高中物理鲁科版新教材必修第一册学案 第2章 素养培优课（一）　匀变速直线运动规律的应用Word版含解析

素养培优课(一)　匀变速直线运动规律的应用
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【例1】　从车站开出的汽车做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速直线运动至停车，总共历时20 s，行进了50 m，求汽车在此次运动过程中的最大速度．
思路点拨：在匀变速直线运动中，汽车初速度为0，匀加速达最大速度；接着匀减速到0，首选平均速度公式解决．
[解析]　方法一：基本公式法
设最大速度为vmax，由题意得
s＝s1＋s2＝a1t＋vmaxt2－a2t，t＝t1＋t2，
vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，
解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
方法二：平均速度法
由于汽车在前、后两段均做匀变速直线运动，所以前、后两段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即＝＝，由s＝t得vmax＝＝5 m/s.
方法三：图像法
作出汽车运动全过程的v?t图像如图所示，v?t图像与t轴所围成的三角形的面积与位移的大小相等，所以s＝，则vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
[答案]　5 m/s
在匀变速直线运动中，没有加速度a，也不涉及加速度，只涉及初、末速度和时间，利用s＝t求位移比较方便.
[跟进训练]
1．沿直线做匀变速运动的质点在第一个0.5 s内的平均速度比它在第一个1.5 s内的平均速度大2.45 m/s，以质点初始时刻的运动方向为正方向，则质点的加速度为(　　)
A．2.45 m/s2 B．－2.45 m/s2
C．4.90 m/s2 D．－4.90 m/s2
D　[质点在第一个0.5 s内的平均速度为v1，即在t1＝0.25 s时的速度为v1；在第一个1.5 s内的平均速度为v2，即在t2＝0.75 s时的速度为v2.由题意得：v1－v2＝2.45 m/s，故a＝＝ m/s2＝－4.90 m/s2，D正确．]
初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比
s1′∶s2′∶s3′∶…∶sn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为s)的比例式
(1)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移时的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(2)通过前s、前2s、前3s、…、前ns的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(3)通过连续相同的位移所用时间之比
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
【例2】　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度大小；
(2)前6 s内的位移大小；
(3)第6 s内的位移大小．
思路点拨：初速度为0的匀加速直线运动，根据相等时间间隔的速度、位移规律的比例关系，可以容易得出结果．
[解析]　(1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v6＝v4＝6 m/s.
(2)由v4＝at4得a＝＝＝1 m/s2
所以第1 s内的位移s1＝a×12 m＝0.5 m
第1 s内与前6 s内的位移之比s1∶s6＝12∶62
故前6 s内小球的位移s6＝36s1＝18 m.
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比sⅠ∶sⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移sⅥ＝11sⅠ＝5.5 m.
[答案]　(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m
求出第1 s末的速度和第1 s内的位移，然后灵活应用初速度为零的比例式求解会比较简洁.
[跟进训练]
2．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为s1∶s2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2.以下说法正确的是(　　)
A．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．s1∶s2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．s1∶s2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
B　[由初速度为零的匀变速直线运动的比例关系知s1∶s2＝1∶3，由s＝at2知，走完1 m与走完2 m所用时间之比为t1∶t2＝1∶，又v＝at，可得v1∶v2＝1∶，B正确．]
位移差公式Δs＝aT2
1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δs＝s2－s1＝aT2.
2．证明：设物体以初速度v0，加速度a做匀加速直线运动，从开始计时起，时间T内的位移为
s1＝v0T＋aT2，
在第2个时间T内的位移为
s2＝v0×2T＋a(2T)2－s1＝v0T＋aT2
由以上两式可得，连续相等的时间T内的位移之差为
Δs＝s2－s1＝－＝aT2
即Δs＝aT2.
进一步推证可得：
Δs＝sn＋1－sn＝…＝s2－s1＝aT2.
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δs＝s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－sn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用Δs＝aT2，可求得a＝.
【例3】　一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求质点在这两个时间间隔初的速度大小和运动过程中的加速度大小．
思路点拨：相邻的相等的时间间隔内的位移满足Δs＝aT2的特殊推论．
[解析]　设质点在第1个时间间隔初的速度为v1，在第2个时间间隔初的速度为v2，在第2个时间间隔末的速度为v3，根据平均速度公式＝可得：第1个4 s内的平均速度1＝＝＝＝6 m/s，第2个4 s内的平均速度2＝＝＝＝16 m/s,8 s内的平均速度＝＝＝＝11 m/s，联立解得：第1个时间间隔初的速度为v1＝1 m/s；第2个时间间隔初的速度为v2＝11 m/s.根据逐差相等公式
Δs＝s2－s1＝aT2可得，
64 m－24 m＝a×(4 s)2，
质点运动的加速度为a＝2.5 m/s2.
[答案]　1 m/s　11 m/s　2.5 m/s2
在利用纸带求匀变速直线运动的速度时，常用＝，求加速度时，则常用Δs＝aT2.
[跟进训练]
3．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m．则刹车后6 s内的位移是(　　)
A．25 m B．24 m
C．20 m D．36 m
A　[根据Δs＝aT2解得a＝－2 m/s2，设汽车的初速度为v0，第1 s末的速度为v1，则v1＝＝8 m/s，根据v1＝v0＋aT，代入数据解得v0＝10 m/s，故刹车时间为t＝＝5 s，所以刹车后6 s内的位移s＝＝25 m，A正确，B、C、D错误．]
1．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为(　　)
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶∶
A　[由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比s1∶s2∶s3＝1∶3∶5，而平均速度＝，三段时间都是1 s，故三段时间内的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确．]
2．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则(　　)
A．第3 s内的平均速度是3 m/s
B．物体的加速度是1.2 m/s2
C．前3 s内的位移是6 m
D．3 s末的速度是3.6 m/s
ABD　[第3 s内的平均速度为：＝＝ m/s＝3 m/s，故A正确；设加速度大小为a，则有s＝at－at，得：a＝＝ m/s2＝1.2 m/s2，故B正确；前3 s内位移为：s3＝at＝×1.2×9 m＝5.4 m，故C错误；3 s末的速度是：v3＝at3＝3.6 m/s，故D正确．]
3．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是(　　)
A．第2 s内的位移是2.5 m
B．质点的加速度是0.125 m/s2
C．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
D．第4 s末的速度为2.75 m/s
CD　[由Δs＝aT2，得a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，s3－s2＝s4－s3，所以第2 s内的位移s2＝1.5 m，A、B错误；第3 s末的速度等于第3～4 s内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，C正确；v4＝v3＋at＝2.75 m/s，D正确．]
4．一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s内的平均速度大小；
(2)质点4 s末的速度大小；
(3)质点2 s末的速度大小．
[解析]　(1)利用平均速度公式，4 s内的平均速度＝＝ m/s＝5 m/s.
(2)因为＝，代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s.
(3)2 s末为这段时间的中间时刻，故v2＝＝5 m/s.
[答案]　(1)5 m/s　(2)8 m/s　(3)5 m/s