2019-2020学年福建省福州教院附中九年级下学期开学数学试卷 （Word版解析版）

2019-2020学年福建福州教院附中九年级第二学期开学数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．0
2．（3分）在下列的计算中，正确的是（　　）
A．m3+m2＝m5 B．m6÷m2＝m3
C．（m+1）2＝m2+1 D．（2m）3＝8m3
3．（3分）下面四幅图中所作的∠AOB不一定等于60°的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　）
A．∠A的平分线 B．AC边的中线
C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
6．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．|a|＞|c| B．bc＞0 C．a+d＞0 D．b＜﹣2
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
8．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
9．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．10
二、填空题（共6小题）.
11．（3分）2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为　 　．
12．（3分）分解因式：mn2﹣4m＝　 　．
13．（3分）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于30米，则A、C两点间的距离AC＝　 　米．
14．（3分）写出一个满足＜a＜的整数a的值为　 　．
15．（3分）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为　 　米（结果保留根号）．
16．（3分）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．
其中正确的结论的序号是　 　．（只填序号）
三、解答题（本大题共9小题，共0.0分）
17．（8分）计算：（﹣1）2019+|2﹣|﹣（tan30°﹣1）0．
18．（8分）某校为了了解初三学生的体育达标情况，现从初三学生中随机抽取了部分学生进行了考试项目测试，根据测试结果将学生成绩按要求分为A（优秀），B（良好），C（合格），D（不合格）四个等级，并绘制了如下统计图表．
请根据所绘制图表中信息解答以下问题：
选项 频数 频率
A m 0.20
B 70 0.35
C 60 n
D 30 0.15
（1）这次共抽查了多少个学生？
（2）求表中m，n的值，并补全条形统计图；
（3）该校有1200名初三学生，估计该校全体初三学生中体育成绩达到合格及以上成绩的有多少人？
19．（8分）解方程：＝．
20．（8分）如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CDE＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．
21．（8分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；
②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．
（1）小明所求作的直线DE是线段AB的　 　；
（2）联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝，BC＝9，求AC的长．
22．（8分）小明、小军是同班同学．某日，两人放学后去体育中心游泳，小明16：00从学校出发，小军16：03也从学校出发，沿相同的路线追赶小明．设小明出发x分钟后，与体育中心的距离为y米．如图，线段AB表示y与x之间的函数关系．
（1）求y与x之间的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果小军的速度是小明的1.5倍，那么小军用了多少分钟追上小明？此时他们距离体育中心多少米？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x轴交于点M，与y轴相交于另一点G，连接AE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若点A，D的坐标分别为（0，﹣1），（2，0），求⊙F；
（3）求经过三点M，F，D的抛物线的解析式．
24．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在直线y＝x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y＝3x于点B，点B在第一象限内．
（1）如图1，当∠OAB＝90°时，求的值；
（2）当点A的坐标为（6，0），且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离．
25．已知抛物线y＝x2+bx+c．
（Ⅰ）当顶点坐标为（1，0）时，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）当b＝2时，M（m，y1），N（2，y2）是抛物线图象上的两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若抛物线上的点P（s，t），满足﹣1≤s≤1时，1≤t≤4+b，求b，c的值．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．0
解：根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一切负数，
∴1＞﹣3，0＞﹣3，
∵|﹣3|＝3，|﹣1|＝1，|﹣4|＝4，
∴比﹣3小的数是负数，是﹣4．
故选：B．
2．（3分）在下列的计算中，正确的是（　　）
A．m3+m2＝m5 B．m6÷m2＝m3
C．（m+1）2＝m2+1 D．（2m）3＝8m3
解：A、m3与m2不能合并，错误；
B、m6÷m2＝m4，错误；
C、（m+1）2＝m2+2m+1，错误；
D、（2m）3＝8m3，正确；
故选：D．
3．（3分）下面四幅图中所作的∠AOB不一定等于60°的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、∠AOB恰好是直角三角板中的60°角，正确；
B、∠AOB恰好是量角器中的60°角，正确；
C、∠AOB恰好是等边三角形的一个内角等于60°，正确；
D、无法得出∠AOB＝60°，只能得出是圆周角的2倍，错误；
故选：D．
4．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　）
A．∠A的平分线 B．AC边的中线
C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
解：
∵分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EB，
∴点D，E在线段AB的垂直平分线上，
故选：D．
6．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．|a|＞|c| B．bc＞0 C．a+d＞0 D．b＜﹣2
解：A、∵a＜﹣4，0＜c＜1，
∴|a|＞|c|，结论A正确；
B、∵b＜0，c＞0，
∴bc＜0，结论B错误；
C、∵a＜﹣4，d＝4，
∴a+d＜0，结论C错误；
D、﹣2＜b＜﹣1，结论D错误．
故选：A．
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，
故选：B．
8．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，
∴，
解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
9．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：由题意可得，
，
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．10
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（3分）2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为　5.19×10﹣3　．
解：0.00519＝5.19×10﹣3，
故答案为：5.19×10﹣3．
12．（3分）分解因式：mn2﹣4m＝　m（n+2）（n﹣2）　．
解：mn2﹣4m，
＝m（n2﹣4），
＝m（n+2）（n﹣2）．
故答案为：m（n+2）（n﹣2）．
13．（3分）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于30米，则A、C两点间的距离AC＝　60　米．
解：∵点E、F分别是BA和BC的中点，
∴AC＝2EF＝60，
故答案为：60．
14．（3分）写出一个满足＜a＜的整数a的值为　2　．
解：∵1＜＜2，4＜＜5，
∴一个满足＜a＜的整数a的值为2，
故答案为：2．
15．（3分）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为　100（1+）　米（结果保留根号）．
解：过点A作AE⊥BM于点E，BF⊥CN于点F，
∵α为30°，β为45°，AB＝BC＝200米，
∴sin30°＝，sin45°＝，
∴AE＝AB?sin30°＝100（米），
BF＝BC?sin45°＝100（米），
∴他下降的高度为：AE+BF＝100（1+）米．
故答案为：100（1+）．
16．（3分）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．
其中正确的结论的序号是　①③④　．（只填序号）
解：①设点A（m，），M（n，），
则直线AC的解析式为y＝﹣x++，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，
∴OM＝OA，
∴k＝mn，
∴A（m，n），M（n，m），
∴AM＝（m﹣n），OM＝，
∴AM不一定等于OM，
∴∠BAM不一定是60°，
∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，
∴可以假设M（1，k），
∵△OAM为等边三角形，
∴OA＝OM＝AM，
1+k2＝m2+，
∵m＞0，k＞0，
∴m＝k，
∵OM＝AM，
∴（1﹣m）2+＝1+k2，
∴k2﹣4k+1＝0，
∴k＝2，
∵m＞1，
∴k＝2+，故③正确，
如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，
∴＝＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴＝，
∵KM∥OD，
∴＝＝2，
∴DM＝2AM，故④正确．
故答案为①③④．
三、解答题（本大题共9小题，共0.0分）
17．（8分）计算：（﹣1）2019+|2﹣|﹣（tan30°﹣1）0．
解：原式＝﹣1+2﹣2﹣1
＝﹣4+2．
18．（8分）某校为了了解初三学生的体育达标情况，现从初三学生中随机抽取了部分学生进行了考试项目测试，根据测试结果将学生成绩按要求分为A（优秀），B（良好），C（合格），D（不合格）四个等级，并绘制了如下统计图表．
请根据所绘制图表中信息解答以下问题：
选项 频数 频率
A m 0.20
B 70 0.35
C 60 n
D 30 0.15
（1）这次共抽查了多少个学生？
（2）求表中m，n的值，并补全条形统计图；
（3）该校有1200名初三学生，估计该校全体初三学生中体育成绩达到合格及以上成绩的有多少人？
解：（1）30÷0.15＝200（人），
答：这次共抽查了200名学生；
（2）m＝200×0.20＝40，n＝1﹣0.2﹣0.35﹣0.15＝0.3，
补全图形如下：
（3）估计该校全体初三学生中体育成绩达到合格及以上成绩的有1200×（1﹣0.15）＝1020人．
19．（8分）解方程：＝．
解：去分母得：16＝（x+2）2，
化简得：x+2＝±4，
解得：x＝﹣6或2，
经检验，x＝﹣6是原方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣6．
20．（8分）如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CDE＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°，
∴∠C＝∠DEB，
在△ACE和△BED中，
∵，
∴△ACE≌△BED（AAS）．
21．（8分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；
②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．
（1）小明所求作的直线DE是线段AB的　线段AB的垂直平分线（或中垂线）　；
（2）联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝，BC＝9，求AC的长．
解：（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；
故答案为线段AB的垂直平分线（或中垂线）；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝7
∴CD＝BC﹣BD＝2，
在Rt△ADF中，∵sin∠DAC＝＝，
∴DF＝1，
在Rt△ADF中，AF＝＝4，
在Rt△CDF中，CF＝＝，
∴AC＝AF+CF＝4+＝5．
22．（8分）小明、小军是同班同学．某日，两人放学后去体育中心游泳，小明16：00从学校出发，小军16：03也从学校出发，沿相同的路线追赶小明．设小明出发x分钟后，与体育中心的距离为y米．如图，线段AB表示y与x之间的函数关系．
（1）求y与x之间的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果小军的速度是小明的1.5倍，那么小军用了多少分钟追上小明？此时他们距离体育中心多少米？
解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即y与x之间的函数解析式为y＝﹣60x+600；
（2）小明的速度为：600÷10＝60米/分钟，
则小军的速度为：60×1.5＝90米/分钟，
设小军用了a分钟追上小明，
90a＝60（a+3），
解得，a＝6，
当a＝6时，他们距离体育中心的距离是600﹣90×6＝60米，
答：小军用了6分钟追上小明，此时他们距离体育中心60米．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x轴交于点M，与y轴相交于另一点G，连接AE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若点A，D的坐标分别为（0，﹣1），（2，0），求⊙F；
（3）求经过三点M，F，D的抛物线的解析式．
解：（1）连接FE，
∵⊙F与边BC相切于点E，
∴∠FEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FEC+∠ACB＝180°，
∴FE∥AC，
∴∠EAC＝∠FEA，
∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴∠FAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC；
（2）连接FD，
设⊙F的半径为r，
∵A（0，﹣1），D（2，0），
∴OA＝1，OD＝2，
在Rt△FOD中，FD2＝（AF﹣AO）2+OD2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
解得：r＝，
∴⊙F的半径为；
（3）∵FA＝r＝，OA＝1，FO＝，
∴F（0，），
∵直径AG垂直平分弦MD，点M和点D（2，0）关于y轴对称轴，
∴M（﹣2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣2），
将点F（0，）代入，得：﹣4a＝，
解得：a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣2）＝﹣x2+．
24．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在直线y＝x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y＝3x于点B，点B在第一象限内．
（1）如图1，当∠OAB＝90°时，求的值；
（2）当点A的坐标为（6，0），且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离．
解：（1）设点A坐标为（a，0）（a＞0）
∵∠OAB＝90°，点B在直线y＝3x上，点P在直线y＝x上
∴B（a，3a），P（a，a）
∴BP＝3a﹣a＝a，AP＝a
∴
（2）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D
∴BC∥PD
∵BP＝2AP
∴
∴CD＝2DA
设直线AB解析式为：y＝kx+b
∵A（6，0）
∴6k+b＝0，得b＝﹣6k
∴直线AB解析式为y＝kx﹣6k
当x＝kx﹣6k时，解得：x＝
∴xD＝xP＝
当3x＝kx﹣6k时，解得：x＝
∴xC＝xB＝
∴CD＝xD﹣xC＝，AD＝6﹣xD＝6﹣
∴＝2（6﹣）
解得：k＝﹣2
∴xB＝，yB＝3xB＝，即B（，）
∵抛物线y＝﹣x2+mx过点A
∴﹣36+6m＝0，解得：m＝6
设平移后过点B的抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+n
∴﹣（）2+6×+n＝
解得：n＝﹣
∴抛物线向下平移了个单位长度．
25．已知抛物线y＝x2+bx+c．
（Ⅰ）当顶点坐标为（1，0）时，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）当b＝2时，M（m，y1），N（2，y2）是抛物线图象上的两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若抛物线上的点P（s，t），满足﹣1≤s≤1时，1≤t≤4+b，求b，c的值．
解：（Ⅰ）由已知得，
∴
∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x+1；
（Ⅱ）当b＝2时，y＝x2+2x+c
对称轴直线x＝﹣1
由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，
由N（2，y2）得Q（﹣4，y2）
又∵M（m，y1）在抛物线图象上的点，
且y1＞y2，由函数增减性得m＜﹣4或m＞2；
（Ⅲ）分三种情况：
①当﹣＜﹣1，即b＞2时，函数值y随x的增大而增大，
依题意有，
∴
②当﹣1≤﹣≤1，即﹣2≤b≤2时，x＝﹣时，函数值y取最小值，
（ⅰ）若0≤﹣≤1，即﹣2≤b≤0时，依题意有
，
∴或（舍去）
（ⅱ）若﹣1≤﹣≤0，即0≤b≤2时，
依题意有，
∴（舍去）
③当﹣＞1，即b＜﹣2时，函数值y随x的增大而减小，
依题意得，，
∴（舍去）
综上所述，或．