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第25章概率初步25.3用频率估计概率（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：
射击次数
20
40
60
80
100
120
140
160
射中9环以上的次数
15
33
63
79
97
111
130
射中9环以上的频率
0.75
0.83
0.80
0.79
0.79
0.79
0.81
（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），
并简述理由.
2．某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温（单位：℃）
需求量（单位：杯）
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温满足（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
3．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
63
124
178
302
488
600
1800
摸到白球的频率
0.63
0.62
0.593
0.604
0.61
（1）完成上表；
（2）若从盒子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率P＝
；（结果保留小数点后一位）
（3）估算这个不透明的盒子里白球有多少个？
4．2019年女排世界杯中，中国女排以11站全胜且只丢3局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军.某校七年级为了弘扬女排精神，组建了排球社团，通过测量同学们的身高(单位：cm)，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.
(1)填空：样本容量为___，a=___；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)若从该组随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率.
5．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的红球和白球，其中红球有b个，将盒中的球摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中，重复进行这过程，如表记录了某班一次摸球实验情况：
摸球总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
摸到红球数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
摸到红球的频率（精确到0.001）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
（1）由此估计任意摸出1个球为红球的概率约是
（精确到0.1）
（2）实验结束后，小明发现了一个一般性的结论：盒子中共有a个球，其中红球有b个，则摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率P可以表示为，这个结论也得到了老师的证实根据小明的发现，若在该盒子中再放入除颜色外与原来的球完全相同的2个红球和2个白球，摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率为P’，请通过计算比较P与P'的大小．
6．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放人一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据.
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
（1）补全表中的有关数据，根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是_______.
（2）估算袋中白球的个数为________.
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率_________
7．某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数字（指针指在分界线时重转），当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时，返现金10元某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少?
8．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，同时随机转动两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.
9．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.230
0.210
0.300
0.260
0.254
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
10．某马拉松赛事共有三项：．“半程马拉松”、．“10公里”、．“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）求小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率；
（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数
50
100
200
500
1000
参加“迷你马拉松”人数
21
45
79
200
401
参加“迷你马拉松”频率
0.420
0.450
0.395
0.400
0.401
①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为_____________；（精确到0.1）
②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少．
11．对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；
抽取球数n
50
100
500
1000
5000
优等品数m
45
92
455
890
4500
优等品频率
(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?
12．，两组卡片共5张，组中的三张卡片分别写有数字2，4，6，组中两张卡片分别写有数字3，5.它们除数字外其他都相同.将它们背面朝上洗匀，分别|从，两组中各随机地抽取--张，请你用画树状图或列表的方法表示出所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗?为什么?
13．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
290
480
601
摸到白球的频率
0.64
0.58
0.60
0.601
（1）完成上表；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是
（精确到0.1）；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
14．在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）
15．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数(n)
50
100
150
200
250
300
350
投中次数(m)
28
60
78
104
123
152
251
投中频率()
(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；
(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？
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精品试卷·第
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第25章概率初步25.3用频率估计概率（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：
射击次数
20
40
60
80
100
120
140
160
射中9环以上的次数
15
33
63
79
97
111
130
射中9环以上的频率
0.75
0.83
0.80
0.79
0.79
0.79
0.81
（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），
并简述理由.
【答案】（1）48
0.81；（2）0.8．
【解析】
【分析】
（1）根据频数的计算方法计算即可；（2）根据频率估计概率．
【详解】
解：（1）答案为：48，0.81；
（2）解：P（射中9环以上）=0.8
从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
【点评】
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
最高气温（单位：℃）
需求量（单位：杯）
200
250
400
（1）求去年六月份最高气温不低于30℃的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温满足（单位：℃），试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
【答案】（1）8天；（2）；（3）730元．
【解析】
【分析】
（1）由条形图可得答案；
（2）用的天数除以总天数即可得；
（3）根据利润＝销售额－成本计算可得．
【详解】
解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于30℃的天数为（天）；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为；
（3）（元），
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元．
【点评】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
63
124
178
302
488
600
1800
摸到白球的频率
0.63
0.62
0.593
0.604
0.61
（1）完成上表；
（2）若从盒子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率P＝
；（结果保留小数点后一位）
（3）估算这个不透明的盒子里白球有多少个？
【答案】（1）填表见解析；（2）0.6；（3）24个.
【解析】
【分析】
（1）用频数除以频率即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数=球的总数×得到的白球的概率．
【详解】
（1）600÷1000=0.60；
1800÷3000=0.60；
（2）∵随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到0.6，
∴若从盒子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率P=0.6，
故答案为：0.6．
（3）盒子里白颜色的球有40×0.6=24个．
【点评】
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
4．2019年女排世界杯中，中国女排以11站全胜且只丢3局的成绩成功卫冕本届世界杯冠军.某校七年级为了弘扬女排精神，组建了排球社团，通过测量同学们的身高(单位：cm)，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题.
(1)填空：样本容量为___，a=___；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)若从该组随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率.
【答案】（1）样本容量为100，a=30;（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于165cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．
【详解】
解：（1）15÷
=100，
所以样本容量为100；
B组的人数为100-15-35-15-5=30，
所以a%=
×100%=30%，则a=30；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于165cm的人数为15+30+35=80，
样本中身高低于165cm的频率为，
所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于165cm的概率为．
【点评】
本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
5．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的红球和白球，其中红球有b个，将盒中的球摇匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回盒中，重复进行这过程，如表记录了某班一次摸球实验情况：
摸球总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
摸到红球数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
摸到红球的频率（精确到0.001）
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
（1）由此估计任意摸出1个球为红球的概率约是
（精确到0.1）
（2）实验结束后，小明发现了一个一般性的结论：盒子中共有a个球，其中红球有b个，则摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率P可以表示为，这个结论也得到了老师的证实根据小明的发现，若在该盒子中再放入除颜色外与原来的球完全相同的2个红球和2个白球，摇匀后从中任意摸出1个球为红球的概率为P’，请通过计算比较P与P'的大小．
【答案】（1）0.9；（2）P＞P'
【解析】
【分析】
（1）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而得出答案；
（2）由（1）得出b＝0.9a，根据概率公式得出P′＝，再两者相减得出p﹣p′＞0，从而得出P与P'的大小．
【详解】
（1）根据给出的数据可得：任意摸出1个球为红球的概率约是0.9；
故答案为0.9；
（2）由（1）得：＝0.9，即b＝0.9a，
由题意得：P′＝，
p﹣p′＝﹣＝＝＝＝＝，
∵a＞0，
∴p﹣p′＞0，
∴P＞P'．
【点评】
本题考查了概率公式，属于概率基础题，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
6．李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放人一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据.
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
（1）补全表中的有关数据，根据表中数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是_______.
（2）估算袋中白球的个数为________.
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率_________
【答案】（1）0.25；（2）3；（3）.
【解析】
【分析】
（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可；
（3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】
（1）补全表格如下：
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.23
0.21
0.30
0.26
0.25
0.25
（1）0.25
根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25，故答案填0.25.
（2）3
设口袋中白球有个，根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25，可得，解得，经检验，是原分式方程的解，
所以估算袋中白球的个数为3.
（3）画树状图如下：
开始
第一次
黑
白
白
白
第二次
黑
白
白
白
黑
白
白
白
黑
白
白
白
黑
白
白
白
由树状图可知，共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种结果，
所以两次都摸出白球的概率为.
【点评】
此题考查列表法与树状图法，利用频率估计概率，解题关键在于利用画树状图将所有可能列举出来.
7．某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分成四个扇形，分别标上1，2，3，4四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指扇形内的数字为每次所得的数字（指针指在分界线时重转），当两次所得数字之和为8时，返现金20元；当两次所得数字之和为7时，返现金15元；当两次所得数字之和为6时，返现金10元某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少?
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；求得某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能的结果，能获得返还现金的结果有6种，所以该顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率：.
【点评】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，同时随机转动两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.
【答案】不公平.理由见解析
【解析】
【分析】
将A盘中蓝色划分为两部分，将B盘中红色也划分为两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断．
【详解】
解：不公平.理由如下：
将A盘中蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分记为红1、红2，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有5种，
∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为.
，
∴这个游戏对双方不公平.
【点评】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
0.230
0.210
0.300
0.260
0.254
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
【答案】（1）0.251，从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；（2）估计袋中有3个白球；（3）见解析，两次摸到的球都是白球的概率为．
【解析】
【分析】
本题主要考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
（1）直接利用频数÷总数=频率求出答案；
（2）设袋子中白球有x个，利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程，解之得出答案；
（3）首先根据题意画出表格或树状图，然后由表格或树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）0.251．
∵大量重复摸球试验后发现，摸到黑球的频率逐渐稳定到0.251附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.251．
（2）设袋中白球有个，
则，解得．
∴估计袋中有3个白球．
（3）用代表一个黑球，代表白球，将摸球情况列表如下：
第二次
第一次
总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，
∴两次摸到的球都是白球的概率为．
【点评】
本题主要考查了用频率估计概率，频率求法以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
10．某马拉松赛事共有三项：．“半程马拉松”、．“10公里”、．“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）求小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率；
（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数
50
100
200
500
1000
参加“迷你马拉松”人数
21
45
79
200
401
参加“迷你马拉松”频率
0.420
0.450
0.395
0.400
0.401
①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为_____________；（精确到0.1）
②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少．
【答案】（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；（2）①0.4；②估计参加“迷你马拉松”的人数是12000人．
【解析】
【分析】
（1）利用概率公式直接得出答案；
（2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；
②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数．
【详解】
解：（1）∵小明参加了该现赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，
∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为．
（2）①0.4．
②30000×0.4=12000（人），
∴估计参加“迷你马拉松”的人数是12000人．
【点评】
此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题关键．
11．对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；
抽取球数n
50
100
500
1000
5000
优等品数m
45
92
455
890
4500
优等品频率
(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?
【答案】（1）见解析；（2）0.9
【解析】
【分析】
（1）根据表格中所给的样本容量和频数，由频率=频数：样本容量，得出“优等品”的频率，然后填入表中即可；
（2）用频率来估计概率，频率一般都在0.9左右摆动，所以估计概率为0.9，这是概率与频率之间的关系，即用频率值来估计概率值．
【详解】
解：（1）“优等品”的频率分别为45÷50=0.9，92÷100=0.92，455÷500=0.91，890÷1000=0.89，4500÷5000=0.9．
填表如下：
抽取球数n
50
100
500
1000
5000
优等品数m
45
92
455
890
4500
优等品频率
0.9
0.92
0.91
0.89
0.9
（2）由于“优等品”的频率都在0.9左右摆动，故该厂生产的羽毛球“优等品”的概率约是0.9．
【点评】
本题是一个统计问题，考查样本容量，频率和频数之间的关系，这三者可以做到知二求一，本题是一个基础题，可以作为选择题和填空题出现．
12．，两组卡片共5张，组中的三张卡片分别写有数字2，4，6，组中两张卡片分别写有数字3，5.它们除数字外其他都相同.将它们背面朝上洗匀，分别|从，两组中各随机地抽取--张，请你用画树状图或列表的方法表示出所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗?为什么?
【答案】不公平.理由见解析.
【解析】
【分析】
画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．
【详解】
解：不公平；理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，而所选出的两数之积为3的倍数的结果有4种.
∴；
∴
（甲获胜）（乙获胜），
∴这样的游戏规则对甲、乙双方不公平.
【点评】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
13．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
290
480
601
摸到白球的频率
0.64
0.58
0.60
0.601
（1）完成上表；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是
（精确到0.1）；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.59，0.58；（2）0.6；（3）黑球8个，白球12个．
【解析】
【分析】
（1）将m和n的值分别代入求解即可得出答案；
（2）根据表中数据，取平均值即可得出答案；
（3）根据总数和摸到白球的概率求出白球的个数，再用总数减去白球的个数，即可得出答案.
【详解】
（1）填表如下：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
290
480
601
摸到白球的频率
0.59
0.64
0.58
0.58
0.60
0.601
（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.60；
（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝20×0.6＝12（个），黑球20﹣12＝8（个）．
答：黑球8个，白球12个．
【点评】
本题考查的是数据统计，难度系数较低，解题关键是用样本概率估计总体概率.
14．在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）
【答案】（1）公平；（2）不公平．
【解析】
试题分析：(1)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．(2)、解题思路同上．
试题解析：(1)、甲同学的方案不公平．理由如下：
列表法，
小明
小刚
2
3
4
5
2
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，2）
（3，4）
（3，5）
4
（4，2）
（4，3）
（4，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，4）
所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：
=，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；
(2)、不公平．理由如下：
小明
小刚
2
3
4
2
（2，3）
（2，4）
3
（3，2）
（3，4）
4
（4，2）
（4，3）
所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：
=，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．
考点：(1)、游戏公平性；(2)、列表法与树状图法．
15．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数(n)
50
100
150
200
250
300
350
投中次数(m)
28
60
78
104
123
152
251
投中频率()
(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；
(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？
【答案】（1）见解析；（2）0.5.
【解析】
【分析】
（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案；
（2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率。
【详解】
（1）根据题意得：
28÷50=0.56；
60÷100=0.60；
78÷150=0.52；
104÷200=0.52；
123÷250≈0.49；
152÷300≈0.51；
350÷251≈0.50；
见下表：
投篮次数(n)
50
100
150
200
250
300
350
投中次数(m)
28
60
78
104
123
152
251
投中频率()
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
(2)由题意得：
投篮的总次数是50+100+150+200+250+300+350=1400(次)，
投中的总次数是28+60+78+104+123+152+251=796(次)，
则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次,投中的概率约为：≈0.5.
故答案为：0.5.
【点评】
本题考查利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率.
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精品试卷·第
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