
抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，又对称轴x＝﹣＝1，即，b＝﹣2a，所以8a+c＞0，故③正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，因此④正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，即（a+c）2﹣b2＞0，也就是（a+c）2＞b2，故⑤错误，
综上所述，正确结论有：①②③④
故选：C．
10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．2+2
解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．
∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵AE＝ED，AN＝NB，
∴AE＝AN，
∵∠A＝60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN＝∠FEG＝60°，
∴∠AEF＝∠NEG，
∵EA＝EN，EF＝EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG＝∠A＝60°，
∵∠ANE＝60°，
∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
易知B，E关于射线NG对称，
∴GB＝GE，
∴GB+GC＝GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，
∴DH＝DE＝1，EH＝，
在Rt△ECH中，EC＝＝2，
∴GB+GC≥2，
∴GB+GC的最小值为2．
故选：B．
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）把多项式4ab2﹣16ac2分解因式的结果是　4a（b+2c）（b﹣2c）　．
解：4ab2﹣16ac2
＝4a（b2﹣4c2）
＝4a（b+2c）（b﹣2c）．
故答案是：4a（b+2c）（b﹣2c）．
12．（3分）若，则a3﹣5a+2020＝　2024　．
解：∵a＝，
∴a2＝，a3＝，
∴a3﹣5a+2020
＝﹣5×+2020
＝+2020
＝+2020
＝4+2020
＝2024，
故答案为：2024．
13．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为　4π﹣3　．
解：连接OD、CD，
∵OA为圆C的直径，
∴OD⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴AD＝DB，∠OAD＝30°，
∴OD＝OA＝2，
由勾股定理得，AD＝＝2，
∴△AOB的面积＝×AB×OD＝4，
∵OC＝CA，BD＝DA，
∴CD∥OB，CD＝OB，
∴∠ACD＝∠AOB＝120°，△ACD的面积＝×△AOB的面积＝，
∴阴影部分的面积＝﹣△AOB的面积﹣（﹣△ACD的面积）
＝π﹣4﹣π+
＝4π﹣3，
故答案为：4π﹣3．
14．（3分）如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，连接OE并延长交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象上，则OE﹣EC＝　　．
解：∵点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，
∴直线OC的解析式为y＝x，
设C（a，a），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝1，
∴a＝1，
∴C（1，1），
∴D（1，0），
∴设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，则B（b，0），BD＝b﹣1．
∵点B和点F关于直线AB对称，
∴BF＝BD＝b﹣1，
∴F（b，b﹣1），
∵F在反比例函数y＝的图象上，
∴b（b﹣1）＝1，
解得b1＝，b2＝（舍去），
∴B（，0），
∵C（1，1），
∴OD＝CD＝1，
∴OC＝，
易证△ODC∽△OEB，
∴＝，即＝，
∴OE＝，
∴OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC＝﹣＝．
故答案为：．
15．（3分）在直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，已知B（4，2），M、N分别是边OC、OA上的点．将△OMN沿着直线MN翻折，点O的对应点是O′．若O′落在△OAC内部，过O′作平行于x轴的直线交CO于点E，交AC于点F，若O′是EF的中点，则O′横坐标x的取值范围为　3﹣≤x≤　．
解：连接CO′交OA于K，当O′是EF中点时，K是AO中点，则OK＝KA＝OC＝2，构建直角△OO′L，
①当M与C重合时x最大，如图1中，由重叠得：CO′＝OC＝2，则O′K＝2﹣2，
sin45°＝，则O′L＝（2﹣2，
得O′L＝LK＝（2﹣2）＝2﹣，
∴OL＝2﹣（2﹣）＝，
∴O′横坐标x的最大值为；
②当N与A重合时，x最小，如图2所示，
则CK的解析式为：y＝﹣x+2，
设O′（x，﹣x+2），过O′作QO′⊥x轴于Q，
则O′Q＝﹣x+2，AQ＝4﹣x，
Rt△QO′A中，（﹣x+2）2+（4﹣x）2＝42．
解得x＝3﹣或3+（舍弃），
综上所述，满足条件的x的范围为3﹣≤x≤．
故答案为3﹣≤x≤．
16．（3分）如图，已知等边△AOC的周长为3，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则等边△A2019C2018C2019的顶点A2019坐标为　（，）　．
解：解：∵等边△A1C1C2的周长为3，作OD⊥AC于点D，
∴OC＝1，C1C2＝CD＝OC＝，
∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2018C2019的长分别为1，，，，…，，
OC2019＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2018C2019＝1++++…+＝，
等边△A2019C2018C2019顶点A2019的横坐标＝﹣＝，
等边△A2019C2018C2019顶点A2019的纵坐标＝×＝．
故答案为：（，）．
三、解答题（共8题，17～20每题8分，21～22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）先化简：（），再从﹣2，﹣1，1，2，3中选择一个你喜欢的值代入求值．
解：原式＝[﹣]?
＝?
＝，
当x＝﹣1，1，﹣2，3时，分式没有意义，
当x＝2时，原式＝．
18．（8分）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
【解答】证明：（1）连接AC，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF＝AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）过点A作AH⊥BC于H．
∵∠FGB＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，
∵GB＝AE＝2，
∴AB＝AD＝4，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴AH＝2，BH＝2．
∴GH＝4，
∴AG＝＝＝2．
19．（8分）电子政务、数字经济、智慧社会……一场数字革命正在神州大地激荡，在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
组别 成绩x（分） 人数
A 60≤x＜70 10
B 70≤x＜80 m
C 80≤x＜90 16
D 90≤x≤100 4
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中m＝　20　；统计图中n＝　32　；B组的圆心角是　144　度．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．
解：（1）被调查的总人数为10÷20%＝50，
则m＝50﹣（10+16+4）＝20，
n%＝×100%＝32%，即n＝32，
D组的圆心角是360°×＝144°，
故答案为：20、32、144；
（2）①设男同学标记为A、B；女学生标记为1、2，可能出现的所有结果列表如下：
A B 1 2
A / （B，A） （1，A） （2，A）
B （A，B） / （1，B） （2，B）
1 （A，1） （B，1） / （2，1）
2 （A，2） （B，2） （1，2） /
共有 12 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有8种，
∴恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为＝；
②∵至少1名女生被抽取参加5G体验活动的有10种结果，
∴至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率为＝．
20．（8分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
【解答】（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，△＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2＝，x1?x2＝，
∵|x1﹣x2|＝，
∴＝，
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
21．（9分）图①是一个演讲台，图②是演讲台的侧面示意图，支架BC是一段圆弧，台面与两支架的连接点A，B间的距离为30cm，CD为水平地面，∠ADC＝75°，∠DAB＝60°，BD⊥CD．
（1）求BD的长（结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.7）；
（2）如图③，若圆弧BC所在圆的圆心O在CD的延长线上，且OD＝CD，求支架BC的长（结果保留根号）．
解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
在Rt△ABE中，AB＝30 cm，∠DAB＝60°，
∴BE＝AB?sin∠DAB＝30×＝15（cm）
∵BD⊥DC，∠ADC＝75°，
∴∠ADB＝15°，
∴∠EBD＝75°．
在Rt△DBE中，BD＝≈≈98（cm）
（2）连接BC，OB．
∵BD⊥OC，OD＝CD，
∴BC＝OB．
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴OB＝＝＝（cm），
∴弧BC的长为＝（cm）．
∴支架BC的长为 cm
22．（9分）如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．
（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；
（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．
i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．
ii）若DG＝，求⊙O的周长（结果保留π）
解：（1）如图1中，
∵CD是直径，
∴∠CED＝90°，
∵AB是⊙O的切线，
∴CD⊥AB，
∴∠AED＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵AE＝CD，
∴△AED≌△CDB．
（2）i）如图2中，结论：BF＝2DG．理由如下：
∵△AED≌△CDB，
∴DE＝DB，
∴∠DEB＝∠DBE，
∵∠BDG+∠CDG＝90°，∠CDG+∠DCG＝90°，
∴∠BDG＝∠DCG＝∠DEB＝∠DBG，
∴DG＝GB，
∵∠DFG+∠DBF＝90°，∠FDG+∠BDG＝90°，
∴∠GFD＝∠GDF，
∴DG＝GF＝GB，
∴BF＝2DG．
ii）如图2中，设AD＝BC＝y，DE＝DB＝z，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝
整理得y2﹣yz﹣z2＝0，
∴y＝z或y＝z（舍弃），
∵DE∥BC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴EF＝﹣，
设DF＝2k，CF＝（1+）k，
∵EF?FG＝DF?CF，
∴（﹣）?＝2k?（1+）k，
∴k＝，
∴CD＝DF+CF＝+1，
∴OC＝，
⊙O的周长为（+1）π．
23．（10分）某水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为20天，销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤20）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤20）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：
x（天） 1 2 3 …
m（kg） 20 24 28 …
（1）请分别写出销售单价y（元/kg）与x（天）之间及销售量m（kg）是x（天）的之间的函数关系式
（2）求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
（3）请求出试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的天数．
解：（1）当1≤x≤7时，y＝60；
当8≤x≤20时，设y＝kx+b，
将（8，50）、（18，40）代入得，
解得，
∴y＝﹣x+58；
综上，y＝；
设m＝ax+c，
将（1，20）、（2，24）代入得，
解得，
则m＝4x+16（0≤x≤20，且x为整数）；
（2）设当天的总利润为w，
当1≤x≤7时，w＝（60﹣18）（4x+16）＝168x+672，
则x＝7时，w取得最大值，最大值为1848元；
当8≤x≤20时，w＝（﹣x+58﹣18）（4x+16）
＝﹣4x2+144x+640
＝﹣4（x﹣18）2+1936，
∴当x＝18时，w取得最大值，最大利润为1936元；
综上，在销售的第18天时，当天的利润最大，最大利润是1936元；
（3）当1≤x≤7时，168x+672≥1680，
解得x≥6，
∴此时满足条件的天数为第6、7这2天；
当8≤x≤20时，﹣4（x﹣18）2+1936≥1680，
解得10≤x≤26，
又∵x≤20，
∴10≤x≤20，
∴此时满足条件的天数有11天；
综上，试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的有13天．
24．（12分）抛物线l1：y＝x2+bx+c与它的对称轴x＝﹣2交于点A，且经过点B（0，﹣2）．
（1）求抛物线l1的解析式；
（2）如图1，直线y＝kx+2k﹣8（k＜0）与抛物线l1交于点E，F，若△AEF的面积为，求k的值；
（3）如图2，将抛物线l1向下平移n（n＞0）个单位长度得到抛物线l2，抛物线l2与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线l2于另一点D；抛物线l2的对称轴与x轴的交于点M，P为线段OC上一点，若△POM与△PCD相似，并且符合该条件的点P有且只有2个，求n的值及相应点P的坐标．
解：（1）根据题意有，
解得，
∴抛物线l1的解析式为y＝x2+4x﹣2．
（2）如图1，设直线y＝kx+2k﹣8与抛物线l1的对称轴交点为G，则G（﹣2，﹣8），
又可得抛物线l1的顶点A（﹣2，﹣6），
∴AG＝2，
S△AEF＝S△AGE﹣S△AGF
＝AG?（﹣2﹣xE）﹣AG?（﹣2﹣xF）
＝AG?（xF﹣xE），
又∵S△AEF＝2，AG＝2，
∴xF﹣xE＝2，
将抛物线l1与直线y＝kx+2k﹣8联立得，
消去y得x2+4x﹣2＝kx+2k﹣8，
整理得x2+（4﹣k）x﹣2k+6＝0，得x＝，
∴xF﹣xE＝，
∴＝2，
解得k＝±4，
又k＜0，
∴k＝﹣4．
（3）设抛物线l2的解析式为y＝x2+4x﹣2﹣m，
∴C（0，﹣2﹣n），D（﹣4，﹣2﹣n），M（﹣2，0）
设P（0，t）．
①当△PCD∽△MOP时，＝，
∴＝，
∴t2+（n+2）t+8＝0；
②当△PCD∽△POM时，＝，
∴＝，
∴t＝﹣；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△＝（n+2）2﹣4×1×8＝0，
解得n＝±4﹣2，
又n＞0，
∴n＝4﹣2，
此时方程①有两个相等实根t1＝t2＝﹣2，方程②有一个实数根t＝﹣；
∴n＝4﹣2，
此时点P的坐标为（0，﹣2）和（0，﹣）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：﹣+8＝0，即（n+2）2＝36，
解得n1＝4，n2＝﹣8，
又n＞0，
∴n＝4，
此时方程①有两个不相等的实数根，t1＝﹣2，t2＝﹣4，方程①有一个实数根t＝﹣2；
∴n＝4，
此时点P坐标为（0，﹣2）和（0，﹣4），
综上，当n＝4﹣2时，点P的坐标为（0，﹣2）和（0，﹣）；当n＝4时，点P坐标为（0，﹣2）和（0，﹣4）．