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第15章分式15.3分式方程（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．解分式方程：
（1）；
（2）．
2．解方程：．
佳佳的解题过程如下：
解：去分母，得．①
合并同类项，得．②
系数化为1，得．③
检验：当时，，原分式方程的解为．
请问佳佳的解题过程从哪一步开始出错？并将正确的解题过程写出来．
3．解方程：
4．解分式方程：
（1）；
（2）；
（3）．
5．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为，其余圆的直径从左到右依次递减．最大圆的左侧距工具板左侧边缘，最小圆的右侧距工具板右侧边缘，相邻两圆的间距d均相等．
（1）用含x的代数式表示其余四个圆的直径；
（2）若最大圆与最小圆的直径之比为，求相邻两圆的间距．
6．解方程：
（1）；
（2）．
7．已知关于x的方程有增根，求m的值．
8．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
9．分式方程的解为多少？
10．A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．
11．阅读理解：解方程组时，如果设则原方程组可变形为关于、的方程组，解这个方程组得到它的解为由求的原方程组的解为，利用上述方法解方程组：
12．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
13．列分式方程解应用题.
为缓解市区至通州沿线的通勤压力，北京市政府利用既有国铁线路富余能力，通过线路及站台改造，开通了“京通号”城际动车组，每班动车组预定运送乘客1200人，为提高运输效率，“京通号”车组对动车车厢进行了改装，使得每节车厢乘坐的人数比改装前多了，运送预定数量的乘客所需要的车厢数比改装前减少了4节，求改装后每节车厢可以搭载的乘客人数.
14．若分式与的和为，则x的值为多少？
15．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
16．若关于x的方程无解，求k的值．
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第15章分式15.3分式方程（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）无解；（2）无解
【解析】
【分析】
（1）方程两边乘去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）方程两边乘去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
因此不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解；
（2）方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
因此不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
【点评】
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．解方程：．
佳佳的解题过程如下：
解：去分母，得．①
合并同类项，得．②
系数化为1，得．③
检验：当时，，原分式方程的解为．
请问佳佳的解题过程从哪一步开始出错？并将正确的解题过程写出来．
【答案】①，
【解析】
【分析】
去分母时，一定不要漏乘分母为1的项；解分式方程即可得出答案．
【详解】
佳佳的解题过程从第①步开始出错，
正确的解题过程如下：
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
【点评】
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程“去分母时，一定不要漏乘分母为1的项”是解题的关键；注意解分式方程一定要验根．
3．解方程：
【答案】
【解析】
【分析】
方程两边同时乘以（3x－1），把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得结果．
【详解】
解：方程两边同时乘以（3x－1），约去分母得：，
解这个方程，得，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
【点评】
本题考查了分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解分式方程的方法是关键．
4．解分式方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）无解；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）方程两边乘去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）方程两边乘去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（3）方程两边乘去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）方程两边乘，
得，
解得，
检验：当时，，因此不是原分式方程的解，
原分式方程无解；
（2）方程两边乘，
得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解为；
（3）方程两边乘，
得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
【点评】
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为，其余圆的直径从左到右依次递减．最大圆的左侧距工具板左侧边缘，最小圆的右侧距工具板右侧边缘，相邻两圆的间距d均相等．
（1）用含x的代数式表示其余四个圆的直径；
（2）若最大圆与最小圆的直径之比为，求相邻两圆的间距．
【答案】（1）其余四个圆的直径从大到小依次为，，，．（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意：最大圆的直径为，其余圆的直径从左到右依次递减解答即可；
（2）先根据最大圆与最小圆的直径之比为列出方程求出x，再根据5个圆的直径+4d+3=21即可列出方程，解方程即得结果．
【详解】
解：（1）其余四个圆的直径从大到小依次为，，，；
（2）由题意可知，解得：．
经检验，是所列分式方程的解，
．
．
答：相邻两圆的间距为．
【点评】
本题考查了据题意列出代数式和分式方程的简单应用，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
6．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）无解；（2）．
【解析】
【分析】
（1）方程两边同时乘以(x－2)去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的根并检验后即得结果；
（2）方程两边同时乘以x(x－1)去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的根并检验后即得结果．
【详解】
解：（1）去分母，得．
移项，合并同类项，得．
解得．
经检验，是增根，所以原分式方程无解．
（2）去分母，得，
移项，合并同类项，得，解得．
经检验，是原分式方程的解．
所以方程的解为．
【点评】
本题考查了分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
7．已知关于x的方程有增根，求m的值．
【答案】m＝－3或5时．
【解析】
【分析】
根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x－1）＝0，所以增根是x＝0或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】
解：方程两边都乘x(x－1)，
得3(x－1)＋6x＝x＋m，
∵原方程有增根，∴最简公分母x(x－1)＝0，
解得x＝0或1，当x＝0时，m＝－3；当x＝1时，m＝5.
故当m＝－3或5时，原方程有增根．
【点评】
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
8．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元．
【解析】
分析：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
详解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：
，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是35元．
点评：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．分式方程的解为多少？
【答案】
【解析】
【分析】
方程的两个部分具备倒数关系，若设y=，则原方程另一个分式为12×，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，结果需检验；
【详解】
解：设y=，则原方程可化为：，
整理得，，
解得：，
当y=-3时，，
即，此时方程无解；
当y=4时，，
即，
解得，
即；
经检验得，是方程的解；
【点评】
本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键.
10．A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的路程划船前进，余下的路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．
【答案】船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．
【解析】
【分析】
设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】
设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，
根据题意得
解得或，
经检验，是方程组的解且符合实际，是方程组的解但不符合实际，
所以，
故船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．
【点评】
此题主要考查列方程组解应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解．
11．阅读理解：解方程组时，如果设则原方程组可变形为关于、的方程组，解这个方程组得到它的解为由求的原方程组的解为，利用上述方法解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】
仿照例题，设＝m，＝n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解．
【详解】
设＝m，＝n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，
①＋②得：
8m＝24，
解得：m＝3，
将m＝3代入①得：
n＝?2，
则方程组的解为：，
由＝3，＝?2，
故方程组的解为：．
【点评】
本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．
12．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌的足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【答案】（1）一个A品牌的足球需50元，一个B品牌的足球需80元；（2）该中学此次最多可购买30个B品牌足球
【解析】
【分析】
（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购买A品牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元，可列出关于a的不等式，解不等式即可解决问题．
【详解】
解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，由题意得：
，解得：x＝50，
经检验：x＝50是原方程的解，x+30＝80．
答：一个A品牌的足球需50元，一个B品牌的足球需80元．
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购买A品牌足球（50﹣a）个，由题意得：
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240，解得a≤30．
∵a是整数，∴a最大等于30，
答：该中学此次最多可购买30个B品牌足球．
【点评】
本题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出相应的方程和不等式是解答的关键．
13．列分式方程解应用题.
为缓解市区至通州沿线的通勤压力，北京市政府利用既有国铁线路富余能力，通过线路及站台改造，开通了“京通号”城际动车组，每班动车组预定运送乘客1200人，为提高运输效率，“京通号”车组对动车车厢进行了改装，使得每节车厢乘坐的人数比改装前多了，运送预定数量的乘客所需要的车厢数比改装前减少了4节，求改装后每节车厢可以搭载的乘客人数.
【答案】改装后每节车厢可以搭载乘客200人.
【解析】
【分析】
设改装前每节车厢乘坐x人，根据题目条件“使得每节车厢乘坐的人数比改装前多了，运送预定数量的乘客所需要的车厢数比改装前减少了4节”列出分式方程即可解决问题．
【详解】
解：设改装前每节车厢乘坐x人，由题意得：
，解得：x＝120，
经检验：x＝120是分式方程的解，
则改装后每节车厢可以搭载的乘客人数＝120×＝200人，
答：改装后每节车厢可以搭载乘客200人.
【点评】
本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
14．若分式与的和为，则x的值为多少？
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到，，若设y=，可用换元法转化为关于y的分式方程，先求y，再求x，结果需检验；
【详解】
解：由题可得，，
设y=，则原方程可化为：，
整理得，，
解得：，
当时，
则，
解得；
经检验得，都是方程的解；
当时，，
∴，
经检验得，都是方程的解；
【点评】
本题主要考查了换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程是解题的关键.
15．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【答案】x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.
【解析】
试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.
试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，
所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．
原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.
当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；
当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，
解得m＝12.
综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.
当x＝3时，m＝6；
当x＝－3时，m＝12.
点评：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．
16．若关于x的方程无解，求k的值．
【答案】当k＝－1或－时原方程无解.
【解析】
【分析】
因为把原分式方程化为整式方程后是一个一次项系数中含有字母的整式方程，故需要分两种情况讨论，①求使整式方程无解的k值；②求使整式方程的解是x=2和x=-2的k值.
【详解】
，
去分母得，x＋2＋k(x－2)＝3，
去括号得，x＋2＋kx－2k＝3，
移项合并同类项得，(1＋k)x＝2k＋1，
①当1＋k＝0，即k＝－1时整式方程无解，
②当1＋k≠0时x＝，＝±2时，即k＝－时分式方程无解，
综上所述当k＝－1或-时原方程无解.
【点评】
本题主要考查了含字母系数的分式方程无解的知识点，一般的解法是先将分式方程化为整式方程，再将使原分式方程的分母为0的未知数的值代入到整式方程中，求出对应的字母系数的值，但如果化为整式方程后，未知数的系数中含有字母系数，还要注意求使这个整式方程无解的字母系数的值.
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