高中数学人教A版（2019）必修第一册教案：4.1.1 n次方根与分数指数幂

第四章
指数函数与对数函数
4.1
指数
4.1.1
n次方根与分数指数幂
教学设计
一、教学目标
1.理解n次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求.
2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.
3.
掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求.
二、教学重难点
1.教学重点
根式、分数指数幂概念的理解;
掌握并运用分数指数幂的运算性质.
2.教学难点
有理数指数幂运算性质的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
让我们回顾一下初中学过的知识，什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?
教师引导学生回答并归纳：若x2=a，则x叫作a的平方根.同理，若x3=a，则x叫作a的立方根.
（二）探索新知
探究一:
n次方根的概念
我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n次方根的概念：
一般的，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n﹥1，且n.
教师提问，n的取值会影响n次方根的值吗?
学生讨论，自行归纳出结果：
当n为偶数时，正数a的n次方根中，正的n次方根用表示，负的n次方根用-表示；
当n为奇数时，a的n次方根用符号表示.
教师讲解：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
探究二：正数的分数指数幂的意义
大家观察以下式子，能否总结出一些规律?
（a﹥0）,
（a﹥0）,
（a﹥0）.
学生讨论.
教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?
例：（a﹥0）,
（b﹥0）,
（c﹥0）
由此得出结论:（a﹥0，﹥1）.
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：
（a﹥0，﹥1）.
注意：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
探究三：正数的分数指数幂的运算
类比平方根，立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个?
当n为奇数时呢?
学生类比初中学过的知识讨论总结:
a为正数时，
a为负数时，
0的n次方根为0，记为.
例：16的四次方根为2，-27的五次方根为-3，-27的四次方根不存在.
教师总结：一个数到底有没有n次方根，有几个n次方根，首先要考虑被开方数的正负，，还要分清n为奇数还是偶数两种情况
根据n次方根的意义可得，一定成立.
那么同学们思考：表示的n次方根，等式一定成立吗?如果不一定成立，那么等于什么呢?
例：，
.
教师引导学生讨论并总结:
n为奇数时，；
n为偶数时，
探究四：有理指数幂的运算
由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即：
（三）课堂练习
1.求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
(4)
2.求值
（1）
(2)
3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a﹥0）.
（1）
（2）
（四）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容?
1.掌握n次方根的概念；
2.掌握两个公式；
3.根式与指数幂的形式互化；
4.有理指数幂的运算性质.
四、板书设计
1.
n次方根与根式的概念；
2.掌握两个公式；
3.根式与指数幂的形式互化；
4.有理指数幂的运算性质.
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