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突破2.3
二次函数与一元二次方程、不等式重难点突破
考情分析
二、经验分享
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
2.
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号；
2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3约去
a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
4.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
5．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
6.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k
三、题型分析
(一)
一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
不等式解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
例1．（1）（2020·吉林省实验高一期中）不等式的解集为（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】A
【解析】由题：等式化简为：
解得：或.故选：A
（2）．.
【解析】原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式无解，即原不等式的解集为.
（3）．（3）；
【解析】原不等式可化为，因为恒成立，
所以原不等式的解集为.
【变式训练1】．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【解析】（1）因为，所以原不等式等价于，
解得，所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为,配方得
,
又,所以,解得，所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为.∵，∴原不等式的解集是.
（4）∵，又∵的两个实数根为，
∴原不等式的解集是
（5）原不等式可化为，且，∴，或.
∴原不等式的解集是或.
(二)
含有参数的一元二次不等式的解法
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例2．（2020?海南模拟）已知函数f（x）＝x2﹣mx+5在（2，+∞）上单调递增，则m的取值范围为（ ）
A．[4，+∞）
B．[2，+∞）
C．（﹣∞，4]
D．（﹣∞，2]
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣mx+5的对称轴为x，
∵函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴2，解得m≤4，故选：C．
（2）（2019·浙江省高一期末）若关于的不等式的解集是，则________，_______.
【答案】1
-2
【解析】由题得，所以a=1,b=-2.故答案为
(1).
1
(2).
-2
【变式训练1】．（2019·北京市第十三中学高一期中）已知函数,
①函数的值域是______．
②若函数在上不是单调函数,则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】①,定义域为,开口向下,
,所以函数的值域是.
②因为,对称轴为,若函数在上不是单调函数,
则,故实数的取值范围是.故答案为:
①;②
【变式训练2】．（2019秋?滨州期末）（多选题）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小值为﹣4
B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．函数f（|x|）为偶函数
D．若方程f（|x﹣1|）＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4
【解答】解：二次函数f（x）在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f（1）＝﹣4，故选项A正确；
二次函数f（x）的对称轴为x＝1，其在（0，+∞）上有增有减，故选项B错误；
由f（x）得，f（|x|）＝|x|2﹣2|x|﹣3，显然f（|x|）为偶函数，故选项C正确；
令
h（x）＝f（|x﹣1|）＝|x﹣1|2﹣2|x﹣1|﹣3，方程f（|x﹣1|）＝a的零点转化为y＝h（x）与y＝a
的交点，
作出h（x）图象如右图所示：图象关于x＝1
对称，当y＝h（x）
与y＝a
有四个交点时，
两两分别关于x＝1对称，所以x1+x2+x3+x4＝4，故选项D正确．故选：ACD．
(三)
含有参数的分式不等式的解法
1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例3．不等式的解集是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D．
【变式训练1】．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0．
（1）若不等式的解集为，求实数k的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为，
所以和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入x＝1得2k+k﹣1＝0，解得k；
（2）若不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为R，则k＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意；
k≠0时，应满足，解得﹣8＜k＜0；综上知，实数k的取值范围是﹣8＜k≤0．
(四)二次不等式综合问题
例4．（2020·上饶中学高二期末（文））已知，若，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，根据二次函数的性质，
可得函数图象开口向下，且以为对称轴，
即，解得.故选：C.
例5．已知函数f（x）＝x2+bx+3，且不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．
（1）求实数b的值；
（2）求不等式f（x）≤9﹣x2的解集；
【解答】解：（1）函数f（x）＝x2+bx+3，对应不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）；
所以方程x2+bx+3＝0的两个实数解为1和3，由根与系数的关系知，b＝﹣（1+3）＝﹣4；
（2）由（1）知，不等式f（x）≤9﹣x2可化为x2﹣4x+3≤9﹣x2，
即x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣1≤x≤3，所以不等式f（x）≤9﹣x2的解集为[﹣1，3]．
【变式训练1】．（2020·宁阳县第四中学高二期末）不等式对恒成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式对恒成立，即恒成立，
设，由可得，
所以，只需，即的取值范围为.故选：B.
【变式训练2】．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数，（），若任意，且都有，则实数a的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，因为对任意的，且都有，
故可得，可得函数在上单调递增，
的对称轴为，
，解之得.故a的取值范围是.故选：A.
四、迁移应用
1．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A．{x|－2B．{x|x>2或x<－1}
C．{x|x>1或x<－2}
D．{x|x<－1或x>1}
【答案】C [∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1∴解得
∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.]
2．（2020·上海高三专题练习）若不等式有唯一解,则的取值为(
)
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【解析】因为的图像开口向上，由不等式有唯一解，
即的最小值为1，则，解得，即，故选B.
3．（2018秋?宝安区期末）在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4，成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣3，2）
B．（﹣1，2）
C．（﹣2，2）
D．（1，2）
【解答】解：由题意知，不等式（m﹣x）※（m+x）＜4化为（m﹣x+1）（m+x）＜4，
即m2+m﹣4＜x2﹣x；设f（x）＝x2﹣x，x∈[1，2]，则f（x）的最大值是f（2）＝4﹣2＝2；
令m2+m﹣4＜2，即m2+m﹣6＜0，解得﹣3＜m＜2，∴实数m的取值范围是（﹣3，2）．故选：A．
4．不等式对恒成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式对恒成立，即恒成立，
设，由可得，
所以，只需，即的取值范围为.故选：B.
5．（2020春?荔湾区校级期中）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），求关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集．
（2）解不等式．
【解答】解：（1）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），
∴﹣1和2是方程ax2+bx+2＝0的实数根，
由根与系数的关系知，，解得a＝﹣1，b＝1；
∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0化为x2+x﹣2＞0，
解得x＜﹣2或x＞1，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）；
（2）不等式化为1＞0，
∴0，
即（x+1）（x+4）＜0，
解得﹣4＜x＜﹣1，
∴不等式的解集为（﹣4，﹣1）．
6．（2019秋?静海区校级期末）设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．
a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2﹣a}；
a＝0时，不等式的解集为{x|x≠2}；
a＜0时，不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜2}．
（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，
∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2∈[﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立．
易知
（﹣x+2）min＝1，∴a的取值范围为：a＜1．
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二次函数与一元二次方程、不等式重难点突破
考情分析
二、经验分享
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5写解集.根据图象写出不等式的解集.
2.
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号；
2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3约去
a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
4.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
5．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
6.（1）不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k
三、题型分析
(一)
一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
不等式解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
例1．（1）（2020·吉林省实验高一期中）不等式的解集为（
）
A．或
B．或
C．
D．
（2）．.
（3）．（3）；
【变式训练1】．求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
(二)
含有参数的一元二次不等式的解法
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例2．（2020?海南模拟）已知函数f（x）＝x2﹣mx+5在（2，+∞）上单调递增，则m的取值范围为（ ）
A．[4，+∞）
B．[2，+∞）
C．（﹣∞，4]
D．（﹣∞，2]
（2）（2019·浙江省高一期末）若关于的不等式的解集是，则________，_______.
【变式训练1】．（2019·北京市第十三中学高一期中）已知函数,
①函数的值域是______．
②若函数在上不是单调函数,则实数的取值范围是______．
【变式训练2】．（2019秋?滨州期末）（多选题）已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小值为﹣4
B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．函数f（|x|）为偶函数
D．若方程f（|x﹣1|）＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4
(三)
含有参数的分式不等式的解法
1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例3．不等式的解集是
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0．
（1）若不等式的解集为，求实数k的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
(四)二次不等式综合问题
例4．（2020·上饶中学高二期末（文））已知，若，满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
例5．已知函数f（x）＝x2+bx+3，且不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．
（1）求实数b的值；
（2）求不等式f（x）≤9﹣x2的解集；
【变式训练1】．（2020·宁阳县第四中学高二期末）不等式对恒成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数，（），若任意，且都有，则实数a的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
四、迁移应用
1．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A．{x|－2B．{x|x>2或x<－1}
C．{x|x>1或x<－2}
D．{x|x<－1或x>1}
2．（2020·上海高三专题练习）若不等式有唯一解,则的取值为(
)
A．0
B．2
C．4
D．6
3．（2018秋?宝安区期末）在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4，成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣3，2）
B．（﹣1，2）
C．（﹣2，2）
D．（1，2）
4．不等式对恒成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020春?荔湾区校级期中）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），求关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集．
（2）解不等式．
6．（2019秋?静海区校级期末）设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
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