苏科版八年级上册数学 3.3 勾股定理的简单应用 同步练习（Word版 含解析）

3.3 勾股定理的简单应用 同步练习
一．选择题
1．如图，为测量小区内池塘最宽处A、B两点间的距离，在池塘边定一点C，使∠BAC＝90°，并测得AC的长18m，BC的长为30m，则最宽处AB的距离为（　　）
A．18m B．20m C．22m D．24m
2．小明同学从A地出发，向正北方向走3千米到达B地，然后从B地出发，向正东方向走4千米到达C地．此时他离A地的距离AC是（　　）
A．7千米 B．5千米 C．4千米 D．3千米
3．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．若“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿（　　）
A．西南方向航行
B．西北方向航行
C．东南方向航行
D．西北方向航行或东南方向航行
4．如图，学校教学楼旁有一块矩形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（　　）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．6 B．5 C．4 D．3
5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（　　）
A．cm B．cm C．cm D．cm
6．园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（　　）
A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
7．长方形门框ABCD中，AB＝2m，AD＝1.5m．现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：①长1.4m，宽1.2m；②长2.1m，宽1.7m；③长2.7m，宽2.1m；④长3m，宽2.6m．其中不能从门框内通过的木板有（　　）
A．0块 B．1块 C．2块 D．3块
8．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米，小明到达的终止点与原出发点的距离为（　　）米．
A．80 B．100 C．110 D．180
9．如图，一艘船以6海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘船以2.5海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　）
A．13海里 B．10海里 C．6.5海里 D．5海里
10．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
二．填空题
11．一个矩形的抽斗长为12cm，宽为5cm，在抽斗底部放一根铁条，那么铁条最长可以是　 　cm．
12．如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是　 　．
13．已知一个三角形工件尺寸（单位dm）如图所示，则高h＝　 　dm．
14．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度为　 　m．
15．如图，是矗立在高速公路地面上的一块交通警示牌，经测量得知PA＝4米，AB＝5米，∠PAD＝45°，∠PBC＝30°，则警示牌的高CD为　 　．（结果保留小数点后一位）
三．解答题
16．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
17．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？
（2）若会，将持续多长时间？
（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？
18．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
参考答案
1．解：∵∠BAC＝90°，并测得AC的长18m，BC的长为30m，
∴由勾股定理得：AB＝＝＝24m，
故选：D．
2．解：如图：AB＝3千米，BC＝4千米，根据勾股定理得：AC＝＝＝5千米．
故选：B．
3．解：一个半小时内“远航”号的航行距离：OB＝16×1.5＝24海里；
一个半小时内“海天”号的航行距离：OA＝12×1.5＝18海里，
因为AB＝30海里，所以AB2＝OB2+OA2，即302＝242+182，所以△OAB是直角三角形，
又因为∠1＝45°，所以∠2＝45°，
故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．
故选：D．
4．解：根据勾股定理得，斜边的长：＝5米，
少走：3+4﹣5＝2米，
因为两步为1米，
所以少走了2×2＝4步．故选：C．
5．解：由题意可知FG＝5cm、EF＝4cm、CG＝3cm，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG＝＝＝cm，
在Rt△EGC中，EG＝cm，CG＝3cm，
由勾股定理得CE＝＝＝＝5cm，
故选：C．
6．解：连接AC，则由勾股定理得AC＝5米，因为AC2+DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°．
这块草坪的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD＝AB?BC+AC?DC＝（3×4+5×12）＝36米2．
故选：B．
7．解：门框的对角线长是：＝2.5m．
宽小于或等于2.5m的有：①②③．
故选：B．
8．解：连接AB，作AC⊥BC于C．
∵AC＝40+40＝80米，
BC＝70﹣10＝60米，
则AB＝＝100米．
故选B．
本题考查了勾股定理的应用，连接AB，并构造直角三角形是解题的关键．
9．解：
由题意知，AB＝2×6海里＝12海里，
AC＝2×2.5海里＝5海里，
∴在直角△ABC中，BC＝＝13海里，
故选：A．
10．解：如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
11．解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AC＝＝＝13（cm）．
即铁条最长可以是13cm．
故答案是：13．
12．解：如图，作BE⊥DC于点E，
由题意得：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m，
∵DC＝6m，
∴EC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故答案为：10m．
13．解：
过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝h，
∵AB＝AC＝5dm，BC＝6dm，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BD＝BC＝3dm．
在Rt△ABD中，
AD＝dm，即h＝4（dm）．
答：h的长为4dm．
故答案为：4．
14．解：设CB部分的高度为xm．
∵∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴BC＝BD＝xm．
在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，
∴CE＝2BC＝2x（m）．
∵CE＝CF＝CD+DF，
∴2x＝x+2，
解得：x＝2+．
∴BC＝（2+）（m）．
答：CB部分的高度约为（2+）m，
故答案为：（2+）．
15．解：∵∠PAD＝45°，∠DPA＝90°，
∴∠PDA＝45°，
∴DP＝AP＝4m，
∵∠PBC＝30°，AB＝8米，
∴tan30°＝，
解得：DC＝（3﹣4）m≈1.2（米），
答：警示牌的高CD为1.2米．
故答案为：1.2（米）．
16．解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
17．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝220，
∴，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）＝160．
∵110＜160，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE＝AF＝160．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝60．
∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（110÷20）＝6.5（级）．
18．解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．