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第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．计算：
（1）a3?a2?a4+（﹣a）2；
（2）（x2﹣2xy+x）÷x
2．甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．
3．（1）分解因式：x3﹣x
（2）分解因式：（x﹣2）2﹣2x+4
4．因式分解：
5．
6．因式分解：
7．
8．因式分解：
9．
10．把分解因式，并求时的值．
11．
12．先分解因式，再求值：，其中．
13．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
14．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则
原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
15．已知能分解成两个一次因式的乘积，求的值.
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第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．计算：
（1）a3?a2?a4+（﹣a）2；
（2）（x2﹣2xy+x）÷x
【答案】（1）a9+a2；（2）x﹣2y+1．
【解析】
【分析】
(1)
先根据同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘计算,然后再根据合并同类项法则计算即可.
(2)把多项式的每一项都分别除以这个单项式,再把所得的商相加可得答案.
【详解】
解：（1）a3?a2?a4+（﹣a）2＝a9+a2；
（2）（x2﹣2xy+x）÷x＝x﹣2y+1．
【点评】
(1)考查了积的乘方与同底数幂的乘法的运算性质.同底数的幂相乘,底数不变,指数相加.积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘；
(2)考查多项式除以单项式运算.多项式除以单项式,先把多项式的每一项都分别除以这个单项式,再把所得的商相加.
2．甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．
【答案】m＝6，n＝9，正确结果是(x＋3)2.
【解析】
【分析】
根据题意可得出m，n的值，代入再进行因式分解即可．
【详解】
∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，甲看错了n，∴m=6．
∵（x+1）（x+9）=x2+10x+9，乙看错了m，∴n=9；
∴x2+mx+n=x2+6x+9=（x+3）2．
【点评】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、因式分解法（十字相乘）是解题的关键．
3．（1）分解因式：x3﹣x
（2）分解因式：（x﹣2）2﹣2x+4
【答案】（1）x（x+1）（x﹣1）；（2）（x﹣2）（x﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）先提公因式x，再用公式法因式分解可得答案；
（2）直接提取公因式x﹣2，进行因式分解可得答案.
【详解】
解：（1）原式＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）
＝（x﹣2）（x﹣4）．
【点评】本题考查因式分解,因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以提取公因式的要先提取公因式.
4．因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】
将分组为，然后利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可．
【详解】
=
=
．
【点评】本题考查了利用分组分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解题的关键．
5．
【答案】．
【解析】
【分析】
综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解即可得．
【详解】
原式，
，
．
【点评】本题考查了综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
6．因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】
观察到二次项系数2=1×2，常数项-9=-3×3，一次项系数-3=2×（-3）+1×3，因此用十字相乘法进行分解即可．
【详解】
=．
【点评】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．
7．
【答案】
【解析】
【分析】
将看成一个整体用公式法进行因式分解，然后再用十字相乘法继续分解因式即可．
【详解】
原式
【点评】
本题考查了公式法和十字相乘法分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键．
8．因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】
将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．
【详解】
=．
【点评】
本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．
9．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式3mn，再利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】
解：原式
．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的关键．
10．把分解因式，并求时的值．
【答案】，16．
【解析】
【分析】
先利用两次完全平方公式进行因式分解，再将t的值代入，计算有理数的乘方运算即可得．
【详解】
原式，
，
，
当时，原式．
【点评】本题考查了利用公式法进行因式分解、有理数的乘方运算，熟记完全平方公式是解题关键．
11．
【答案】
【解析】
【分析】
把原式看成“1”和“3（a-1）”的完全平方式，再利用公式法因式分解．
【详解】
解：原式
【点评】本题考查公式法因式分解，把“”看成“”是解题关键．
12．先分解因式，再求值：，其中．
【答案】，48
【解析】
【分析】
先将原式变形，再提取公因式，整理即可．
【详解】
解：
；
当时，原式
．
【点评】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键．
13．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解．
【答案】，．
【解析】
【分析】
先将x的值代入，解关于k的一元一次方程求出k的值，再综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解即可得．
【详解】
当时，多项式的值为0，
即，
解得；
则原多项式为，
因式分解得：原式，
，
，
．
【点评】本题考查了综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．
14．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则
原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
【答案】(1)(x－y＋1)2；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
分析：（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；(3)将原式转化为(n?+3n)
[(n+1)（n+2）]+1,进一步整理为(n?+3n+1)
?,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.
本题解析：
(1).1+2(x-y)+(x+y)
?=（x﹣y+1）2；
（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
点评;本题考查了因式分解的应用，解题的关键是认真审题你，理解题意，掌握整体思想解决问题.
15．已知能分解成两个一次因式的乘积，求的值.
【答案】，
【解析】
【分析】
先将式子因式分解,再设出两个因式令其相等解出未知部分,代入即可解出.
【详解】
∵,
令,
∴①;
②;
③;
由①②可得：,;
将代入③可得：,即,
解得：,
【点评】本题考查了因式分解,关键设出a,b来表示未知部分,用m来表示出a,b.
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