苏科版九年级上册数学第一章 一元二次方程 尖子生训练题（Word版 含解析）

《一元二次方程》尖子生训练题
一．选择题
1．关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是（　　）
A．﹣1
B．1
C．3
D．3或﹣1
2．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝9
B．（x﹣2）2＝9
C．（x+2）2＝1
D．（x﹣2）2＝1
3．已知x1，x2是方程x2﹣x+1＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．3
B．5
C．7
D．4
4．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则的值是（　　）
A．
B．
C．﹣3
D．3
6．如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（　　）
A．3cm
B．4cm
C．4.8cm
D．5cm
7．一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则m等于（　　）
A．﹣6
B．﹣1
C．﹣2
D．1
8．受非洲猪瘟及其他因素影响，2019年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（　　）
A．23（1﹣x%）2＝60
B．23（1+x%）2＝60
C．23（1+x2%）＝60
D．23（1+2x%）＝60
9．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣9
B．（x+4）2＝﹣7
C．（x+4）2＝25
D．（x+4）2＝7
10．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　）
A．﹣1
B．0
C．1或﹣1
D．2或0
11．某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为x米，根据题意可列方程为（　　）
A．x（x﹣12）＝200
B．2x+2（x﹣12）＝200
C．x（x+12）＝200
D．2x+2（x+12）＝200
12．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝45
B．x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45
D．x（x+1）＝45
二．填空题
13．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程　
　．
14．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m﹣m2+7的值为　
　．
15．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　
　．
16．已知代数式，不论x取何值，该代数式总为正值，则a的取值范围为　
　．
17．某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为　
　．
18．若（x﹣1）3＝x﹣1，则x＝　
　．
19．若方程x2﹣3x+1＝0的根也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，则a+b+2c＝　
　．
三．解答题
20．解方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）（3x+2）2＝3（3x+2）．
21．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2＝0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值．
22．关于x的方程+2﹣a＝0有实数根，求a的取值范围．
23．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润＝销售价﹣成本价）
24．为提高现代化办学质量，市教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件，经考察，某公司有A、B两种型号的投影设备可供选择．
（1）该公司2018年年初每套A型投影设备的售价为2.5万元，经过连续两次降价，年底每套售价为1.6万元，求每套A型投影设备平均下降率n；
（2）2018年年底市教育局经过招标，决定采购并安装该公司A，B两种型号的投影设备共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型投影设备售价为1.6万元，每套B型投影设备售价为1.5（1﹣n）万元．
①A型投影设备最多可购买多少套？
②安装完成后，若每套A型和B型投影设备一年的维护费分别是购买价的5%和15%，市教育局计划支出10万元进行维护，问该计划支出能否满足一年的维护需要？
25．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）填表：
每月的销售量（件）
每件商品销售利润（元）
降价前
60
80
降价后
　
　
　
　
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元？
参考答案
一．选择题
1．解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，m﹣3≠0，
解得m＝﹣1或m＝3．
m＝3不符合题意，舍去，
所以它的一次项系数﹣m＝1．
故选：B．
2．解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+22＝5+22，
（x+2）2＝9，
故选：A．
3．解：∵x1，x2是方程的两根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝1，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝5﹣2＝3．
故选：A．
4．解：∵△＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，
∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，
则＝＝＝，
故选：B．
6．解：依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x?（x+）＝950，
整理，得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故选：D．
7．解：∵一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴，
解得：m＝﹣2．
故选：C．
8．解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%＝23（1+x%）；
当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%＝23（1+x%）2．
∴23（1+x%）2＝60．
故选：B．
9．解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：D．
10．解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，
解得：k＝﹣1，
故选：A．
11．解：设场地的宽为x米，则长为（x+12）米，
根据题意得：x（x+12）＝200，
故选：C．
12．解：本次比赛共有x个参赛棋手，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝45．
故选：A．
二．填空题（共7小题）
13．解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝81．
故答案为：100（1﹣x）2＝81．
14．解：由题意可知：m2﹣2m﹣6＝0，
∴原式＝﹣（m2﹣2m）+7
＝﹣6+7
＝1．
15．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
16．解：∵分子为1
∴当分母的值不论x取何值，均为正值时，原代数式的值总为正值．
分类讨论：
①若a＜0，则当|x|足够大时，由二次函数图象知ax2+4x+4＜0，故原式为负值，不合题意
②若a＝0，则当x＜﹣1时，原式为负值，不合题意
③若a＞0，由原式为对任意x恒为正值知，ax2+4x+4＞0恒成立，故△＝16﹣16a＜0，得a＞1
综上所述，a＞1．
故答案为：a＞1．
17．解：∵1人患流感，一个人传染x人，
∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；
∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x，
∵经过两轮传染后共有121人患了流感，
∴可列方程为：（1+x）2＝121．
故答案为：（1+x）2＝121．
18．解：移项，得（x﹣1）3﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）[（x﹣1）2﹣1]＝0．
∴（x﹣1）（x﹣1+1）（x﹣1﹣1）＝0．
即x（x﹣1）（x﹣2）＝0．
∴x＝0或x﹣1＝0或x﹣2＝0．
∴x1＝0，x2＝1，x3＝2．
故答案为：0或1或2．
19．解：设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则m2﹣3m+1＝0，所以m2＝3m﹣1．
由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，所以m4+am2+bm+c＝0，
把m2＝3m﹣1代入此式，得（3m﹣1）2+am2+bm+c＝0，整理得（9+a）m2+（﹣6+b）m+c+1＝0．
从而可知：方程x2﹣3x+1＝0的两根也是方程（9+a）x2+（﹣6+b）x+c+1＝0的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（9+a）x2+（﹣6+b）x+c+1＝k（x2﹣3x+1）（其中k为常数），
所以9+a＝k，﹣6+b＝﹣3k，c+1＝k．
所以a＝k﹣9，b＝﹣3k+6，c＝k﹣1，
因此，a+b﹣2c＝k﹣9+（﹣3k+6）+（2k﹣1）＝﹣5．
故答案为﹣5．
三．解答题（共6小题）
20．解：（1）∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0，
则x﹣5＝0或x+3＝0，
解得x＝5或x＝﹣3；
（2）∵（3x+2）2＝3（3x+2）．
∴（3x+2）2﹣3（3x+2）＝0，
∴（3x+2）（3x﹣1）＝0，
则3x+2＝0或3x﹣1＝0，
解得x＝﹣或x＝．
21．解：（1）△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m﹣2）．
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m+8＝9＞0
∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）解法一：
根据根与系数的关系有x1+x2＝2m+1，x1?x2＝m2+m﹣2．
又．
∴．
整理得m2＝4
解得m1＝2，m2＝﹣2
经检验m＝﹣2是增根，舍去．
∴m的值为2．
解法二：
由原方程可得[x﹣（m﹣1）][x﹣（m+2）]＝0
∴x1＝m+2，x2＝m﹣1
又∵
∴
∴m＝2
经检验：m＝2符合题意．
∴m的值为2．
22．解：设，得t2﹣6t+2﹣a＝0，
令f（t）＝t2﹣6t+2﹣a，知其对称轴为直线t＝3．
∵，
可知一开口向上的抛物线与x轴的一个交点在0与1之间（不包括1），
∴f（0）≥0，f（1）＜0，
解得﹣3＜a≤2．
23．解：（1）由图象知，（10，40），（18，24），
设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
把（10，40），（18，24）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+60（10≤x≤18）；
（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，
整理，得：x2﹣40x+375＝0，
解得：x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）．
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．
24．解：（1）依题意得：2.5（1﹣n）2＝1.6，
则（1﹣n）2＝0.64，
所以1﹣n＝±0.8，
所以n1＝0.2＝20%，n2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；
（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，
依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，
整理，得1.6m+96﹣1.2m≤112，
解得m≤40，
即A型健身器材最多可购买40套；
②设总的养护费用是y元，则
y＝1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m），
∴y＝﹣0.1m+14.4．
∵﹣0.1＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴m＝40时，y最小．
∵m＝40时，y最小值＝﹣0.1×40+14.4＝10.4（万元）．
又∵10万元＜10.4万元，
∴该计划支出不能满足养护的需要．
25．解：（1）设每件商品降价x元．
每月的销售量（件）
每件商品销售利润（元）
降价前
60
80
降价后
60+5x
80﹣x
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，解得：x1＝8，x2＝60∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．