高中物理鲁科版新教材必修第一册学案 第4章 第2节　力的分解Word版含解析

第2节　力的分解

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)力的分解遵循平行四边形定则． (√)
(2)某个分力的大小不可能大于合力． (×)
(3)力的正交分解是指把一个力分解为水平和竖直两个方向互相垂直的分力的方法． (×)
(4)当物体受多个力作用时，常用正交分解法进行力的运算． (√)
2．(多选)把一个力分解为两个力时，下列说法中正确的是(　　)
A．一个分力变大时，另一个分力一定要变小
B．两个分力可同时变大、同时变小
C．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的两倍
D．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
BD　[由于两分力的大小与两分力夹角有关，所以一分力变大，另一个分力可变大，也可变小，故选项A错误，选项B正确；当两个分力夹角很大时，任何一个分力都可能大于合力的两倍，故选项C错误；两个分力若都小于合力的一半，则三个力不能构成一个封闭的三角形，因而两个分力不能同时小于合力的一半，故选项D正确．故选B、D.]
3．将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是(　　)
　　　
A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D
C　[重力产生了使物体下滑的效果及压斜面的效果，故两分力即图中所示，故A正确；重力产生了向两边拉绳的效果，故B正确；重力产生了向两墙壁的挤压的效果，故两分力应垂直于接触面，故C错误；重力产生了拉绳及挤压墙面的效果，故D正确，本题选错误的，故选C.]
分力　力的分解
在小区或学校门口经常设有减速带，以使行驶的车辆放慢速度，从而有效地保障行人的安全，也大大减少了交通事故的发生．
探究：(1)当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对前轮胎的弹力方向如何？
(2)为什么会起到减速的作用？
提示：(1)弹力方向与接触面垂直，指向斜后上方．
(2)按照力的作用效果分解，将F可以分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生向上运动的作用效果．
1．力的分解原则
(1)一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)．
(2)把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代关系，不能认为在这两个分力方向有两个施力物体(或受力物体)．
(3)如图所示，不能错误地认为F2就是物体对斜面的压力，因为F2不是斜面受到的力，且性质与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力．
(4)实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力．
2．按实际效果分解的几个实例
实例 分析
(1)拉力F的效果：
①使物体具有沿水平地面前进(或有前进的趋势)的分力F1
②竖直向上提物体的分力F2
(2)分力大小：F1＝Fcos α，
F2＝Fsin α
(1)重力的两个效果：
①使物体具有沿斜面下滑(或有下滑的趋势)的分力F1
②使物体压紧斜面的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
(1)重力的两个效果：
①使球压紧板的分力F1
②使球压紧斜面的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
(1)重力的两个效果：
①使球压紧竖直墙壁的分力F1
②使球拉紧悬线的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
(1)重力的两个效果：
①对OA的拉力F1
②对OB的拉力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
(1)重力的两个效果：
①拉伸AB的分力F1
②压缩BC的分力F2
(2)分力大小：F1＝mgtan α，F2＝
【例1】　如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球的压力大小之比为多大？斜面受到两小球的压力大小之比为多大？
思路点拨：
[解析]　对小球1所受的重力来说，其效果有二：第一，使小球沿水平方向挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图甲所示，由此可得两个分力的大小分别为F1＝Gtan θ，F2＝.对小球2所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝Gsin θ，F4＝Gcos θ.由力的相互性可知，挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3＝1∶cos θ，斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4＝1∶cos2θ.
甲　　　　　　　　　　乙
[答案]　1∶cos θ　1∶cos2θ
力的分解的原理与步骤
(1)原理：若两个力共同作用的效果与某一个力作用时的效果完全相同，则可用这两个力“替代”这一个力．
(2)步骤
①根据已知力的实际效果确定两个分力的方向．
②根据两个分力的方向作出力的平行四边形，确定表示分力的有向线段．
③利用数学知识解平行四边形或三角形，计算分力的大小和方向．
[跟进训练]
1.(多选)一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点．若在细绳的C处悬挂一重物，已知AC＞CB，如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．增加重物的重力，BC段先断
B．增加重物的重力，AC段先断
C．将A端往左移比往右移时绳子容易断
D．将A端往右移比往左移时绳子容易断
AC　[研究C点，C点受重物的拉力，其大小等于重物的重力，即T＝G.将重物对C点的拉力分解为对AC和BC两段绳的拉力，其力的平行四边形如图所示．因为AC＞CB，得FBC＞FAC.当增加重物的重力G时，按比例FBC增大得较多，所以BC段绳先断，因此A项正确，B项错误；将A端往左移时，FBC与FAC两力夹角变大，合力T一定，则两分力FBC与FAC都增大．将A端向右移时两分力夹角变小，两分力也变小，由此可知C项正确，D项错误．故选A、C.]
力的正交分解
在我国东北寒冷的冬季，狗拉雪橇曾经是人们出行的常见交通工具，因为雪橇与冰道间的动摩擦因数很小，仅为0.02，所以出行十分便利，被广泛应用．
探究：(1)人和雪橇对冰面的压力是他们的重力之和，对吗？
(2)设小孩质量是30 kg，雪橇质量是10.6 kg，狗用与水平方向成37°斜向上的拉力拉着雪橇匀速前进．请求出狗的拉力大小？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)．
提示：(1)不对，狗的拉力斜向上，有竖直向上的分力，压力应小于他们重力之和．
(2)由题意，雪橇匀速前进，对小孩和雪橇整体受力分析，如图所示：
雪橇匀速运动时有
竖直方向：(M＋m)g＝N＋Fsin 37° ①
水平方向：Fcos 37°＝f ②
又f＝μN ③
由①②③得：狗拉雪橇匀速前进要用力为
F＝＝10 N.
1．正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上共点力的合成．
2．正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好地“合”．
3．力的正交分解的依据：分力与合力的等效性．
4．正交分解的基本步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝，即α＝arctan .
【例2】　在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
思路点拨：当物体受多个力作用时，一般采用正交分解法求解，可按以下思路：
→→→
[解析]　如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
甲
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
乙
因此，如图乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
[答案]　38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
正交分解时坐标系的选取原则与方法
(1)原则：用正交分解法建立坐标系时，通常以共点力作用线的交点为原点，并尽量使较多的力落在坐标轴上，以少分解力为原则．
(2)方法：应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴．
①研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴．
②研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴．
③研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴．
[跟进训练]
2．大小均为F的三个力共同作用在O点，如图所示，F1、F3与F2之间的夹角均为60°，求它们的合力．
[解析]　以O点为原点、F1的方向为x轴正方向建立直角坐标系．分别把各个力分解到两个坐标轴上，如图所示．
F1x＝F1，F1y＝0，F2x＝F2cos 60°，F2y＝F2sin 60°，F3x＝－F3cos 60°，F3y＝F3sin 60°，x轴和y轴上的合力分别为Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝F1＋F2cos 60°－F3cos 60°＝F，Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0＋F2sin 60°＋F3sin 60°＝F，求出Fx和Fy的合力即是所求的三个力的合力，如图所示．
F合＝，代入数据得F合＝2F，tan θ＝＝，所以θ＝60°，即合力F合与F2的方向相同．
[答案]　2F，与F2的方向相同
力的分解常见的几种情况的讨论
(1)如果不受限制，分解同一个力能作出多少平行四边形？有多少组解？
(2)已知合力F和两分力的方向(如图甲)，利用平行四边形定则，能作多少平行四边形？两分力有几组解？
(3)已知合力F和两个分力中的一个分力F2(如图乙)，另一分力F1有几个解？
甲　　　　　　　　乙
提示：(1)无数个　无数组　(2)1个　1组　(3)1个
根据平行四边形定则知，已知一个力的大小和方向，可以作出无数个符合条件的平行四边形，即对一已知力的分解，含有无数个解．但如果再加以下条件，情况就不一样了．
(1)已知两个分力的方向时，有唯一解，如图所示．
(2)已知一个分力F1的大小和方向，力的分解有唯一解，如图所示，只能作出一个平行四边形．
(3)已知两个分力的大小，力的分解可能有两个解，如图所示，可作出两个平行四边形．
(4)已知一个分力F1的方向与另一个分力F2的大小．则：当F2＝Fsin θ时，有唯一解，如图甲所示；当F2＜Fsin θ 时，无解，如图乙所示；当F＞F2＞Fsin θ时，存在两个解，如图丙所示；当F2＞F时，存在唯一解，如图丁所示．
甲　　　　　　　　　 　乙
丙　　　　　　　　　 丁
【例3】　将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力F2的大小为6 N，则在分解时(　　)
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
思路点拨：
―→―→
B　[由已知条件可得Fsin 30°＝5 N，又5 N＜F2＜10 N，即Fsin 30°＜F2＜F，所以F1、F2和F可构成如图所示的两个三角形，故此时有两组解，选项B正确．]
力的分解有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形).若可以构成平行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解.
[跟进训练]
3．把一个力F分解成两个分力F1、F2，已知分力F1的方向和另一个分力F2的大小，它的解(　　)
A．一定是唯一解 B．可能有唯一解
C．可能无解 D．可能有两解
BCD　[若F2＜Fsin θ，圆与F1不相交，则无解，如图甲所示．若F2＝Fsin θ，圆与F1相切，即只有一解，如图乙所示．若F＞F2＞Fsin θ，圆与F1相割，可得两个三角形，应有两个解，如图丙所示．若F2＞F，圆与F1只相交于一个点，可得一个三角形，还是一解，如图丁所示，故选B、C、D.
甲　　　　　　　　　乙
丙　　　　　　　　　丁]
1．物理观念：力的分解、正交分解．
2．科学思维：按实际需要和效果分解力，求分力、合力大小方向．
3．科学方法：等效法、图解法、正交分解法.
1.如图所示，人拉着旅行箱前进，拉力F与水平方向成α角，若将拉力F沿水平和竖直方向分解，则它的水平分力为(　　)
A．Fsin α B．Fcos α
C．Ftan α D．Fcot α
B　[将F沿水平和竖直方向分解，根据平行四边形定则，水平方向上分力Fx＝Fcos α，故B正确，A、C、D错误．]
2．(多选)已知力F＝10 N，把F分解为F1和F2两个分力，已知分力F1与F的夹角为30°，则F2的大小(　　)
A．一定小于10 N B．可能等于10 N
C．可能大于10 N D．最小等于5 N
BCD　[当F2与F1垂直时F2最小，其最小值为Fsin 30°＝5 N，故F2只要大于等于5 N都是可能的，故B、C、D对，A错．]
3.(多选)如图所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿天花板做匀速直线运动，物体与天花板间动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为(　　)
A．Fsin θ B．Fcos θ
C．μ(Fsin θ－mg) D．μ(mg－Fsin θ)
BC　[先对物体进行受力分析，如图所示，然后对力F进行正交分解．
水平方向分力F1＝Fcos θ
竖直方向分力F2＝Fsin θ
由力的平衡可得
F1＝f，F2＝mg＋N
又由滑动摩擦力公式知f＝μN
将F1和F2代入可得f＝Fcos θ＝μ(Fsin θ－mg)，故正确选项为B、C.]
4．如图所示，在倾角为θ的斜面上有一块竖直放置的挡板，在挡板和斜面间搁有一个重为G的光滑圆球，求该球对斜面的压力和对挡板的压力．
[解析]　球受到竖直向下的重力作用，该重力总是欲使球向下运动，但由于斜面和挡板的限制，球才保持静止状态．因此，球的重力产生了两个效果：使球垂直压紧斜面和使球垂直压紧挡板．
如图所示，将球的重力G分解为垂直于斜面的分力F1和垂直于挡板的分力F2，则F1＝，F2＝Gtan θ.
因此，球对斜面的压力FN1和对挡板的压力FN2的大小分别为FN1＝F1＝，FN2＝F2＝Gtan θ，方向分别为垂直于斜面向下和垂直于挡板水平向左．
[答案]　，垂直于斜面向下　Gtan θ，垂直于挡板水平向左
5．(思维拓展)如图所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°.
试求：(1)此时千斤顶每臂受到的压力是多大？
(2)若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力如何变化？
[解析]　(1)将汽车对千斤顶的压力F分解为沿两臂的两个分力F1、F2，根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等．由2F1cos θ＝F得F1＝＝1.0×105 N，所以此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N.
(2)继续摇动把手，两臂靠拢，夹角θ减小，由F1＝分析可知，F不变，当θ减小时，cos θ增大，F1减小．
[答案]　(1)1.0×105 N　(2)减小