4.4.1 探索三角形相似的条件课件（共24张PPT）

数学北师大版
九年级
4.4.1 探索三角形相似的条件
1、什么叫相似多边形？
各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
2、根据相似多边形的定义，什么叫相似三角形呢？
A
B
C
D
E
F
三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形.
在△ ABC和△DEF中
∵ ∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
∴ △ ABC∽ △DEF
A
B
C
D
E
F
根据定义我们要判断△ABC∽△FED需要哪些条件？
能否像判断三角形全等那样，利用尽可能少的条件判断两个三角形相似吗？
1、如果两个三角形只有一个内角对应相等，那么
这两个三角形一定相似吗？能举例说明吗？
一个角对应相等的两个三角形不一定相似。
2、如果两个三角形有两个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？
请依据下列条件画三角形：同桌两人一组，
一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A= ∠A′＝45 ° ，∠B= ∠B′＝60 °。
① ∠C= ∠C′吗？
定理：两角对应相等的两个三角形相似
A
B
C
D
E
F
∠A= ∠A′
∠B= ∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
下列各组图形中两个三角形是否相似？
A
B
C
A′
C′
B′
A
B
C
D
E
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
D
E
抢答：
例：如图,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的点, DE∥BC.
（1）△ ADE 与 △ ABC 相似吗？为什么？
（2）若AD=3,AB=7,DE=2,求BC的长。
（3）AD ? AC=AE ? AB吗？试说明理由。
A
B
C
D
E
解：(1)∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B
∠AED=∠C
∴△ ADE ~ △ ABC
（2）
∴BC=
(3)∵△ ADE ~ △ ABC
∴AD ? AC=AE ? AB
提高训练.如图，已知点D，E分别在AB，AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形。
△ADE∽ △ACB
△ADC∽ △ACB
△ADE∽ △ABC
△ADE∽ △ACB
作业布置：
习题4.5 1，2，3,4,5
选讲内容：
1.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E,求证：△ABD∽△CED
2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
CD⊥AB于D，想一想，图中有哪两个三角 形相似?
有三对相似三角形，它们是△ADC∽△CDB，△ADC∽△ACB，△CDB∽△ACB，
5
．如图，在平行四边形
ABCD
中，过点
A
作
AE
⊥
BC
，垂足
为
E
，连接
DE
，
F
为线段
DE
上一点，且∠
AFE
＝∠
B
．

(1)
求证：△
ADF
∽△
DEC
；

(2)
若
AB
＝
8
，
AD
＝
6
3
，
AE
＝
6
，求
AF
的长．


(1)
证明：
∵
四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
AD
∥
BC
，
AB
∥
CD
．

∴∠
ADF
＝
∠
CED
，
∠
B
＋
∠
C
＝
180
°
.
∵∠
AFE
＋
∠
AFD
＝
180
°
，
∠
AFE
＝
∠
B
，

∴∠
AFD
＝
∠
C
．

∴△
ADF
∽
△
DEC
．

(2)
解：
∵
CD
＝
AB
＝
8
，
AE
⊥
BC
，
∴
AE
⊥
AD
．

在
Rt
△
ADE
中，
DE
＝
?
6
3
?
2
＋
6
2
＝
12
.
∵△
ADF
∽△
DEC
，∴
AD
DE
＝
AF
CD
.
∴
6
3
12
＝
AF
8
，解得
AF
＝
4
3
.

6
．如图，△
ABC
，△
DEP
是两个全等的等腰直角三角形，
∠
BAC
＝∠
PDE
＝
90°
.
(1)
若将△
DEP
的顶点
P
放在
BC
上
(
如图
1)
，
PD
，
PE
分别与
AC
，
AB
相交于点
F
，
G
，求证：△
PBG
∽△
FCP
；

(2)
若使△
DEP
的顶点
P
与顶点
A
重合
(
如图
2)
，
PD
，
PE
与
BC
相交于点
F
，
G
，试问△
PBG
与△
FCP
还相似吗？为什么？

(1)
证明：

∵△
ABC
，

△
DEP
是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠
B
＝
∠
C
＝
∠
DPE
＝
45
°
.
∴∠
BPG
＋
∠
CPF
＝
135
°
.
在
△
BPG
中，
∵∠
B
＝
45
°
，
∴∠
BPG
＋
∠
BGP
＝
135
°
.
∴∠
BGP
＝
∠
CPF
.
∵∠
B
＝
∠
C
，
∴△
PBG
∽
△
FCP
.
(2)
解：
△
PBG
与
△
FCP
相似．理由如下：

∵△
ABC
，
△
DEP
是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠
B
＝
∠
C
＝
∠
DPE
＝
45
°
.
∵∠
BGP
＝
∠
C
＋
∠
CPG
＝
45
°
＋
∠
CAG
，

∠
CPF
＝
∠
FPG
＋
∠
CAG
＝
45
°
＋
∠
CAG
，

∴∠
BGP
＝
∠
CPF
.
∵∠
B
＝
∠
C
，
∴△
PBG
∽
△
FCP
.

谢谢
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