沪科版九年级上册21.2.1二次函数的图象和性质课件（28张）

(共28张PPT)
21.2.1二次函数
的图象和性质
学习目标
【学习目标】
1．能够利用描点法作出y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解y＝ax2的图象和性质．
2．经历画二次函数y＝ax2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
【学习重点】
会画y＝ax2的图象，理解其性质．
情景导入
旧知回顾：
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是____________________
特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)其图象是______________.
(2)描点法画出一次函数的步骤，分为______，______，______三个步骤．
(3)我们把形如_____________________的函数叫做二次函数．
一条经过(0，b)的直线．
列表
描点
连线
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
过原点的直线
新知探究
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x2
…
　
　
　
　
　
　
　
　
新知探究
二次函数y＝ax2的图象和性质
例1
画出二次函数y=x2的图象.
9
4
1
0
1
9
4
1.列表
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
2.
描点：根据表中x,y的数值在坐标平面内描点（x,y）
3.
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y
=
x2
的图象．
观察图象,回答问题
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
与同伴交流.
（2）图像有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？
(3)当x<0时,随着x的值增大,函数y的值如何变化？当x>0呢？
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
当x<0
(在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0
(在对称轴的
右侧)时,
y随着x的增大
而增大.
当x=
-2时，y=4
当x=
-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
驶向胜利的彼岸
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
自学互研
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-9　
-4　
-1　
0　
-1　
-4　
-9　
…　
自学互研
?
练一练：画出函数y=-x2的图象.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=
-x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
y
当x<0
(在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大
而增大.
当x>0
(在对称轴
的右侧)时,
y随着
x的增大而减小.
y
当x=
-2时,y=
-4
当x=
-1时,y=
-1
当x=1时,y=
-1
当x=2时,y=
-4
抛物线y=
-x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y=
-x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(
除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
自学互研
解：列表
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
例2
在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
当a>0时，a越大，开口越小.
描点、连线。即得这两个函数的图象
知识模块一　探究二次函数y＝ax2的图象和性质
自学互研
1．在画二次函数y＝x2的图象时，自变量取了多少个值？经历了多少步？
自变量取了7个值，经历了3步，分别是列表、描点、连线．
2．二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，它的对称轴是___轴，顶点(最低点)是______，在对称轴的左侧，抛物线从左到右_____，在对称轴的右侧，抛物线从左到右_____，也就是说，当x＜0时，y随x的增大而____；当x＞0时，y随x的增大而______．
y
(0，0)
下降
上升
减小
增大
3．观察y＝
x2，y＝2x2的图象，回答它们的开口方向，对称轴和顶点坐标．
4．根据函数y＝
x2，y＝2x2图象特点，总结y＝ax2(a＞0)的性质：最高或最低点，图象何时上升、下降．
二次函数y＝ax2(a＞0)的图象及性质为：
自学互研
二次函数y＝ax2(a＞0)
图象的形状
图象的特点
函数的性质
1.
向x轴左右方向无限延伸
自变量x的取值范围是全体实数
2.
是轴对称图形，对称轴是y轴
对于x和－x可得到相同的函数y
3.
在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的
当x＜0时，函数y随x的增大而减小；当x＞0时，函数y随x的增大而增大
4.
顶点就是原点(0，0)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸
当x＝0时，函数取得最小值，y最小值＝0，且y没有最大值，即y≥0
5.观察y＝－x2、y＝－2x2的图象，指出它们与y＝x2、y＝2x2图象的不同之处．
分别填表
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
自学互研
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
如图：
它们的开口向下，顶点是原点．图象向下无限延伸，当x＝0，函数取得最大值，y最大值＝0且y没有最小值即y≤0，在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．当x＜0，y随x增大而增大，当x＞0时，函数y随x的增大而减小．
自学互研
自学互研
6．(1)a＞0与a＜0时，函数y＝ax2图象有什么不同？
(2)|a|大小对开口大小有什么影响？
一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．比较各函数图象可知|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．
自学互研
知识模块二　二次函数y＝ax2的图象和性质的运用
范例
1.在同一平面直角坐标系中，抛物线y＝
x2，y＝－3
x2
，y＝x2的共同特点是(　　)
D
A．关于y轴对称，抛物线开口向上
B．关于y轴对称，y随x的增大而增大
C．关于y轴对称，y随x的增大而减小
D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点
驶向胜利的彼岸
范例
2：已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件的m值；
(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)m＝2或m＝－3；
(2)当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
检测反馈
1．若(－5，2)在抛物线y＝ax2上，则________一定也在该抛物线上(　　)
A
A．(5，2)
B．(－2，－5)
C．(－5，－2)
D．(0，2)
2．函数y＝5x2的图象开口向____，顶点是________，对称轴是_____，当_______时，y随x的增大而增大．
上
(0，0)
y轴
x＞0
3.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
课堂小结
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
驶向胜利的彼岸
由二次函数y=x2和y=-x2知：