4.4.2 探索三角形相似的条件课件（共21张PPT）

数学北师大版
九年级
4.4.2 探索三角形相似的条件
（一）画△ABC与△A′B′C′ ，使∠A=∠A′ =60°，AB=2.5cm,A′B′=5cm，AC=1.8cm , A′C′=3.6cm
试比较∠B与∠B′的大小，或∠C与∠C′的大小
你认为△ABC和△A′B′C′相似吗？
A
C
B
A
C
B
经过测量∠B=∠B’
∠C=∠C′
三边的比相等
相似
（二）画△ABC与△A′B′C′ ，使∠A=∠A′=45°， AB=2cm，A′B ′=3cm，AC=4cm , A′C′ =6cm
1.△ABC与△A′B′C′相似吗，为什么？
2.猜想：改变AB与A′B′、 AC与A′C′的比值，△ABC与△A′B′C′相似吗？
相似
相似
定理 ： 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似
A
C
B
A
C ′
B
′
′
符号语言表示： △ABC与△A′B′C′中
如果∠A=∠A′
那么 △ABC∽△ A′B′C′
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∵ A′D=AB，
∴
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
例1.如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点.AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求DE的长.
A
E
D
C
B
解：∵AE=1.5，AC=2
且∠EAD=∠CAB
∴△EAD∽△CAB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
又∵BC=3
∴DE
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形相似吗？
做一做：如图已知△DEF中， ∠E=50°， DE=2cm ，DF=1.6cm ；画△ABC，使∠B=∠E=50°， AB =4cm，AC=3.2cm
D
F
E
50°
2
1.6
A
C
B
50°
3.2
4
50°
4
A
B
C
3.2
不一定相似
思考：.已知：如图，△ABC中，P是AB边
上的一点，连接CP．试增添一个条
件使△ ACP∽△ABC．
A
P
B
C
1
2
【解析】
⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1=∠ACB
(或∠2=∠B)时,
△ACP∽△ABC.
⑵ ∵∠A=∠A，
∴当AC︰AP＝AB︰AC时，
△ ACP∽△ABC.
答：增添的条件可以是
∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC︰AP＝AB︰AC.
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
1. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边
AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长
度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
提高训练
2.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC.
A
B
D
C
E
O


证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，
∴△ ABD ∽ △ ACE.
∴
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.
DE‖AB
∠B=∠AED
AB‖CD
∠A=∠C
∠BAC=900
AD⊥BC
∠BAD=∠C
本节归纳
作业布置：
习题4.6 1，2，3,4
选讲内容：
Rt△ABC中，AD⊥BC,
①AD2=BD.DC
②AB2=BD.BC
③AC2=DC.BC
射影定理
1.如图，直线EF分别交△ABC的边AC,AB于点E,F,交边BC的延长线于点D，且AB?BF= BC?BD.求证: AE?EC= EF?ED.
证明：∵AB·BFBC·＝BD，
又∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△DBF
又∵∠AEF=∠DEC，
即AE?EC= EF?ED.
∴∠A=∠D.
∴ .△AEF ∽△DEC
2.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E在AD上,且ED=3AE.求证:△ABC∽△EAB.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，

∴ ，
∴
4. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证
△ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
谢谢
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