人教版数学八年级上册第十三章轴对称教材分析
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册第十三章轴对称教材分析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-21 09:36:03 | ||
图片预览
文档简介
第十三章
《轴对称》教材分析
一、本章在教材中的地位及作用
本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用.
本章主要学习线段的垂直平分线、等腰三角形和等边三角形的性质与判定，前面有全等三角形作为探究、推理的基础，后面还会在平行四边形、圆的学习中讨论图形的对称性.
在几何变换方面，轴对称和平移、旋转都属于合同变换（保距变换），初中阶段还会学习位似变换，教材在处理这些变换时，也都采取了相似的思路，即从实例中得到概念、从典型例子中总结性质、以性质为依据进行作图、在坐标系中作图探索坐标和变换的关系.
在图形与坐标方面，本章的要求仅限于对称轴是坐标轴的情形，但在后续学习函数图象的对称性时，会遇到更复杂的情形.
在联系实际方面，本章突出知识的现实背景，把课程内容与学生的生活经验有机地融合.
通过本章的学习，学生的推理论证方法、几何变换的思想得到进一步的巩固和发展，宏观观察分析图形的能力获得提升，学生逐步学会面对现实生活中的复杂图形时用轴对称的观点进行分析.
本章教材在设计上重视实验几何，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量等活动，探索发现几何结论，在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论。本章也渗透了对学生的美学观的培养.
二、教学目标和重难点
1.
通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.
2.
探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴对称的图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
3.
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
4.
了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理；探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.
5.
能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
重点：（1）轴对称的性质；（2）等腰三角形的性质和判定.
难点：运用轴对称分析、认识复杂图形，进行推理论证.
难点突破：（1）加强对问题分析的教学，帮助学生熟悉分析证明问题的一般思路流程;
（2）继续学习通过几何语言表述逻辑推证的规范语序和说理格式.
三、教学建议
1．知识框架
2.课时安排（仅供参考）
本章教学约13课时，具体安排如下：
13.1轴对称
共3课时
13.1.1轴对称
2课时
13.1.2线段的垂直平分线
1课时
13.2画轴对称图形
共2课时
13.3等腰三角形
共4课时
13.3.1等腰三角形
2课时
13.3.2等边三角形
2课时
13.4课题学习
共2课时
13.4.1
最短路径问题
1课时
13.4.2
等腰三角形作图专题
1课时
小结和单元检测
共2课时
3.教学建议
（1）注意联系实际，让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程
本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此在教学中要注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中，使学生体会“具体——抽象——具体”的认识过程。建议：可以较多地发动学生参与，比如利用轴对称的观点解释现实生活中的有关现象、简单地利用轴对称设计图案、一些选址问题的实验比较等。
例如：从中国的建筑结构中寻找轴对称入手，可以设计数学活动课，让更多动手能力较强的学生参与进来，引导学生利用轴对称画出天坛等经典建筑的平面图，并鼓励学生利用轴对称去设计更多充满自己的创意的作品。
（2）注意实验几何与论证几何的结合，发展学生的创新思维和推理能力
教材在内容处理上，加强了实验几何，将实验几何与论证几何有机结合。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重大的作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着大的作用。
教科书大多通过留空、设问、设置“思考”、“探究”、“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合。
例如：折纸作图是一个非常有趣，而且认知思维水平也较高的学习材料，可以通过数学专题讲座的形式，将折纸作图的基本方法展示给学生，引导学生去思考折纸作图的合理性。在折纸作图完成后，教师可以鼓励学生去思考折纸可以作出哪些图形，引导学生举出一些尺规作图办不到的例子，其次，教师可以引导学生利用所学知识去论证折纸作图的正确性。下文会有折纸专题的学案示例。
折纸作图的问题背景与一般的几何证明题相比较为新颖而且贴合实际，学生可以动手操作，在实际折纸操作的过程中可以体会和寻找其中的相等关系，在论证所做图形的正确性时，教师要注重引导学生规范使用数学语言，明确命题的题设和结论，锻炼学生从实际问题中提取中数学问题的能力。
（3）用轴对称的观点看以前学过的知识，归纳以前遇到的辅助线的添加方法
学习就是新旧知识的再融合以及认识的在提升的过程.
比如对于全等、角平分线的知识，应该从轴对称的角度再归纳提升一下，甚至可以介绍代数中的对称的观点.
其实许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称．
本章内容的知识难度可以满足不同层次学生的需求，例如，归纳做辅助线的方法，可以从最基本的截长补短入手，引导学生熟悉关于角平分线相关问题的辅助线做法.
在构造等腰三角形的时候，引导学生归纳得出两圆一直线，使学生对构造等腰三角形有更加完整和全面的认识。
对于能力较强，基础较好的学生可以引入三角形的角格点有关的角度计算，在求解有关问题时会充分利用做对称点，做等边三角形等常用做辅助线的方式.
如下例题
例：
（引自《三角形中的角格点问题》，185页）
（4）合理使用现代化教学手段辅助学生画图
动手能力的提升来自于模仿和体会，我们应该多带着学生一起画图，比如如何画等腰三角形等。教师可以在课堂上将画板软件演示与板书演示作图有机结合，充分发挥现代化教学手段的长处，将几何图形直观地展示到学生面前，鼓励学生主动利用画板软件进行探索学习，调动学生探索问题的积极性。
在课堂上教师可以利用圆规和直尺给学生做示范，在线上教学时教师可以利用画板软件进行尺规作图的示范.
合理使用画板软件可以促进学生的直观认识和感性认知，有助于学生形成较为深刻的印象。
例如：使用画板软件可以演示做垂直平分线，可以演示做等腰三角形等等.
画板软件不仅可以用于在课堂上演示尺规作图，而且可以协助学生探索动态几何中角度和线段之间的关系.
在教学中适当地引入画板软件，引导学生掌握常用几何画板软件基本功能的使用，可以促进学生自主探索几何问题。
四、各节内容分析
13.1轴对称
13.1.1轴对称
【教学目标】
（1）通过实例认识轴对称，体会轴对称在现实生活中的广泛应用.
（2）能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.
（3）探索发现轴对称的基本性质.
【重点】轴对称的基本性质.
【难点】区分轴对称图形与两个图形成轴对称的概念.
【概念辨析】
教学中可以结合实际，多举出一些对称例子让学生观察（建议动手剪窗花等），在观察和操作的基础上给出轴对称和轴对称图形的直观描述，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的文化价值.
1.
轴对称：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
2.
轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴，这时，也说这个图形关于这条直线对称.
注：轴对称图形是说一个具有特殊特征的图形---对折后能完全重合，即对称轴两旁的部分是全等形，是对一个图形说的；一个轴对称图形的对称轴可能不止一条。
轴对称与轴对称图形的联系与区别.
区别：轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形，是对一个图形说的；
轴对称是指两个图形之间的位置关系，是对两个图形说的.
联系：轴对称与轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
4.轴对称的性质
（1）关于某直线对称的两个图形全等；
（2）两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上
（3）两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
注：全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。
轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直以及角相等的依据之一。若两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应边相等，对应角相等。
【典型例题】
判断下列图案是否为轴对称图形.
如果是，找出它的对称轴.
判断下列平面图形是否为轴对称图形.
如果是，说出它的对称轴.
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B=90°，
∠A=30°，A′B′=6cm，求AB的长和∠A′C′B′的度数.
剪纸是我国传统的民间艺术，直到今天还保留着过年
贴窗花、嫁娶贴喜字等传统.
如图是一枚双“喜”剪纸，
你知道是怎么剪出来的吗？先想一想，再动手做一做.
13.1.2线段的垂直平分线的性质
【教学目标】
（1）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.
（2）理解并掌握过一点作已知直线的垂线的尺规作图.
（3）能够作出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
【重点】线段垂直平分线的性质定理.
【难点】线段垂直平分线性质定理的证明.
【概念辨析】
1．线段的垂直平分线
（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）.
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（3）逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合.
点在线段的垂直平分线上点到线段两端点的距离相等
以性质的证明为例：
引导学生画出图形、根据图形写出已知、求证，完成证明。
如图，已知l⊥AB,垂足为C，AC=CB，点P在直线l上，求证：PA=PB.
证明：①当P
与C重合时，结论显然成立。
②当P与C不重合时，
∵l⊥AB
∴∠1=∠2=90°
在△PAC和△PBC中
∴△PAC≌△PBC(SAS)
∴PA=PB
即线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（利用三角形的全等证明结论，体现观察、探究、猜想、证明的过程，感受证明的必要性。）
（4）线段垂直平分线的尺规作图
2.轴对称的识别（思考:
为什么用定义判定轴对称(图形)还不够？）
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
注：此定理的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对称图形的依据。
画图形的对称轴：只要找到任意一对对应点，作出所连线段的垂直平分线就可以得到它们的对称轴，类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
3.常见的轴对称图形的对称轴的特点：
对称轴是一条直线，有些轴对称图形的对称轴只有一条，有些轴对称图形的对称轴则有多条。
轴对称图形
对称轴
对称轴条数
轴对称图形
对称轴
对称轴条数
直线
直线本身
直线的任一垂线
无数条
矩形
连接对边中点的直线
2
线段
线段所在直线
线段的垂直平分线
2条
正方形
连接对边中点的直线，对角线所在直线
4
角
角平分线所在直线
1条
等腰梯形
连接两底中点的直线
1
等腰三角形
底边的垂直平分线
1条
圆
过圆心的每一条直线
无数条
等边三角形
每条边的垂直平分线
3条
……
从轴对称的角度再认识以前所学过的具有轴对称特征的图形，并找出对称轴，学有余力的学生要力争准确把握对称轴的描述及条数。
【典型例题】
尺规作图：
（1）经过已知直线外一点作这条直线的垂线；
（2）经过已知直线上一点作这条直线的垂线.
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，
△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长.
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.
求证：OE垂直平分BD.
作图：
（1）如图1，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
（2）如图2，电信部门要在图中地区修建一座电视信号发射塔，其中点A，点B是两个城镇，直线m，n是两条高速公路.
①若要将发射塔修建在高速公路n沿线，且到A，B两城镇的距离相等，发射塔应修建在何处？在图上标出来；
②若要使发射塔到A，B两城镇的距离相等，到两条高速公路m，n的距离也相等，应修建在什么位置？在图上标出来.
图1
图2
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.
（1）求证：PA=PB=PC；
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？
如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线相交于点O.
求证：∠ABO=∠ODC.
13.2画轴对称图形
【教学目标】
（1）能够画出简单图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.
（2）掌握平面直角坐标系中的图形经过轴对称（对称轴为坐标轴）后的对应点坐标之间的关系.
【重点】画简单图形关于给定对称轴的轴对称图形.
【难点】轴对称在平面直角坐标系中的应用.
【概念辨析】
1.轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程叫作轴对称变换．
注：轴对称变换是一种变换，是一个运动的过程．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成．
2.画轴对称图形
（1）一般步骤：几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
（2）归纳：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形是全等的（形状、大小完全相同）；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
3.关于x轴、y轴对称：
（1）一个图形沿x轴对折，则对折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数．一个图形沿y轴对折，则对折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数．
（2）可以让学生用方程组表示，即
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于x轴对称
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于y轴对称
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称
若学生程度较好，可以考虑拓展：关于直线y=a，x=b，y=±x等的对称.
用坐标表示轴对称，“形--数”：观察和实验----归纳规律----规律运用（作图）．
【典型例题】
将一个正方形纸片依次按图1
中a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的
（
）
（图1）
（图2）
根据题意画图：
（1）如图1，已知点A和直线l，画出点A关于直线l的对称点A′；
（2）如图2，已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l对称的图形；
（3）如图3，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l对称的图形.
图1
图2
图3
如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的
三角形称为格点三角形.
图中△ABC是一个格点三角形.
请你在图中画出
一个与△ABC成轴对称的格点三角形.
将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是（
）
②
③
④
A
B
C
D
如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)，B(-2,1)，C(-2,5)，D(-5,4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形，并分别写出顶点A，B，C，D的对应点的坐标.
例15图
例17图
（课本P72-6题）如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线l对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.
（课本P72-7题）如图，分别作出△PQR关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）和直线n（直线n上各点的纵坐标都为-1）对称的图形.它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？
13.3等腰三角形
13.3.1
等腰三角形
【教学目标】
（1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理.
（2）探索并掌握等腰三角形的判定定理.
【重点】等腰三角形的性质与判定.
【难点】证明等腰三角形的性质定理.
【概念辨析】
1.等腰三角形的概念、性质及判定
（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）所在的直线.
（3）性质：①等腰三角形，底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线三线合一；
②等腰三角形中相等的边所对的角也相等.
（4）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
注意：三线合一逆定理的使用.
【典型例题】
如图，在△ABC中，AB=AC.
点D在AC上，且BD=BC=AD.
求△ABC各角的度数.
例18图
例19图
例20图
例22图
如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.
求证：BD=CE.
求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等.
已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：DE=DF.
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
例23图
例24图
例25图
例26图
如图，已知四边形ABCD.
在条件①AB＝AD，②∠ABC＝∠ADC，③BC＝CD中，以其中两个为题设，余下的一个为结论，构成的命题是真命题吗？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请说明理由或画出反例.
如图，△ABC是直角三角形.
请以直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点也在直角三角形的边上.
探究：在三角形中，若两条边不相等，那么较大边所对的角较大还是较小？
13.3.2
等边三角形
【教学目标】
（1）了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理.
（2）掌握含30°角的直角三角形的性质：30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【重点】等边三角形的性质和判定.
【难点】灵活运用等边三角形的判定定理.
【概念辨析】
1.等边三角形及其性质
（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形.
（2）性质：①等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴；
②等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°；
③等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
（3）判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
拓展：等腰三角形中主要线段的性质（非定理）有哪些，如何证明？
(1)
等腰三角形两底角的平分线相等.（其夹角与顶角的关系）
(2)
等腰三角形两腰的中线相等.
(3)
等腰三角形两腰的高线相等.(由高分类，面积解法最直接)
(4)
等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边.
以上结论的逆命题是否为真命题?
(1)
若三角形两个内角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.
(2)
若三角形两边上的中线相等，则这个三角形是等腰三角形.
(3)
若三角形两边上的高线相等，则这个三角形是等腰三角形.
(由高分类，面积解法最直接)
(4)
若三角形一个内角的外角平分线平行于这个角的对边，则这个三角形是等腰三角形.
上述证明的过程相对复杂一些，对学生的要求也要更高一些.
2.30o角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
拓展:
直角三角形的性质与判定分散在很多章节的，为了有利于学生整理和系统理解，可以在本章先将已经学过的直角三角形的性质和判定汇总，后面学到新的再补充.
3．三角形中边与角之间的不等关系
大边对大角；大角对大边
【典型例题】
如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
例27图
例28图
例29图
如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC.
求证：△ADE是等边三角形.
如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.
图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
（2）如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
图①
图②
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是
斜边AB上的高.
求证：AD＝AB.
底角为15°的等腰三角形，若腰长为20cm，求它的面积.
如图，要把一块三角形的土地均分给甲、乙、丙三家农户.
如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、
形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来.
（说明
画法和理由）
13.4
课题学习
13.4.1最短路径问题
【教学目标】
（1）让学生了解解决最短路径问题的基本方法.
（2）在解决问题的过程中，体会其中蕴含的变换和化归思想.
【重点】用轴对称的思想解决最短路径问题.
【难点】灵活运用变换的思想转化问题.
【典型例题】
牧马人要从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地.
（1）如图1，A地和B地在河的同侧，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
（2）如图2，河的两岸互相平行，A地和B地在河的两侧，现在要在河上建一座桥MN（桥MN与河岸垂直），桥建在何处可以使牧马人所走的路径最短？
图1
图2
如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q.
（1）请设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，撞到球Q；
（2）请设计一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹，
撞到球Q.
已知锐角ΔABC，点M在边BC上.
（1）如图，在AB边上找点P，在AC边上找点Q，
使内接ΔMPQ的周长最小.
（2）当M在BC边上何处时，以M为顶点可以作出
周长最小的内接三角形？
13.4.2
等腰三角形作图
【教学目标】
（1）让学生了解解决等腰三角形作图的基本方法.
（2）在解决问题的过程中，体会其中蕴含的变换和化归思想.
【重点】用轴对称的思想解决等腰三角形的作图问题.
【难点】灵活运用变换的思想转化问题.
【典型例题】
平面直角坐标系下，一条直线分别与x轴、y轴交于A(-4,0)、B(0,3)两点,在坐标轴上找一点C,使ΔABC为等腰三角形,问满足题意的点C有几个？
P为等边△ABC所在平面内一点，且△PAB、△PBC、△PCA都是
等腰三角形，这样的P点有多少个？并画出点P的位置.
一个三角形纸片，从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片.
：一个等腰三角形纸片，将其分割成四个等腰三角形纸片.
13.4.3折纸专题（学案）
例1.“叹为观纸”：
一张白纸，不剪不裁，却能折出无数变化，有时候尺规作图无法完成的任务，折纸却能解决，例如三等分角，下面就跟随老师一起来体会一下折纸几何学吧，同时思考一下如何用我们刚刚学习的全等三角形和轴对称来解释一下.
先标记顶点：
步骤：（1）在AD上任取一点P，过B、P两点折叠，折痕为BP，得到锐角∠PBC（操作任务是三等分这个角）；
（2）在AB上适当取点E，过点E将B翻折到射线EA上，折痕交CD于F，然后展开纸片；
（3）将BC向上翻折，与EF重合，折痕记为GH，然后展开纸片；
（4）折叠纸片，使点B落在GH上，同时使点E落在BP上，折痕记为MN；
注：这一步“两点同时到两线”既是操作中的难点，也体现了折纸相比尺规作图的巧妙之处——在一步操作中同时实现两个功能。
（5）分别将点B，E，G的对应点记为B'，E'，G'；
（6）展开图片，连结BB'，BG'；则BB'，BG'
即为∠PBC的三等分线。
例2.取一张正方形纸片ABCD进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把纸片分别对折，使对边分别重合，再展开，
记折痕MN，PQ的交点为O；再次对折纸片使AB与PQ重合，
展开后得到折痕EF，如图1；
第二步：折叠纸片使点N落在线段EF上，同时使折痕
GH经过点O，记点N在EF上的对应点为，如图2．
解决问题：
（1）请在图2中画出（补全）纸片展平后的四边形CHGD
及相应MN，PQ的对应位置；
（2）利用所画出的图形探究∠POG的度数并证明你的结论．
解：（1）补全图形．
（2）∠POG=
°．
证明：
1
/
18
《轴对称》教材分析
一、本章在教材中的地位及作用
本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用.
本章主要学习线段的垂直平分线、等腰三角形和等边三角形的性质与判定，前面有全等三角形作为探究、推理的基础，后面还会在平行四边形、圆的学习中讨论图形的对称性.
在几何变换方面，轴对称和平移、旋转都属于合同变换（保距变换），初中阶段还会学习位似变换，教材在处理这些变换时，也都采取了相似的思路，即从实例中得到概念、从典型例子中总结性质、以性质为依据进行作图、在坐标系中作图探索坐标和变换的关系.
在图形与坐标方面，本章的要求仅限于对称轴是坐标轴的情形，但在后续学习函数图象的对称性时，会遇到更复杂的情形.
在联系实际方面，本章突出知识的现实背景，把课程内容与学生的生活经验有机地融合.
通过本章的学习，学生的推理论证方法、几何变换的思想得到进一步的巩固和发展，宏观观察分析图形的能力获得提升，学生逐步学会面对现实生活中的复杂图形时用轴对称的观点进行分析.
本章教材在设计上重视实验几何，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量等活动，探索发现几何结论，在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论。本章也渗透了对学生的美学观的培养.
二、教学目标和重难点
1.
通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.
2.
探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴对称的图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
3.
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
4.
了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理；探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理.
5.
能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.
重点：（1）轴对称的性质；（2）等腰三角形的性质和判定.
难点：运用轴对称分析、认识复杂图形，进行推理论证.
难点突破：（1）加强对问题分析的教学，帮助学生熟悉分析证明问题的一般思路流程;
（2）继续学习通过几何语言表述逻辑推证的规范语序和说理格式.
三、教学建议
1．知识框架
2.课时安排（仅供参考）
本章教学约13课时，具体安排如下：
13.1轴对称
共3课时
13.1.1轴对称
2课时
13.1.2线段的垂直平分线
1课时
13.2画轴对称图形
共2课时
13.3等腰三角形
共4课时
13.3.1等腰三角形
2课时
13.3.2等边三角形
2课时
13.4课题学习
共2课时
13.4.1
最短路径问题
1课时
13.4.2
等腰三角形作图专题
1课时
小结和单元检测
共2课时
3.教学建议
（1）注意联系实际，让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程
本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此在教学中要注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中，使学生体会“具体——抽象——具体”的认识过程。建议：可以较多地发动学生参与，比如利用轴对称的观点解释现实生活中的有关现象、简单地利用轴对称设计图案、一些选址问题的实验比较等。
例如：从中国的建筑结构中寻找轴对称入手，可以设计数学活动课，让更多动手能力较强的学生参与进来，引导学生利用轴对称画出天坛等经典建筑的平面图，并鼓励学生利用轴对称去设计更多充满自己的创意的作品。
（2）注意实验几何与论证几何的结合，发展学生的创新思维和推理能力
教材在内容处理上，加强了实验几何，将实验几何与论证几何有机结合。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重大的作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着大的作用。
教科书大多通过留空、设问、设置“思考”、“探究”、“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合。
例如：折纸作图是一个非常有趣，而且认知思维水平也较高的学习材料，可以通过数学专题讲座的形式，将折纸作图的基本方法展示给学生，引导学生去思考折纸作图的合理性。在折纸作图完成后，教师可以鼓励学生去思考折纸可以作出哪些图形，引导学生举出一些尺规作图办不到的例子，其次，教师可以引导学生利用所学知识去论证折纸作图的正确性。下文会有折纸专题的学案示例。
折纸作图的问题背景与一般的几何证明题相比较为新颖而且贴合实际，学生可以动手操作，在实际折纸操作的过程中可以体会和寻找其中的相等关系，在论证所做图形的正确性时，教师要注重引导学生规范使用数学语言，明确命题的题设和结论，锻炼学生从实际问题中提取中数学问题的能力。
（3）用轴对称的观点看以前学过的知识，归纳以前遇到的辅助线的添加方法
学习就是新旧知识的再融合以及认识的在提升的过程.
比如对于全等、角平分线的知识，应该从轴对称的角度再归纳提升一下，甚至可以介绍代数中的对称的观点.
其实许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称．
本章内容的知识难度可以满足不同层次学生的需求，例如，归纳做辅助线的方法，可以从最基本的截长补短入手，引导学生熟悉关于角平分线相关问题的辅助线做法.
在构造等腰三角形的时候，引导学生归纳得出两圆一直线，使学生对构造等腰三角形有更加完整和全面的认识。
对于能力较强，基础较好的学生可以引入三角形的角格点有关的角度计算，在求解有关问题时会充分利用做对称点，做等边三角形等常用做辅助线的方式.
如下例题
例：
（引自《三角形中的角格点问题》，185页）
（4）合理使用现代化教学手段辅助学生画图
动手能力的提升来自于模仿和体会，我们应该多带着学生一起画图，比如如何画等腰三角形等。教师可以在课堂上将画板软件演示与板书演示作图有机结合，充分发挥现代化教学手段的长处，将几何图形直观地展示到学生面前，鼓励学生主动利用画板软件进行探索学习，调动学生探索问题的积极性。
在课堂上教师可以利用圆规和直尺给学生做示范，在线上教学时教师可以利用画板软件进行尺规作图的示范.
合理使用画板软件可以促进学生的直观认识和感性认知，有助于学生形成较为深刻的印象。
例如：使用画板软件可以演示做垂直平分线，可以演示做等腰三角形等等.
画板软件不仅可以用于在课堂上演示尺规作图，而且可以协助学生探索动态几何中角度和线段之间的关系.
在教学中适当地引入画板软件，引导学生掌握常用几何画板软件基本功能的使用，可以促进学生自主探索几何问题。
四、各节内容分析
13.1轴对称
13.1.1轴对称
【教学目标】
（1）通过实例认识轴对称，体会轴对称在现实生活中的广泛应用.
（2）能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.
（3）探索发现轴对称的基本性质.
【重点】轴对称的基本性质.
【难点】区分轴对称图形与两个图形成轴对称的概念.
【概念辨析】
教学中可以结合实际，多举出一些对称例子让学生观察（建议动手剪窗花等），在观察和操作的基础上给出轴对称和轴对称图形的直观描述，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的文化价值.
1.
轴对称：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
2.
轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴，这时，也说这个图形关于这条直线对称.
注：轴对称图形是说一个具有特殊特征的图形---对折后能完全重合，即对称轴两旁的部分是全等形，是对一个图形说的；一个轴对称图形的对称轴可能不止一条。
轴对称与轴对称图形的联系与区别.
区别：轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形，是对一个图形说的；
轴对称是指两个图形之间的位置关系，是对两个图形说的.
联系：轴对称与轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
4.轴对称的性质
（1）关于某直线对称的两个图形全等；
（2）两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上
（3）两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
注：全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。
轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直以及角相等的依据之一。若两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应边相等，对应角相等。
【典型例题】
判断下列图案是否为轴对称图形.
如果是，找出它的对称轴.
判断下列平面图形是否为轴对称图形.
如果是，说出它的对称轴.
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B=90°，
∠A=30°，A′B′=6cm，求AB的长和∠A′C′B′的度数.
剪纸是我国传统的民间艺术，直到今天还保留着过年
贴窗花、嫁娶贴喜字等传统.
如图是一枚双“喜”剪纸，
你知道是怎么剪出来的吗？先想一想，再动手做一做.
13.1.2线段的垂直平分线的性质
【教学目标】
（1）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.
（2）理解并掌握过一点作已知直线的垂线的尺规作图.
（3）能够作出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
【重点】线段垂直平分线的性质定理.
【难点】线段垂直平分线性质定理的证明.
【概念辨析】
1．线段的垂直平分线
（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）.
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（3）逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合.
点在线段的垂直平分线上点到线段两端点的距离相等
以性质的证明为例：
引导学生画出图形、根据图形写出已知、求证，完成证明。
如图，已知l⊥AB,垂足为C，AC=CB，点P在直线l上，求证：PA=PB.
证明：①当P
与C重合时，结论显然成立。
②当P与C不重合时，
∵l⊥AB
∴∠1=∠2=90°
在△PAC和△PBC中
∴△PAC≌△PBC(SAS)
∴PA=PB
即线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（利用三角形的全等证明结论，体现观察、探究、猜想、证明的过程，感受证明的必要性。）
（4）线段垂直平分线的尺规作图
2.轴对称的识别（思考:
为什么用定义判定轴对称(图形)还不够？）
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
注：此定理的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对称图形的依据。
画图形的对称轴：只要找到任意一对对应点，作出所连线段的垂直平分线就可以得到它们的对称轴，类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
3.常见的轴对称图形的对称轴的特点：
对称轴是一条直线，有些轴对称图形的对称轴只有一条，有些轴对称图形的对称轴则有多条。
轴对称图形
对称轴
对称轴条数
轴对称图形
对称轴
对称轴条数
直线
直线本身
直线的任一垂线
无数条
矩形
连接对边中点的直线
2
线段
线段所在直线
线段的垂直平分线
2条
正方形
连接对边中点的直线，对角线所在直线
4
角
角平分线所在直线
1条
等腰梯形
连接两底中点的直线
1
等腰三角形
底边的垂直平分线
1条
圆
过圆心的每一条直线
无数条
等边三角形
每条边的垂直平分线
3条
……
从轴对称的角度再认识以前所学过的具有轴对称特征的图形，并找出对称轴，学有余力的学生要力争准确把握对称轴的描述及条数。
【典型例题】
尺规作图：
（1）经过已知直线外一点作这条直线的垂线；
（2）经过已知直线上一点作这条直线的垂线.
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，
△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长.
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.
求证：OE垂直平分BD.
作图：
（1）如图1，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
（2）如图2，电信部门要在图中地区修建一座电视信号发射塔，其中点A，点B是两个城镇，直线m，n是两条高速公路.
①若要将发射塔修建在高速公路n沿线，且到A，B两城镇的距离相等，发射塔应修建在何处？在图上标出来；
②若要使发射塔到A，B两城镇的距离相等，到两条高速公路m，n的距离也相等，应修建在什么位置？在图上标出来.
图1
图2
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.
（1）求证：PA=PB=PC；
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？
如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线相交于点O.
求证：∠ABO=∠ODC.
13.2画轴对称图形
【教学目标】
（1）能够画出简单图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.
（2）掌握平面直角坐标系中的图形经过轴对称（对称轴为坐标轴）后的对应点坐标之间的关系.
【重点】画简单图形关于给定对称轴的轴对称图形.
【难点】轴对称在平面直角坐标系中的应用.
【概念辨析】
1.轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程叫作轴对称变换．
注：轴对称变换是一种变换，是一个运动的过程．
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到；一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成．
2.画轴对称图形
（1）一般步骤：几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
（2）归纳：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形是全等的（形状、大小完全相同）；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
3.关于x轴、y轴对称：
（1）一个图形沿x轴对折，则对折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数．一个图形沿y轴对折，则对折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数．
（2）可以让学生用方程组表示，即
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于x轴对称
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于y轴对称
点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称
若学生程度较好，可以考虑拓展：关于直线y=a，x=b，y=±x等的对称.
用坐标表示轴对称，“形--数”：观察和实验----归纳规律----规律运用（作图）．
【典型例题】
将一个正方形纸片依次按图1
中a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的
（
）
（图1）
（图2）
根据题意画图：
（1）如图1，已知点A和直线l，画出点A关于直线l的对称点A′；
（2）如图2，已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l对称的图形；
（3）如图3，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l对称的图形.
图1
图2
图3
如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的
三角形称为格点三角形.
图中△ABC是一个格点三角形.
请你在图中画出
一个与△ABC成轴对称的格点三角形.
将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是（
）
②
③
④
A
B
C
D
如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)，B(-2,1)，C(-2,5)，D(-5,4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形，并分别写出顶点A，B，C，D的对应点的坐标.
例15图
例17图
（课本P72-6题）如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线l对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.
（课本P72-7题）如图，分别作出△PQR关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）和直线n（直线n上各点的纵坐标都为-1）对称的图形.它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？
13.3等腰三角形
13.3.1
等腰三角形
【教学目标】
（1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理.
（2）探索并掌握等腰三角形的判定定理.
【重点】等腰三角形的性质与判定.
【难点】证明等腰三角形的性质定理.
【概念辨析】
1.等腰三角形的概念、性质及判定
（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）所在的直线.
（3）性质：①等腰三角形，底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线三线合一；
②等腰三角形中相等的边所对的角也相等.
（4）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
注意：三线合一逆定理的使用.
【典型例题】
如图，在△ABC中，AB=AC.
点D在AC上，且BD=BC=AD.
求△ABC各角的度数.
例18图
例19图
例20图
例22图
如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.
求证：BD=CE.
求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等.
已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：DE=DF.
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
例23图
例24图
例25图
例26图
如图，已知四边形ABCD.
在条件①AB＝AD，②∠ABC＝∠ADC，③BC＝CD中，以其中两个为题设，余下的一个为结论，构成的命题是真命题吗？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请说明理由或画出反例.
如图，△ABC是直角三角形.
请以直角三角形的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点也在直角三角形的边上.
探究：在三角形中，若两条边不相等，那么较大边所对的角较大还是较小？
13.3.2
等边三角形
【教学目标】
（1）了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理.
（2）掌握含30°角的直角三角形的性质：30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【重点】等边三角形的性质和判定.
【难点】灵活运用等边三角形的判定定理.
【概念辨析】
1.等边三角形及其性质
（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形.
（2）性质：①等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴；
②等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°；
③等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
（3）判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
拓展：等腰三角形中主要线段的性质（非定理）有哪些，如何证明？
(1)
等腰三角形两底角的平分线相等.（其夹角与顶角的关系）
(2)
等腰三角形两腰的中线相等.
(3)
等腰三角形两腰的高线相等.(由高分类，面积解法最直接)
(4)
等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边.
以上结论的逆命题是否为真命题?
(1)
若三角形两个内角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.
(2)
若三角形两边上的中线相等，则这个三角形是等腰三角形.
(3)
若三角形两边上的高线相等，则这个三角形是等腰三角形.
(由高分类，面积解法最直接)
(4)
若三角形一个内角的外角平分线平行于这个角的对边，则这个三角形是等腰三角形.
上述证明的过程相对复杂一些，对学生的要求也要更高一些.
2.30o角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
拓展:
直角三角形的性质与判定分散在很多章节的，为了有利于学生整理和系统理解，可以在本章先将已经学过的直角三角形的性质和判定汇总，后面学到新的再补充.
3．三角形中边与角之间的不等关系
大边对大角；大角对大边
【典型例题】
如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
例27图
例28图
例29图
如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC.
求证：△ADE是等边三角形.
如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.
图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
（2）如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
图①
图②
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是
斜边AB上的高.
求证：AD＝AB.
底角为15°的等腰三角形，若腰长为20cm，求它的面积.
如图，要把一块三角形的土地均分给甲、乙、丙三家农户.
如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、
形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来.
（说明
画法和理由）
13.4
课题学习
13.4.1最短路径问题
【教学目标】
（1）让学生了解解决最短路径问题的基本方法.
（2）在解决问题的过程中，体会其中蕴含的变换和化归思想.
【重点】用轴对称的思想解决最短路径问题.
【难点】灵活运用变换的思想转化问题.
【典型例题】
牧马人要从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地.
（1）如图1，A地和B地在河的同侧，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
（2）如图2，河的两岸互相平行，A地和B地在河的两侧，现在要在河上建一座桥MN（桥MN与河岸垂直），桥建在何处可以使牧马人所走的路径最短？
图1
图2
如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q.
（1）请设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，撞到球Q；
（2）请设计一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹，
撞到球Q.
已知锐角ΔABC，点M在边BC上.
（1）如图，在AB边上找点P，在AC边上找点Q，
使内接ΔMPQ的周长最小.
（2）当M在BC边上何处时，以M为顶点可以作出
周长最小的内接三角形？
13.4.2
等腰三角形作图
【教学目标】
（1）让学生了解解决等腰三角形作图的基本方法.
（2）在解决问题的过程中，体会其中蕴含的变换和化归思想.
【重点】用轴对称的思想解决等腰三角形的作图问题.
【难点】灵活运用变换的思想转化问题.
【典型例题】
平面直角坐标系下，一条直线分别与x轴、y轴交于A(-4,0)、B(0,3)两点,在坐标轴上找一点C,使ΔABC为等腰三角形,问满足题意的点C有几个？
P为等边△ABC所在平面内一点，且△PAB、△PBC、△PCA都是
等腰三角形，这样的P点有多少个？并画出点P的位置.
一个三角形纸片，从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片.
：一个等腰三角形纸片，将其分割成四个等腰三角形纸片.
13.4.3折纸专题（学案）
例1.“叹为观纸”：
一张白纸，不剪不裁，却能折出无数变化，有时候尺规作图无法完成的任务，折纸却能解决，例如三等分角，下面就跟随老师一起来体会一下折纸几何学吧，同时思考一下如何用我们刚刚学习的全等三角形和轴对称来解释一下.
先标记顶点：
步骤：（1）在AD上任取一点P，过B、P两点折叠，折痕为BP，得到锐角∠PBC（操作任务是三等分这个角）；
（2）在AB上适当取点E，过点E将B翻折到射线EA上，折痕交CD于F，然后展开纸片；
（3）将BC向上翻折，与EF重合，折痕记为GH，然后展开纸片；
（4）折叠纸片，使点B落在GH上，同时使点E落在BP上，折痕记为MN；
注：这一步“两点同时到两线”既是操作中的难点，也体现了折纸相比尺规作图的巧妙之处——在一步操作中同时实现两个功能。
（5）分别将点B，E，G的对应点记为B'，E'，G'；
（6）展开图片，连结BB'，BG'；则BB'，BG'
即为∠PBC的三等分线。
例2.取一张正方形纸片ABCD进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把纸片分别对折，使对边分别重合，再展开，
记折痕MN，PQ的交点为O；再次对折纸片使AB与PQ重合，
展开后得到折痕EF，如图1；
第二步：折叠纸片使点N落在线段EF上，同时使折痕
GH经过点O，记点N在EF上的对应点为，如图2．
解决问题：
（1）请在图2中画出（补全）纸片展平后的四边形CHGD
及相应MN，PQ的对应位置；
（2）利用所画出的图形探究∠POG的度数并证明你的结论．
解：（1）补全图形．
（2）∠POG=
°．
证明：
1
/
18