高中物理鲁科版新教材必修第一册学案 第4章 素养培优课（二）　平衡条件的应用Word版含解析

素养培优课(二)　平衡条件的应用
【例1】　沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点，如图所示，足球的质量为m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力．
思路点拨：①球处于静止状态，所受合外力为零．
②选取球为研究对象可采用合成法、分解法、正交分解法求解．
[解析]　方法一：用合成法
取足球和网兜作为研究对象，它们受重力G＝mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力作用而平衡．由共点力平衡的条件可知，N和T的合力F与G大小相等、方向相反，即F＝G，作平行四边形如图所示．由三角形知识得：N＝Ftan α＝mgtan α，T＝＝.
方法二：用分解法
取足球和网兜作为研究对象，其受重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，将重力分解为F′1和F′2.由共点力平衡条件可知，N与F′1的合力必为零，T与F′2的合力也必为零，
所以N＝F′1＝mgtan α，T＝F′2＝.
方法三：用正交分解法求解
取足球和网兜作为研究对象，受三个力作用，重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进行分解．由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零，即
Fx合＝N－Tsin α＝0 ①
Fy合＝Tcos α－G＝0 ②
由②式解得：T＝＝
代入①式得：N＝Tsin α＝mgtan α.
[答案]　　mgtan α
解决静态平衡问题的方法及步骤
(1)处理平衡问题，常用的方法有合成法、分解法、相似三角形法、正交分解法等．
(2)应用平衡条件解题的步骤
①明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)；
②对研究对象进行受力分析；
③建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程；
④求解方程，并讨论结果．
[跟进训练]
1.如图所示，质量为m的物块在水平推力作用下，静止在倾角为θ的光滑斜面上，则物块对斜面的压力为(　　)
A．mgcos θ　　B．mgsin θ　　C．　　D．
C　[分析物块受力，建立如图所示的直角坐标系．物块静止，则y轴方向上有Ny＝Ncos θ＝mg，则N＝.故C正确．]
动态平衡
1．动态平衡的定义
动态平衡是指物体在共点力的作用下保持匀速直线运动状态，或者通过控制某些物理量，使物体的运动状态缓慢地发生变化，而这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．
2．平衡条件
物体所受共点力的合力为零．
3．解题思路
把“动”化为“静”，从“静”中求“动”．
【例2】　如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为N1，球对木板的压力为N2.在将木板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．N1和N2都增大
B．N1和N2都减小
C．N1增大，N2减小
D．N1减小，N2增大
思路点拨：??
B　[球受到重力G、墙AC对球的弹力N1′和板BC对球的支持力N2′，如图甲所示．
甲　　　　乙
在将板BC逐渐放至水平的过程中，球始终处于平衡状态，G、N1′、N2′经过平衡可构成一系列封闭的矢量三角形，如图乙所示，由图乙可以看出，N1′、N2′都逐渐减小．由力的相互作用可知，N1＝N1′，N2＝N2′，所以N1、N2都逐渐减小．故选项B正确．]
动态平衡及其分析方法
(1)物体的动态平衡是指物体在运动中的平衡，通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化，在此过程中，物体始终处于一系列的动态平衡状态．
(2)动态平衡问题的两种分析方法
①解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定因变量的变化．
②图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的变化情况．
[跟进训练]
2．如图所示，质量为M的物体用OA和OB两根等长的绳子悬挂在半弧形的支架上，B点固定不动，A点则由顶点C沿圆弧向D移动．在此过程中，绳子OA的张力将(　　)
A．由大变小
B．由小变大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
C　[O点受到向下的拉力F(等于重力Mg)，根据它的作用效果，可将力F分解成两个力：沿AO方向的力FA和沿BO方向的力FB.
在A点移动过程中，绳OA与竖直方向之间的夹角由0增大到90°，合力F的大小、方向不变，分力FB的方向不变，由于分力FA的方向变化导致FA、FB的大小发生变化．可见，FA的大小先减小，当FA⊥FB时(即绳OA与绳OB垂直时)减到最小值，为Mgsin α(α为绳OB与竖直方向的夹角)，然后又逐渐增大到Mgtan α，如图所示，绳OA中的张力与FA大小相等．故正确选项为C.]
平衡问题中的临界和极值问题
1．临界问题
临界状态是指某种物理现象(或物理状态)变为另一种物理现象(或物理状态)的过程中的转折状态．可理解为“恰好出现”某种物理现象，也可理解为“恰好不出现”某种物理现象，涉及临界状态的问题称为临界问题．
2．极值问题
极值是指描述物体的物理量在变化过程中出现的最大值或最小值．涉及极值的问题称为极值问题．
3．解决临界问题和极值问题的方法
一种是物理分析法，通过对物理过程的分析，抓住临界(或极值)条件进行求解．例如，两物体脱离的临界条件是两物体间的弹力为零．另一种是数学法，通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系(或作出函数图像)，用数学知识(例如求二次函数的极值、讨论公式极值、三角函数极值等)求解．
【例3】　如图所示，小球的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于小球上，AC绳水平，AB绳与AC绳成θ＝60°角，在小球上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，取g＝10 m/s2.若要使绳都能拉直，求拉力F的大小范围．
思路点拨：因为绳都能拉直，所以各个夹角不变化．分两种情况，即第一种是FB＝0时，第二种是FC＝0时，分别解出即可．
[解析]　小球受重力mg、AB拉力FB、AC拉力FC和F作用处于平衡状态，如图所示．
由，
有
要两绳伸直则应满足FB≥0，FC≥0
FB≥0时，F≤＝ N
FC≥0时，F≥＝ N
综上所述，F的大小范围为 N≤F≤ N.
[答案]　 N≤F≤ N
研究平衡物体的临界、极值问题的常用方法
假设 推理法 先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及对临界条件的分析论证.
物理 分析法 通过对物理过程的分析，抓住临界(或极值)条件进行求解.
解析法 根据物体的平衡条件列方程，写出物理量之间的函数关系，在解方程时采用数学知识求极值，通常用到的数学知识有二次函数、均值不等式以及三角函数等．但一定要依据物理理论对解的合理性及物理意义进行讨论或说明.
图解法 根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如物体只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据力的矢量图进行动态分析，尤其注意分析大小和方向变化的力，确定其最大值和最小值．此法简便、直观.
[跟进训练]
3．如图所示，重50 N的物体A放在倾角为37°的粗糙斜面上，有一根原长为10 cm，劲度系数为800 N/m的弹簧，其一端固定在斜面顶端，另一端连接物体A后，弹簧长度为14 cm.现用一测力计沿斜面向下拉物体A，若物体A与斜面间的最大静摩擦力为20 N，当弹簧的长度仍为14 cm时，测力计的读数不可能为(　　)
A．10 N　　B．20 N　　C．30 N　　D．0
C　[物体A在斜面上处于静止状态时合外力为零，物体A在斜面上受五个力的作用，分别为重力、支持力、弹簧弹力、摩擦力、拉力F.当摩擦力的方向沿斜面向上时，F＋mgsin 37°≤fmax＋k(14 cm－10 cm)，解得F≤22 N．当摩擦力沿斜面向下时，F最小值为零，即拉力的取值范围为0≤F≤22 N．故选项C正确．]
1．一氢气球下系一小重物G，重物只在重力和绳的拉力作用下做匀速直线运动，不计空气阻力和风力影响，而重物运动的方向如各图中箭头所示，则下列图中气球和重物G在运动中所处的位置可能的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
A　[重物G受到重力和绳的拉力的共同作用，由力的平衡可知，二力必定反向，所以悬线是竖直的．]
2．如图所示，一只质量为m的蚂蚁在半径为R的半球形碗内爬行，在距碗底高的P点停下来，若重力加速度为g，则它在P点受到的摩擦力大小为(　　)
A．mg　　B．mg　　C．mg　　D．mg
C　[过P点作半球形面的切面，该切面相当于倾角为θ的斜面，由几何知识知cos θ＝.用一方形物体表示蚂蚁，故蚂蚁在P点受到的摩擦力大小Ff＝F1＝mgsin θ＝mg，C正确．]
3.如图所示，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平．现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°.设此过程OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法正确的是(　　)
A．FOA一直减小 B．FOA一直增大
C．FOB一直减小 D．FOB一直增大
A　[对结点O受力分析如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB在两个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ＝90°时，FOB最小．]
4.如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求：
(1)地面对三棱柱支持力的大小；
(2)地面对三棱柱摩擦力的大小．
[解析]　(1)选取A和B整体为研究对象，它受到重力(M＋m)g、地面的支持力N、墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用(如图甲所示)而处于平衡状态．根据平衡条件有N－(M＋m)g＝0，F＝f可得：N＝(M＋m)g.
甲　　　　　　　乙
(2)再以B为研究对象，它受到重力mg，三棱柱对它的支持力NB，墙壁对它的弹力F的作用(如图乙所示)而处于平衡状态．
根据平衡条件：NBcos θ＝mg，NBsin θ＝F
解得F＝mgtan θ，所以f＝F＝mgtan θ.
[答案]　(1)(M＋m)g　(2)mgtan θ