华东师大版九年级数学上册 22.1 一元二次方程 教案

22.1
一元二次方程
教学目标：
知识与技能：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0），能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项。
2、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
数学思考及问题解决：
通过观察，归纳一元二次方程的概念。
情感态度：
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
重点
一元二次方程的概念及一般形式
难点：
1．会正确识别一般式中的“项”及“系数”和列一元二次方程。
2．
理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程：
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
情
景
引
入
1．问题一
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
2．问题二
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分　析：对于问题一，设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x＋10)＝900
整理可得x2＋10x－900=0.（1）
对于问题二，设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程5（1＋x）2=7.2,
整理可得5x2＋10x－2.2=0.（2）
学生完成列方程，并整理。
让学生通过列方程，感受到有些问题用一元一次方程不能解决。
自
主
探
究
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
引导、点拨。
主要看方程的形式和未知数的个数以及未知数的最高次数。
教师归纳：（1）它们都是整式方程；（2）只含有一个未知数
（3）
未知数的最高次数是2
先自主探究，再小组合作，分析、总结、交流。
引导学生探究、发现一元二次方程的概念。
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
自
主
探
究
概括总结:
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。
其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。
例
题
讲
解
例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
2．例2
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3）
说明：
一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
教师点拨：判断一个方程是否是一元二次方程的方法：先经过整理变形后看是否同时符合一元二次方程的三个条件。
对于例2，将一元二次方程化为一般形式，就是通过整理变形，化为ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)的形式。其中，二次项系数一般要化为正数。
学生先独立练习，再合作，完成解题过程。
例1让学生明确判断一元二次方程的方法和步骤。
例2让学生明确一元二次方程的一般形式，并确定各项系数的方法。
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
练
习
巩
固
1、判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x+2=5y-3
(2)
x2=4
(3)
3x2-=0
(4)
x2-4=(x+2)
2
(5)
ax2+bx+c=0
2、将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
3、课本19页练习。
组织学生训练，个别学生上台板演，最后师生共同订正。教师巡回辅导，对重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，对于共性问题，做好补救。
学生先独立完成练习后，集体交流。
进一步巩固所学知识。
拓
展
应
用
3．例3
方程（2a—4）x2
—2bx+a=0,
在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
4．例4
已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
例3先由同学讨论，再由教师归纳。
解：当≠2时是一元二次方程；当＝2，≠0时是一元一次方程；
例4分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。
学生先讨论、交流、合作完成，教师最后订正。
明确一元二次方程二次项系数不为零，一元二次方程解的定义。
课堂小结
本节课你有什么收获和困惑？
（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.
（2）一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。
其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。
（3）在将实际问题转化为数学模型的过程中，体会学习一元二次方程的重要性和必要性。
教师对学生的总结进行点评、补充。
学生归纳、总结‘交流体会、反思。
加强教学反思，帮助学生系统整理知识。
教学环节
教学内容
教师活动
学生
活动
设计
意图
课后作业
教材习题22.1第1、2题。
配套练习。
补充作业：（选做）
（1）a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
（2）
关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
（3）一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x1234x2-3x-1-3-3
所以，________第二步：
x3.13.23.33.4x2-3x-1-0.96-0.36
所以，________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．
分层布置作业。
按要求完成。
加深认识，深化提高。
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