北师大版数学九年级上册2.3 用公式法求解一元二次方程 教案

一元二次方程根的判别式
【教学任务分析】
教 学
目
标 知识与
技能 掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．
过程与
方法 1．经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
2．体会解决问题能力，发展实践能力与创新意识．
情感态度与价值观 1．积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．
2．形成合作交流、独立思考的学习习惯．
重点 b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．
难点 从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．
【教学环节安排】
环节 教学问题设计 教学活动设计 问题最佳
解决方案
创设情境 （学生活动）用公式法解下列方程．
（1）2x2-3x=0 （2）3x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根 通过回忆，激发学生的学习兴趣。
自主探究 从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．

例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
（2）a=9，b=6，c=1，
b2-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根．
（3）a=2，b=-9，c=8
b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0
∴方程有两个不相等的实根．
（4）a=1，b=-7，c=-18
b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0
∴方程有两个不相等的实根．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根． 检验学生对于公式法的利用情况是否熟练。
尝试应用 不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x2+10x+26=0
（2）x2-x-=0
（3）3x2+6x-5=0
（4）4x2-x+=0
（5）x2-x-=0
（6）4x2-6x=0
（7）x（2x-4）=5-8x
学生解答，教师巡视 检验学生的学习效果，发现并纠正学生理解中的错误。
成果展示 课本P42第4题 学生写出解答过程，教师根据情况个别指导 重点关注学生的解答过程。
补偿提高 1本节课你有哪些收获？、
本节课应掌握：
b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．
2、填空
1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______ 3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是________．
3．不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2
（2）x2-（1+2）x++4=0
对前几个环节学生所出现的问题针对性的补偿，有余力的学生拓展提高。
学生总结，学生互相补充
作业设计 课本P42第4题。
《同步学习》
教后反思 一堂课的成败好坏，归根到底要看它的教学效果，其教学效果又总是从这样两个方面来检验：①学生是不是越学越爱学，既是否在课堂中充分调动其学习积极性、自觉性和求知欲；②学生是不是越学越会学，既是否培养了他们的能力和习惯，发展了他们的智力和素质。
对于本课而言，学生对本课的知识掌握程度不错，中等层次的同学都能较好地完成练习题，似乎已较好地达到本课的教学目的。但是再仔细分析学生在课堂中的整个学习过程，我发现其实本课的教学仍存在以下的不足：
①本课的教学过多地注重了学生的模仿和记忆。
例如在环节三学习“如何用根的判别式解决实际问题。”时，我是先给出两道相应的例题说明，再让学生进行练习。在这个环节中，学生完全是在接受被动式的学习，所做的练习也只是对例题的重复模仿和记忆，并没能主动地参与到学习活动中。
②教师在本课教学中起到的是“主导”作用而不是“指导”作用。