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突破3.4
函数的应用（一）重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
考点1
（1）．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
考点2
二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
考点3（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
三、题型分析
(一)
一次函数模型的应用
一次函数为：
例1．（2020·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本
B．400本
C．600本
D．800本
例2．（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（
）
A．2
000套
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
【变式训练1】．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额元（含税）
税率
3
10
20
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（
）
A．1800
B．1000
C．790
D．560
二次函数模型的应用
二次函数：形如
例3．（2020·海南高一期末）某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
【变式训练1】．（2019·浙江南湖
嘉兴一中高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为G()（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本
=
固定成本
+
生产成本）；销售收入R()（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:
（Ⅰ）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
(三)
分段函数模型的应用
例4．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3
km)，以后每1
km价为1.8元(不足1
km按1
km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A．
B．
C．
D．
例5．（2020·全国）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（
）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
【变式训练1】．（2020·浙江高一课时练习）已知、两地相距千米，某人开汽车以千米/小时的速度从到达地，在地停留小时后再以千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离表示为时间的函数，表达式为__________．
(四)
生产生活中的“最优化”
问题
例6．（2020·浙江高一课时练习）用一段长为的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（
）
A．
B．
C．
D．
例7．（2020·陕西长安一中高一开学考试）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )．
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
四、迁移应用
1．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：
每户每月用电量
电价
不超过230度的部分
0.5元/度
超过230度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度
若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为( )
A．475度
B．575度
C．595.25度
D．603.75度
2．某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图，下列五种说法中正确的是( )
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
3．（2020·山东高一期末）已知函数.
（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）当时，解关于x的不等式.
4．（2020·浙江高一课时练习）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.
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突破3.4
函数的应用（一）重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
考点1
（1）．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
考点2
二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
考点3（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
三、题型分析
(一)
一次函数模型的应用
一次函数为：
例1．（2020·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本
B．400本
C．600本
D．800本
【答案】C
【解析】
该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，
则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．
故选：C．
例2．（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（
）
A．2
000套
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
【答案】D
【解析】
因利润z＝12x－(6x＋30
000),所以z＝6x－30
000,由z≥0解得x≥5
000,故至少日生产文具盒5
000套.
故选：D
【变式训练1】．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额元（含税）
税率
3
10
20
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（
）
A．1800
B．1000
C．790
D．560
【答案】C
【解析】
李某月应纳税所得额（含税）为：元，
不超过3000的部分税额为元，
超过3000元至12000元的部分税额为元，
所以李某月应缴纳的个税金额为元．
故选：．
二次函数模型的应用
二次函数：形如
例3．（2020·海南高一期末）某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
【答案】448
600
【解析】
由题意可得（元），
即第14天该商品的销售收入为448元.
销售收入，，
即，.
当时，，
故当时，y取最大值，，
当时，易知，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.
故答案为：448；600.
【变式训练1】．（2019·浙江南湖
嘉兴一中高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为G()（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本
=
固定成本
+
生产成本）；销售收入R()（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:
（Ⅰ）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
【答案】
(Ⅰ)产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(Ⅱ)当工厂生产400台产品时，赢利最多
【解析】
依题意，.设利润函数为，则
(Ⅰ)
要使工厂有赢利，即解不等式，当时，
解不等式．
即.
∴
∴，
当x>5时，解不等式，
得，
∴，
综上所述，要使工厂赢利，应满足，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(Ⅱ)
时，故当时，有最大值3.6.
而当时，
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多
(三)
分段函数模型的应用
例4．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3
km)，以后每1
km价为1.8元(不足1
km按1
km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是
).
对应的值都是5，
以后毎价为元，
不足按计价，
时，
时，，故选B.
例5．（2020·全国）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（
）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
【答案】CDE
【解析】
在中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，错误；在中，出租车行驶4km，乘客需付费元，错误；
在中，出租车行驶10km，乘客需付费元，正确；
在中，乘出租车行驶5km，乘客需付费元，乘坐两次需付费26.6元，，正确；
在中，设出租车行驶时，付费元，由知，因此由，解得，正确．
故选：．
【变式训练1】．（2020·浙江高一课时练习）已知、两地相距千米，某人开汽车以千米/小时的速度从到达地，在地停留小时后再以千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离表示为时间的函数，表达式为__________．
【答案】
【解析】
从到用时，在地停留内，距离不变，
返回地时，距离减少．
因此
(四)
生产生活中的“最优化”
问题
例6．（2020·浙江高一课时练习）用一段长为的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设矩形模型的长和宽分别为，则，由题意可得，所以，
所以矩形菜园的面积，当且仅当时取等号，
所以当矩形菜园的长和宽都为时，面积最大，为．答案：
例7．（2020·陕西长安一中高一开学考试）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )．
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
【答案】A
【解析】
由三角形相似得,得,由0∴,∴当y=12时,S有最大值,此时x=15.
选A
四、迁移应用
1．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：
每户每月用电量
电价
不超过230度的部分
0.5元/度
超过230度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度
若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为( )
A．475度
B．575度
C．595.25度
D．603.75度
【答案】D
【解析】不超过230度的部分费用为：230×0.5＝115；超过230度但不超过400度的部分费用为：(400－230)×0.6＝102,115＋102<380；设超过400度的部分为x，则0.8x＋115＋102＝380，∴x＝203.75，故用电603.75度．
2．某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图，下列五种说法中正确的是( )
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
【答案】AC
【解析】由题中函数图象可知，在区间[0,3]上，图象是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误；在[3,8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此C正确，D错误，故选AC.
3．（2020·山东高一期末）已知函数.
（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）当时，解关于x的不等式.
【解析】（1）由题意得，，且，
则.
由，得.于是，即
所以函数在区间上单调递增
（2）原不等式可化为.因为，故.
（i）当,即时，得或.
（ii）当,即时，得到,所以；
（iii）当，即时，得或.
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
4．（2020·浙江高一课时练习）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.
【解析】（1）由题意，当时，v(x)=100，
当时，设，则
解得：，
∴
（2）由题意，
当时，的最大值为
当时，，
的最大值为
∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
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