北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系教案

北师大版九年级数学上册教学设计
课题
一元二次方程根与系数的关系
总课时数
授课教师
李春明
教学目标
知识与技能目标：借助一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，求参数的值或范围
过程与方法目标：经历借助一元二次方程根与系数的关系解决问题，培养学生总结概括能力，渗透转化思想、方程与不等式思想。
情感态度与价值观目标：经历自主探究、小组讨论解决问题，提升学习数学自信心，发展团队合作意识.
教学重点
借助一元二次方程根与系数的关系求代数式的值
教学难点
借助一元二次方程根与系数的关系求参数的值或取值范围
教学方法
合作探究
教学工具
课型
复习课
课时数
本案课时
第课时
教学过程
备注（方法、工具、时间、效果等）
第一环节：温故知新
活动内容：请学生回答预习案三个题目，老师引导学生进行知识梳理，并且引出新课。
1,解下列一元二次方程：
（1）x2-2=0
（2）x2-x-3=0
（3）2x2-x-3=0
解析：（1）
（2）
（3）
2,一元二次方程x2-3x=2的两个根为α、β，不解方程求下列各式的值
（1）α+β
（2）αβ
解析：（1）3
（2）-2
3，一元二次方程x2-px+q=0的两个根是1和3，则p=____,q=______.
解析：p=4，q=3
处理方法：第2小题“易错点”让学生找，，第3小题让学生经过比较得到借助根与系数的关系的优越性.
第二环节：应用探究一，求代数式的值
活动内容：请学生独立完成，思考题请学生给出代数式，并简述化简过程。老师课件出示常见的含两根的对称代数式。
1.α、β是x2-2x-1=0两根，求α2+β2的值
解析：α+β=2；αβ=-1.α2+β2=（α+β）2-2αβ=6
思考：解这类题的关键是将代数式用含α+β以及αβ的代数式表示，那么常见的含两根的对称代数式有哪些？
处理方法：鼓励学生提出问题，老师课件出示常用的含两根的对称代数式.
形如α+β、αβ、α2+β2、（α-β）2、α4+β4、
等常见结构对称的代数式，可化简后借助根与系数的关系求值。
2.x2-3x-5=0的两根为α、β，求
α2+2β2-3β
的值.
解法一：
∵β是x2-3x-5=0的一个根
∴β2-3β-5=0
α2+2β2-3β
=α2+β2+β2-3β
=（α+β）2-2αβ+β2-3β
=32-2×（-5）+5
=24
解法二：
∵x2-3x-5=0的两根为α、β
∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0
∴α2=3α+5，β2=3β+5
∴α2+2β2-3β=3α+5+2（3β+5）-3β=3（α+β）+15=24
变式训练：x2-3x-5=0的两根为α、β，
则α2-6α-3β+αβ=_______.
答案：-9
设计意图：及时巩固所学，使得学生能够求含两根不对称的代数式的值.
分析：因为m、n同时满足x2-2x-1=0，所以m+n=2，mn=-1.①m≠n时，
②m=n时，原式=2.
处理方法：经过小组讨论，多数小组能够列出m、n满足的一个一元二次方程，进而得到代数式的值为-6.再请学生继续讨论另外一种情况.经过老师引导，学生得到当m≠n时原式=-6；当m=n时，原式=2
第三环节：应用探究二，求参数的值或者取值范围
1.5x2+kx-6=0一根是2，
则另一根为_____,k=______.
解析：另一根为
；
k=-7
处理方法：请两个学生口述各自的方法.
设计意图：从已知方程一个根求参数的值入手，学生易于接受.
2.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-2=0.若方程的两个实数根为α、β，且（α-β）2+m2=21，求m的值.
分析：因为方程有两个实数根，所以解△≥0得
，又因为α+β=-（2m+1），αβ=m2-2，将（α-β）2+m2=21转化为关于m的方程m2+4m-12=0，解得m=2或-6，综上所述m=2.
处理方法：请学生独立完成，多数学生得到m=2或-6，个别学生会提出质疑.再让学生小组讨论后小组代表做总结性发言.
变式训练,关于x的方程2x2-2x+1-3m=0两实数根为α、β，若αβ+2（α+β）>0，则m取值范围是_____.
分析：由△≥0得
，因为α+β=1，αβ可用m表示，所以αβ+2（α+β）>0转化为关于m的不等式，解不等式得
，
处理方法：学生独立完成，老师巡视，对个别学生进行指导.最后学生共同回答m的范围.
第四环节：题型小结、归纳
给学生两分钟时间整理应用探究一，应用探究二.与同伴交流、分享.
第五环节：当堂检测
1，x2+3x+1=0两根α、β，则（1+α）（1+β）=_________.
2,一元二次方程x2-2x=2009的两个根为α、β，则α2+3α+5β=________.
已知2a2+3a-7=0，2b2+3b-7=0，a≠b.求a2+b2的值.
4.x2+（m+3）x+m+1=0的两个根α、β，
若
，则m的值为（
）
A.1或3
B.-3
C.1或-3
D.1
已知kx2+（2k-1）x+k-1=0只有整数根，其中k为整数，求k的值。
思考题：α、β是x2+x+m-2=0的两个实数根，
则（α-2β）（β-2α）的最大值为_______.
第六环节：当堂小结
处理方法:引导学生谈一谈本节课所学内容，从知识方面入手，过渡到对数学学习的信心，情感态度等方面，鼓励学生大胆说出疑惑.
第七环节：布置作业
全员必做：基础过关
选做题：满分训练
板书设计：一元二次方程根与系数的关系
求代数式的值
结构对称
结构不对称
借助新一元二次方程
求参数的值或取值范围
第一步：转化
第二步：求解
第三步：检验
设计意图：几个简单的小题检查学生对前面基础知识的掌握情况。
学情预设：个别学生不能选择合适的方法解一元二次方程。
处理办法：请其他同学总结概括解一元二次方程常见的方法。
设计意图：2、3两个小题引出新课内容，引发学生思考。这两个问题比较基础，给学生学习数学的信心。
学情预设：第2题中没有将一元二次方程化简为一般式；第3题中学生将1、3代入到方程中，得到关于p、q的二元一次方程组.
设计意图：第1小题是基础题，多部分学生能够正确得到α2+β2=（α+β）2-2αβ.
渗透转化思想.
学情预设：学生能够正确对代数式进行化简，但缺少提出问题的思维活动.
设计意图：第2小题分析的是含两根不对称的代数式，从对称到不对称，发展学生的逻辑思维能力.
学情预设：学生想将表达式化简为含两根的对称式，但是不得解.经过仔细分析，一部分学生能将表达式化简为两部分：一部分为对称式；一部分为不对称式.大部分学生想不到用“降幂”.
处理方法：老师引导学生发现解法一中的另一部分代数式与方程的根有关.老师课件出示“降幂”法.
学情预设：个别学生求解仍有困难.
处理办法：学生独立完成变式训练，老师巡视，对个别学生进行辅导.
设计意图：构造法是数学常用的方法，本题是构造新的一元二次方程，发展学生解决问题的思路，锻炼学生逻辑推理能力.
学情预设：个别学生会想到分别解关于m、n的方程然后代入代数式求值；一部分学生不能正确列出m、n满足的一个一元二次方程，大部分学生想不到m=n的情况.
学情预设：一部分学生将2代入到方程中求解k的值，再求另一个根；一部分学生能想到先借助韦达定理求出另一个根，再由两根之和求k值。
学情预设：大部分学生能够得到
m=2或-6，没有考虑到△≥0.
设计意图：已知方程两个根的关系式求参数的值属于易错题，容易忽视△≥0而导致错误.
学情预设：学习了第2小题，多数学生能够正确求出m的取值范围，个别学生计算不准确.
设计意图：及时巩固所学.
设计意图：及时的总结，学生学习情况能够得到反馈.
学情预设：个别学生不知道如何整理，认真倾听小组成员介绍经验.
设计意图：当堂检测使学生及时巩固所学，老师得到学生学习情况的反馈，及时调整授课思路.
当堂检测参考答案：1，-1
2,2019
；
3，
；
D
-1或0或1
思考题：
设计意图：总结+反思=成长，每一节课都要及时做总结，师生相长.
教学反思：