第三章 二次函数专题训练 二次函数图象与几何图形的关系（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章 二次函数专题训练 二次函数图象与几何图形的关系（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-20 21:53:16 | ||
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文档简介
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第三章 二次函数
专题训练 二次函数图象与几何图形的关系
一、二次函数图象与四边形的关系
1.（2019·包头）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接 BC.
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE，CF，EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
2.（2019·齐齐哈尔）综合与探究:
如图所示，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为_____________；
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
二、二次函数图象与三角形的关系
3.（2019·娄底）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与x轴交于点C，且过点D（2，－3）.点P，Q是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD的面积的最大值；
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标。
4.（2019·抚顺）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是y轴负轴上的一点，且ON＝，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标；
（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标。
5.（2019·本溪）抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）.过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.
6.（2019·成都）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，5），与x轴相交于B（－1，0），C（3，0）两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式。
7.（2019·铁岭）如图1所示，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A（－2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2所示，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP；
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标。
参考答案
一、二次函数图象与四边形的关系
1.解:（1）将点A（－1，0）， B（3，0）代入y＝ax2＋bx＋2得a＝－，b＝，
∴y＝－x2＋x＋2.∴对称轴为直线x＝1；
（2）如图1所示，过点D作DG⊥y轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
设点D（1，y），∵C（0，2） ， B（3，0），
在Rt△CGD中，CD2＝CG2＋GD2＝（2－y）2＋1，
∴在Rt△BHD中， BD2＝BH2＋HD2＝4＋y2。
在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，∴CD＝BD.∴CD2＝BD2.
∴（2－y）2＋1＝4＋y2.∴y＝.∴点D的坐标为D（1，） ；
（3）如图2所示，过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于点R，过点E作EP⊥FR于点P，
∴∠ EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90?.∴四边形QRPE是矩形.
∵S△CEF ＝S矩形QRPE＋S△COE－S△CRF－S△EFP ，E（x，y），C（0，2） ， F（1，1），
∴S△CEF＝EQ ? QR＋EQ?QC－CR·RF－FP?EP
＝x（y－1）＋x（2－y）－×1×1－（x－1）（y－1）
∵y＝，∴S△CEF＝.
∵，当x＝时，面积有最大值，y＝。
此时点E的坐标为（，）；
（4）存在点M使得以B，C，M，N为顾点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N（1，n），M（x，y）.
①四边形CMNB是平行四边形时，
，∴x＝－2。∴点M的坐标为（－2，－）；
②四边形CNBM是平行四边形时，
，∴点M的坐标为（2，2）；
③四边形CNMB是平行四边形时，
，∴x＝4，∴点M的坐标为（4，－）.
综上所述，点M的坐标为（－2，－），（2，2）或（4，－）.
2，解:（1）:0A＝2，0C＝6，∴A（－2，0），C（0，－6）。
∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A，C，∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝；
（2）∵当y＝0时，＝0，解得x1＝－2，x2＝3，
∴B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝。
∵点D在直线x＝上，点A，B关于直线x＝对称，∴xD＝，AD＝BD.
∴当点B，D，C在同一直线上时，C△ACD＝AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC最小.
设直线BC的解析式为y＝kx－6，∴3k－6＝0，解得k＝2.
∴y＝2x－6.∴yD＝2×－6＝－5.∴点D的坐标为（，－5）.
故答案为（，－5）。
（3）如图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F.
设E（t，t2－t－6）（0＜t＜3），则F（t，2t－6），
∴ EF＝2t－6－（t2－t－6）＝－t2＋3t。
∴S△BCE＝S△BEF＋S△CEF＝EF·BG＋EF·OG＝EF（BG＋OG）＝EF·OB＝×3（－t2＋3t）＝.
∴当t＝时，ABCE面积最大.∴yE＝－.
∴点E的坐标为（，－）时，ABE的面积最大，最大值为。
（4）存在点N，使得以点A，C，M， N为顶点的四边形是菱形，理由如下:
∵A（－2，0） ，C（0，－6），∴AC＝＝2.
①若AC为菱形的边长，如图2所示，
则MN//AC且MN＝AC-2/10，
∴N1（－2，2）， N2 （－2，－2），N3（2，0）；
②若AC为菱形的对角线，如图3所示，则AN4//CM4，AN4＝CN4.
设N4（－2，n），∴－n＝.解得n＝－.∴N4（－2，－）.
综上所述，点N的坐标为（－2，2），（－2，－2），（2， 0）或（－2，－）.
二、二次函数图象与三角形的关系
3，解:（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－3），将点D的坐标代入得，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3…①；
（2）设直线PD与y轴交于点G，设P（m，m2－2m－3）.
设直线PD的解析式为y＝kx＋b，将点P，D的坐标代入得，
，解得，直线PD的解析式为y＝mx－3－2m，则OG＝3＋2m.
∴S△POD＝OG（xD－xP）＝（3＋2m）·（2－m）＝－m2＋m＋3.
∵－1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；
（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45?.
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况:
①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4， BC＝3，AC＝，
如图2所示，过点A作AH⊥BC于点H.
S△ABC ＝ AH. BC＝AB. OC，解得AH＝2.
∵sin∠ACB＝，∴tan ∠ACB＝2.
则直线OQ的解析式为y＝－2x…②，联立①②并解得x＝±，
∴Q1（，－2），Q2 （－3，2）；
②当 ∠BAC＝∠BOQ时，tan ∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，
则点Q（n，－3n），则直线0Q的解析式为y＝－3x…③，
联立①③并解得x＝.∴Q3（，），Q4（，）。
综上所示，当△OBE与△ABC相似时，点Q的坐标为（，－2），（－3，2），（，）或（，）。
4，解: （1）∵抛物线y＝ax2＋bx－3经过A（－1，0），B（3，0）两点，
∴，解得.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
（2）如图所示，设对称轴与x轴交于点H.
∵MN平分∠OMD，∴∠OMN＝∠DMN.又∵DM//ON，∴∠DMN＝∠MNO.
∴∠MNO＝∠OMN.∴OM＝ON＝.
在Rt△OMH中，∠OHM＝90?，OH＝1，∴HM＝.
∴M1（1，1）时，直线OM1的解析式为y＝x.由题意得，x＝x2－2x－3.
解得，.
∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，∴yQ＝,∴Q1（，）。
②当M2（1，－1）时，直线OM2的解析式为y＝－x，
同理可求：Q2（，）。
综上所述，点Q的坐标为（，）或（，）；
（3）由题意得，A（－1，0），C（0，－3），D（1，－4），
∴AC＝，AD＝2，CD＝.
∵直线BC经过B（3，0），C（0，－3），∴直线BC的解析式为y＝x－3.
∵抛物线的对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E，
∴E（1，－2）.∴CE＝.设P点坐标为（x，y），
则CP2＝x2＋（y＋3）2， EP2＝（x－1）2＋（y＋2）2.
∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，分两种情况讨论:
①若PC＝AC， PE-AD，即△PCE≌△ACD，
∴，解得或.
∴点P的坐标为P1（－3，－4）， P2（－1，－6）；
②若PC＝AD， PE＝AC，即△PCE≌△ADC.
∴，解得，或.
∴点P的坐标为P3（2，1）， P4（4，－1）.
综上所述，点P的坐标为（－3，－4），（－1，－6），（2，1）或（4，－1）.
5，解: （1）抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－5） ＝。
（2）抛物线的对称轴为x＝2，顶点C的坐标为（2，2），
设点P（2，m），将点P，B的坐标代入一次函数表达式y＝kx＋b，
得，解得.∴一次函数表达式为y＝.
∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为。
将点C的坐标代入一次函数表达式，得，
令y＝0，x＝，∴F（，0）.
∴S△PCF＝。解得m＝5或－3.
点P的坐标为（2，－3）或（2，5）；
（3）由（2）得，F（，0）.
CP2＝（2－m）2， CF2＝（）2＋4，PF2＝（）2＋m2.
①当CP＝CF时，（2－m）2＝（）2＋4，解得m＝0（舍去）或；
②当CP＝PF时，解得m＝；
③当CF＝PF时，解得m1＝－2，m2＝2（舍去）。
综上所述，点P的坐标为（2，） . （2，－2），（2，）或（ 2，）
6、解:（1）由题意得，，解得.
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3；
（2）∵抛物线与x轴交于B（－1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1.
如图1所示，设抛物线的对称轴与 轴交于点H，则点H的坐标为（1，0） ， BH＝2.
由翻折得，C＇B＝CB＝4，
在Rt△BHC＇中，由勾股定理得， C＇H＝＝＝2，
∴点C＇的坐标为（1，2）， tan∠C＇BH＝.∴∠C＇BH＝60?.
由翻折得，∠DBH＝∠C＇BH＝30?，
在Rt△BHD中， DH＝BH·tan∠DBH＝2? tan30°＝。
∴点D的坐标为（1，）；
（3）如图2所示，取（2）中的点C＇， D，连接C＇C.
∵BC＇＝BC.∠C＇BC＝60?，∴△C＇CB为等边三角形，分类讨论如下:
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C＇P.
∵△PCQ，△C＇CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C＇C， ∠PСQ＝ ∠C＇СВ ＝60?。
∴∠BCQ＝∠C＇CP。∴△BCQ≌△C＇CP （SAS）.∴BQ＝C＇P.
∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BO＝CQ。∴C＇Р＝CQ＝СР.又∵BC＇＝BC，
∴BP垂直平分CC＇.由翻折得，BD垂直平分CC＇.∴点D在直线BP上。
设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b，
则，解得。∴直线BP的函数表达式为。
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方，如图3所示。
∵△PCQ，△C＇CB为等边三角形，∴CP＝CQ. BC＝CC＇，∠CC＇B＝∠QCP＝∠C＇CB＝60?。
∴∠BCP＝∠C＇CQ.∴△ВCP≌△C＇CQ（SAS）.∴∠CBP＝∠C＇CQ.
∵ BC＇＝CC＇，C＇H⊥BC，∴∠CC＇Q＝∠CC＇В ＝30?.∴∠CBP＝30?.
设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中， OE＝OB . tan∠CBP＝OB ? tan30?＝1×＝，
∴点E的坐标为（0，－）.
设直线BP的函数表达式为y＝mx＋n，则.解得。
直线BP的函数表达式为。
综上所述，直线BP的函数表达式为或。
7，解:（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－6）=a（x2－4x－12）＝ax2－4ar－12a，
－12a＝6，解得a＝－,
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋6；
（2）∵y＝－x2＋2x＋6＝－（x－2）2＋6，∴顶点D的坐标为（2，6）。
将点A，D的坐标代入一次函数解析式y＝mx＋n，
得，解得。故直线AD的解析式为y＝2x＋4
设点N（n，2n＋4），∵MN＝OA＝2，则点M（n＋2，2n＋4）.
①将点M的坐标代入抛物线解析式得，2n＋4＝－－（n＋2）2＋2（n＋1）＋6，解得n＝－2±2，
故点M的坐标为（2，4）或（－2，－4）；
②点M（n＋2，2n＋4），点B，D的坐标分别为（6，0），（2，8），
则BD2＝（6－2）2＋82＝80，MB2＝（n－4）2＋（2n＋4）2，MD2＝n2＋（2n－4）2。
当∠BMD为直角时，由勾股定理得，80＝（n－4）2＋（2n＋4）2＋2＋（2n－4）2，
解得，。
当∠MBD为直角时，n2＋（2n－4）2＝80＋（n－4）2＋（2n＋4）2，解得n＝－4。
当∠MDB为直角时，（n－4）2＋（2n＋4）2＝80＋n2＋（2n－4）2，解得n＝。
∴点M的坐标为（－2，－4），（，）（，）或（，）。
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第三章 二次函数
专题训练 二次函数图象与几何图形的关系
一、二次函数图象与四边形的关系
1.（2019·包头）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接 BC.
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE，CF，EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
2.（2019·齐齐哈尔）综合与探究:
如图所示，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为_____________；
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
二、二次函数图象与三角形的关系
3.（2019·娄底）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与x轴交于点C，且过点D（2，－3）.点P，Q是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD的面积的最大值；
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标。
4.（2019·抚顺）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是y轴负轴上的一点，且ON＝，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标；
（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标。
5.（2019·本溪）抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）.过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.
6.（2019·成都）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，5），与x轴相交于B（－1，0），C（3，0）两点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式。
7.（2019·铁岭）如图1所示，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A（－2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2所示，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP；
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标。
参考答案
一、二次函数图象与四边形的关系
1.解:（1）将点A（－1，0）， B（3，0）代入y＝ax2＋bx＋2得a＝－，b＝，
∴y＝－x2＋x＋2.∴对称轴为直线x＝1；
（2）如图1所示，过点D作DG⊥y轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
设点D（1，y），∵C（0，2） ， B（3，0），
在Rt△CGD中，CD2＝CG2＋GD2＝（2－y）2＋1，
∴在Rt△BHD中， BD2＝BH2＋HD2＝4＋y2。
在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，∴CD＝BD.∴CD2＝BD2.
∴（2－y）2＋1＝4＋y2.∴y＝.∴点D的坐标为D（1，） ；
（3）如图2所示，过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于点R，过点E作EP⊥FR于点P，
∴∠ EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90?.∴四边形QRPE是矩形.
∵S△CEF ＝S矩形QRPE＋S△COE－S△CRF－S△EFP ，E（x，y），C（0，2） ， F（1，1），
∴S△CEF＝EQ ? QR＋EQ?QC－CR·RF－FP?EP
＝x（y－1）＋x（2－y）－×1×1－（x－1）（y－1）
∵y＝，∴S△CEF＝.
∵，当x＝时，面积有最大值，y＝。
此时点E的坐标为（，）；
（4）存在点M使得以B，C，M，N为顾点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N（1，n），M（x，y）.
①四边形CMNB是平行四边形时，
，∴x＝－2。∴点M的坐标为（－2，－）；
②四边形CNBM是平行四边形时，
，∴点M的坐标为（2，2）；
③四边形CNMB是平行四边形时，
，∴x＝4，∴点M的坐标为（4，－）.
综上所述，点M的坐标为（－2，－），（2，2）或（4，－）.
2，解:（1）:0A＝2，0C＝6，∴A（－2，0），C（0，－6）。
∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A，C，∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝；
（2）∵当y＝0时，＝0，解得x1＝－2，x2＝3，
∴B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝。
∵点D在直线x＝上，点A，B关于直线x＝对称，∴xD＝，AD＝BD.
∴当点B，D，C在同一直线上时，C△ACD＝AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC最小.
设直线BC的解析式为y＝kx－6，∴3k－6＝0，解得k＝2.
∴y＝2x－6.∴yD＝2×－6＝－5.∴点D的坐标为（，－5）.
故答案为（，－5）。
（3）如图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F.
设E（t，t2－t－6）（0＜t＜3），则F（t，2t－6），
∴ EF＝2t－6－（t2－t－6）＝－t2＋3t。
∴S△BCE＝S△BEF＋S△CEF＝EF·BG＋EF·OG＝EF（BG＋OG）＝EF·OB＝×3（－t2＋3t）＝.
∴当t＝时，ABCE面积最大.∴yE＝－.
∴点E的坐标为（，－）时，ABE的面积最大，最大值为。
（4）存在点N，使得以点A，C，M， N为顶点的四边形是菱形，理由如下:
∵A（－2，0） ，C（0，－6），∴AC＝＝2.
①若AC为菱形的边长，如图2所示，
则MN//AC且MN＝AC-2/10，
∴N1（－2，2）， N2 （－2，－2），N3（2，0）；
②若AC为菱形的对角线，如图3所示，则AN4//CM4，AN4＝CN4.
设N4（－2，n），∴－n＝.解得n＝－.∴N4（－2，－）.
综上所述，点N的坐标为（－2，2），（－2，－2），（2， 0）或（－2，－）.
二、二次函数图象与三角形的关系
3，解:（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－3），将点D的坐标代入得，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3…①；
（2）设直线PD与y轴交于点G，设P（m，m2－2m－3）.
设直线PD的解析式为y＝kx＋b，将点P，D的坐标代入得，
，解得，直线PD的解析式为y＝mx－3－2m，则OG＝3＋2m.
∴S△POD＝OG（xD－xP）＝（3＋2m）·（2－m）＝－m2＋m＋3.
∵－1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；
（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45?.
∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况:
①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4， BC＝3，AC＝，
如图2所示，过点A作AH⊥BC于点H.
S△ABC ＝ AH. BC＝AB. OC，解得AH＝2.
∵sin∠ACB＝，∴tan ∠ACB＝2.
则直线OQ的解析式为y＝－2x…②，联立①②并解得x＝±，
∴Q1（，－2），Q2 （－3，2）；
②当 ∠BAC＝∠BOQ时，tan ∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，
则点Q（n，－3n），则直线0Q的解析式为y＝－3x…③，
联立①③并解得x＝.∴Q3（，），Q4（，）。
综上所示，当△OBE与△ABC相似时，点Q的坐标为（，－2），（－3，2），（，）或（，）。
4，解: （1）∵抛物线y＝ax2＋bx－3经过A（－1，0），B（3，0）两点，
∴，解得.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
（2）如图所示，设对称轴与x轴交于点H.
∵MN平分∠OMD，∴∠OMN＝∠DMN.又∵DM//ON，∴∠DMN＝∠MNO.
∴∠MNO＝∠OMN.∴OM＝ON＝.
在Rt△OMH中，∠OHM＝90?，OH＝1，∴HM＝.
∴M1（1，1）时，直线OM1的解析式为y＝x.由题意得，x＝x2－2x－3.
解得，.
∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，∴yQ＝,∴Q1（，）。
②当M2（1，－1）时，直线OM2的解析式为y＝－x，
同理可求：Q2（，）。
综上所述，点Q的坐标为（，）或（，）；
（3）由题意得，A（－1，0），C（0，－3），D（1，－4），
∴AC＝，AD＝2，CD＝.
∵直线BC经过B（3，0），C（0，－3），∴直线BC的解析式为y＝x－3.
∵抛物线的对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E，
∴E（1，－2）.∴CE＝.设P点坐标为（x，y），
则CP2＝x2＋（y＋3）2， EP2＝（x－1）2＋（y＋2）2.
∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，分两种情况讨论:
①若PC＝AC， PE-AD，即△PCE≌△ACD，
∴，解得或.
∴点P的坐标为P1（－3，－4）， P2（－1，－6）；
②若PC＝AD， PE＝AC，即△PCE≌△ADC.
∴，解得，或.
∴点P的坐标为P3（2，1）， P4（4，－1）.
综上所述，点P的坐标为（－3，－4），（－1，－6），（2，1）或（4，－1）.
5，解: （1）抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－5） ＝。
（2）抛物线的对称轴为x＝2，顶点C的坐标为（2，2），
设点P（2，m），将点P，B的坐标代入一次函数表达式y＝kx＋b，
得，解得.∴一次函数表达式为y＝.
∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为。
将点C的坐标代入一次函数表达式，得，
令y＝0，x＝，∴F（，0）.
∴S△PCF＝。解得m＝5或－3.
点P的坐标为（2，－3）或（2，5）；
（3）由（2）得，F（，0）.
CP2＝（2－m）2， CF2＝（）2＋4，PF2＝（）2＋m2.
①当CP＝CF时，（2－m）2＝（）2＋4，解得m＝0（舍去）或；
②当CP＝PF时，解得m＝；
③当CF＝PF时，解得m1＝－2，m2＝2（舍去）。
综上所述，点P的坐标为（2，） . （2，－2），（2，）或（ 2，）
6、解:（1）由题意得，，解得.
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3；
（2）∵抛物线与x轴交于B（－1，0），C（3，0），∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1.
如图1所示，设抛物线的对称轴与 轴交于点H，则点H的坐标为（1，0） ， BH＝2.
由翻折得，C＇B＝CB＝4，
在Rt△BHC＇中，由勾股定理得， C＇H＝＝＝2，
∴点C＇的坐标为（1，2）， tan∠C＇BH＝.∴∠C＇BH＝60?.
由翻折得，∠DBH＝∠C＇BH＝30?，
在Rt△BHD中， DH＝BH·tan∠DBH＝2? tan30°＝。
∴点D的坐标为（1，）；
（3）如图2所示，取（2）中的点C＇， D，连接C＇C.
∵BC＇＝BC.∠C＇BC＝60?，∴△C＇CB为等边三角形，分类讨论如下:
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C＇P.
∵△PCQ，△C＇CB为等边三角形，∴CQ＝CP，BC＝C＇C， ∠PСQ＝ ∠C＇СВ ＝60?。
∴∠BCQ＝∠C＇CP。∴△BCQ≌△C＇CP （SAS）.∴BQ＝C＇P.
∵点Q在抛物线的对称轴上，∴BO＝CQ。∴C＇Р＝CQ＝СР.又∵BC＇＝BC，
∴BP垂直平分CC＇.由翻折得，BD垂直平分CC＇.∴点D在直线BP上。
设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b，
则，解得。∴直线BP的函数表达式为。
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方，如图3所示。
∵△PCQ，△C＇CB为等边三角形，∴CP＝CQ. BC＝CC＇，∠CC＇B＝∠QCP＝∠C＇CB＝60?。
∴∠BCP＝∠C＇CQ.∴△ВCP≌△C＇CQ（SAS）.∴∠CBP＝∠C＇CQ.
∵ BC＇＝CC＇，C＇H⊥BC，∴∠CC＇Q＝∠CC＇В ＝30?.∴∠CBP＝30?.
设BP与y轴相交于点E，在Rt△BOE中， OE＝OB . tan∠CBP＝OB ? tan30?＝1×＝，
∴点E的坐标为（0，－）.
设直线BP的函数表达式为y＝mx＋n，则.解得。
直线BP的函数表达式为。
综上所述，直线BP的函数表达式为或。
7，解:（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－6）=a（x2－4x－12）＝ax2－4ar－12a，
－12a＝6，解得a＝－,
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋6；
（2）∵y＝－x2＋2x＋6＝－（x－2）2＋6，∴顶点D的坐标为（2，6）。
将点A，D的坐标代入一次函数解析式y＝mx＋n，
得，解得。故直线AD的解析式为y＝2x＋4
设点N（n，2n＋4），∵MN＝OA＝2，则点M（n＋2，2n＋4）.
①将点M的坐标代入抛物线解析式得，2n＋4＝－－（n＋2）2＋2（n＋1）＋6，解得n＝－2±2，
故点M的坐标为（2，4）或（－2，－4）；
②点M（n＋2，2n＋4），点B，D的坐标分别为（6，0），（2，8），
则BD2＝（6－2）2＋82＝80，MB2＝（n－4）2＋（2n＋4）2，MD2＝n2＋（2n－4）2。
当∠BMD为直角时，由勾股定理得，80＝（n－4）2＋（2n＋4）2＋2＋（2n－4）2，
解得，。
当∠MBD为直角时，n2＋（2n－4）2＝80＋（n－4）2＋（2n＋4）2，解得n＝－4。
当∠MDB为直角时，（n－4）2＋（2n＋4）2＝80＋n2＋（2n－4）2，解得n＝。
∴点M的坐标为（－2，－4），（，）（，）或（，）。
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