4.4 探索三角形相似的条件习题课件（共31张PPT）

数学北师大版
九年级
4.4.探索三角形相似的条件习题
10.已知：如图S4-4-3，在△ABC中，AD=DB，∠1=∠2.
求证：△ABC∽△EAD.
证明:∵DB=AD，∴∠B=∠BAD.
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，∠1=∠2，
∴∠C=∠ADE.
∴△ABC∽△EAD（两角分别相等的两个三角形相似）.
11.如图S4-4-5，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E.求证：△DME∽△BCA.
证明：∵∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠C=∠ENB=∠DME=90°.
∴AC∥DN.∴∠BEN=∠A.
∵∠BEN=∠DEM，∴∠DEM=∠A.
又∵∠DME=∠C,∴△DME∽△BCA.
12.如图S4-4-6，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在BC，AB上，且∠BDE=∠CAD. 求证：△ADE∽△ABD.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE，
∠BDE=∠CAD，
∴∠ADE=∠C.
∴∠B=∠ADE.
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD.
13.如图S4-4-13，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE，BD，设AE交CD于点F.
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD.
证明：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°.
∴∠ACE=∠DCB=120°.
（2）∵△ACE≌△DCB，
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE.
∴∠CAE=∠DBE.
又∵∠DFA=∠ACD+∠CAE,∠ADB=∠ADC+∠CDB,
∴∠DFA=∠ADB.
∴△ACE≌△DCB（SAS）.
∴∠CAE=∠CDB.
∴△ADF∽△BAD.
∴∠CDB=∠DBE.
∴∠DAF=∠DBA.
14．如图S4-4-12，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F.
（1）证明：△ABD∽△DCF；
（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出
图中其他所有的相似三角形.
（2）解：图中相似三角形有
△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，
△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD.
（1）证明：如答图S4-4-1，
作∠1,∠2,∠3.
∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60°.
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2=180°-60°.
∴∠1=∠DFC.
∴△ABD∽△DCF.
15.如图S4-4-16，在正三角形ABC中，D，E分别在边AC，AB上，且 ，AE=EB. 求证：△AED∽△CBD.
证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AB.
∵AE=BE，∴CB=2AE.
∵ ，∴CD=2AD.

∴ . 而∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD.
16.如图S4-4-17，在正方形ABCD中，已知点P是BC边上的点，且BP=3PC，点Q是CD的中点，试判断△ADQ∽△QCP是否成立，并说明理由．
解：成立.理由如下.
设PC=a，则BP=3a，BC=4a．
∵点Q是CD的中点，
∴DQ=QC= CD=2a.
∴ =2， =2.∴ .
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ADQ∽△QCP.
证明：∵AD·AB=AF·AC，∴
又∵∠A=∠A，
∴△ABF∽△ACD.
∴∠B=∠C,∠AFB=∠ADC.
∴∠EFC=∠BDE.
∴△DEB∽△FEC.
17.已知：如图S4-4-19，AD·AB=AF·AC.求证：△DEB∽△FEC.
18.如图S4-4-28，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=12 cm，AB= cm，点P从O开始沿OA边向点A以2 cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x s表示时间（0≤x≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5 cm2?
（2）当x为何值时，以P，O，Q为顶点的三角形与△AOB相似？
解：（1）∵∠AOB=90°，
∴BO2=AB2-AO2.∴BO=6.
在Rt△OPQ中，OQ=6-x，OP=2x，
∵△OPQ的面积为5 cm2,
∴ OQ·OP=5，即 （6-x）·2x=5.
解得x1=1，x2=5.
即当Q运动1 s或5 s时，△OPQ的面积为5 cm2.
2）当△OPQ∽△OAB时， ，解得x=3 s；
当△OPQ∽△OBA， ，
解得x= s.
综上所述，当x=3 s或 s时，以P，O，Q为顶点的三角形与△AOB相似.
19．如图S4-4-39，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由.
解：（1）∠BAE与∠CAD相等.
理由：∵ ∴△ABC∽△AED.
∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAE=∠CAD.
（2）△ABE与△ACD相似. 理由如下：
∵ ∴
在△ABE与△ACD中，
∵ ∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD.
20.如图S4-4-37，已知 求证：∠ABD=∠CBE.
解：∵
∴△ABC∽△DBE.
∴∠ABC=∠DBE.
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD=∠CBE.
20.已知，如图S4-4-38， 那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
解：相似.∵
∴△ABC∽△DBE.
∴∠ABC=∠DBE.
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD=∠CBE.
∵
∴△ABD∽△CBE.
21．如图S4-4-43，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，
由勾股定理知PD=
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP= -1，
DM=AD-AM=3- .
故AM的长为 -1，DM的长为3- .
（2）点M是AD的黄金分割点.
∵
∴点M是AD的黄金分割点.
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