2020-2021学年苏科版八年级上学期数学2.5等边三角形的性质与判断专题培优训练卷（word版含答案）

2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5等边三角形的性质与判断专题培优训练卷
一、选择题
1、在中，有下列判断:①若，则为等边三角形;②若，则
为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有(
)
A.1个
B.
2个
C.3个
D.
4个
2、如图，D为等边△ABC内一点，DB=DA，BF=AB，∠1=∠2，则∠BFD的度数为
(
)
A．15?
B．20?
C．
30?
D．45?
3、如图，等边，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(
)
A.
相交
B.
平行
C.
垂直
D.
平行、相交
4、如图，在中，,,，垂足为，延长至，使，若的周长为，，则的周长是(
)
A.
B.
C.
D.
5、如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　）
A．1
B．
C．
D．
6、如图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，
交AE于则；；；；
是等边三角形．其中，正确的有(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
7、如图，点P在边长为1的等边的边AB上，过点P作于点为BC延长线上一点，
当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为(
)
A.
B.
C.
D.
不能确定
8、如图，，均为等边三角形，平分，下列结论:
①,②,
③,④，其中正确的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
9、如图，已知ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，且
A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；
②∠AOB=60?；
③AP=BQ；
④ΔPCQ是等边三角形；⑤PQ?AE．其中正确结论的有（
）个
A．5
B．4
C．3
D．2
10、如图，△ABM与△CDM是两个全等的等边三角形，MA⊥MD．有下列四个结论：（1）∠MBC=25°；
（2）∠ADC+∠ABC=180°；（3）直线MB垂直平分线段CD；（4）四边形ABCD是轴对称图形．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
11、如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD=39°，
那么∠BCE=________
12、如图，等边三角形ABC的边长为1cm，DE分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A′处，在△ABC外部，则阴影部分的周长为________．
13、如图，在等边中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，则________．
14、如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，
则=
°
.
15、如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝　
　°．
16、如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为　
　．
17、已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；
③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是__________
18、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°，
其中正确结论有　　
（填序号）．
19、如图，等边△
中，于，
，点
、分别为
、上的两个定点且
BP=AQ=2cm，在
上有一动点
使
最短，则
的最小值为________
.
20、如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，
那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
三、解答题
21、如图，，都是等边三角形，BE，CD相交于点O．
(1)求证：BE=DC；
(2)求∠BOC的度数．
22、如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
23、已知点为线段上一点，与都是等边三角形.
(1)如图1，连接，则与是否相等?请说明理由;
(2)如图2,与交于点与交于点，试择究的形状.
24、在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
25、如图，在中，，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且，．
(1)求证：ΔDEF是等腰三角形；
(2)当∠A=50?时，求∠DEF的度数；
(3)若，，求的周长．
26、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN．
（1）求证：MN＝BM+NC；
（2）求△AMN的周长为多少？
27、如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
28、如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5等边三角形的性质与判断专题培优训练卷
（答案）
一、选择题
1、在中，有下列判断:①若，则为等边三角形;②若，则
为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有(
D
)
A.1个
B.
2个
C.3个
D.
4个
2、如图，D为等边△ABC内一点，DB=DA，BF=AB，∠1=∠2，则∠BFD的度数为
(
C
)
A．15?
B．20?
C．
30?
D．45?
3、如图，等边，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(
)
A.
相交
B.
平行
C.
垂直
D.
平行、相交
解：，，是等边三角形，，
当点C在线段OB上时，如图1，
是等边三角形，，，，
在和中，
≌，，
，；
当点C在OB的延长线上时，如图2，同的方法得出，
是等边三角形，，，，
在和中，
≌，，
，．
4、如图，在中，,,，垂足为，延长至，使，若的周长为，，则的周长是(
D
)
A.
B.
C.
D.
5、如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（　　）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AFAD，CECF，
∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF，CF，CE，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
故选：C．
6、如图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，
交AE于则；；；；
是等边三角形．其中，正确的有(
)
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
解：，，
在和中，
≌，
，，正确；
，
，
，错误；
在和中，
≌，
，正确；，正确；?，
，是等边三角形，正确；
故有正确．
7、如图，点P在边长为1的等边的边AB上，过点P作于点为BC延长线上一点，
当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为(
)
A.
B.
C.
D.
不能确定
解：过P作交AC于F，
，是等边三角形，，是等边三角形，
，
，，
，，．
在和中，
≌，，
，，，
，．
8、如图，，均为等边三角形，平分，下列结论:
①,②,
③,④，其中正确的个数为(
A
)
A.4
B.3
C.2
D.1
9、如图，已知ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，且
A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；
②∠AOB=60?；
③AP=BQ；
④ΔPCQ是等边三角形；⑤PQ?AE．其中正确结论的有（
）个
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质对各结论逐项分析即可判定．
【解析】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形。
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，则①正确；
②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等边三角形
∴∠EDC=60°=∠BCD
∴BC//DE
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+
∠DEO=∠DEC=60°，②正确；
③∵∠DCP=60°=∠ECQ
在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ
∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等边三角形，③正确；
④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正确；
⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正确．故答案为A．
10、如图，△ABM与△CDM是两个全等的等边三角形，MA⊥MD．有下列四个结论：（1）∠MBC=25°；
（2）∠ADC+∠ABC=180°；（3）直线MB垂直平分线段CD；（4）四边形ABCD是轴对称图形．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】
(1)∵△ABM≌△CDM，△ABM、△CDM都是等边三角形，
∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°，AB=BM=AM=CD=CM=DM，
又∵MA⊥MD，∴∠AMD=90°，∴∠BMC=360°?60°?60?90°=150°，
又∵BM=CM，∴∠MBC=∠MCB=15°；
(2)∵AM⊥DM，∴∠AMD=90°，又∵AM=DM，∴∠MDA=∠MAD=45°,∴∠ADC=45°+60°=105°，
∠ABC=60°+15°=75°，∴∠ADC+∠ABC=180°；
(3)延长BM交CD于N，∵∠NMC是△MBC的外角，∴∠NMC=15°+15°=30°，
∴BM所在的直线是△CDM的角平分线，
又∵CM=DM，∴BM所在的直线垂直平分CD；
(4)根据(2)同理可求∠DAB=105°，∠BCD=75°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，
又∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴四边形ABCD是轴对称图形．
故(2)(3)(4)正确．故选C.
二、填空题
11、如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD=39°，
那么∠BCE=__39?______
12、如图，等边三角形ABC的边长为1cm，DE分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A′处，在△ABC外部，则阴影部分的周长为___3______．
13、如图，在等边中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，则________．
解：是等边三角形，，，
在?和中，
,≌，，
而，所以，
14、如图，已知是等边三角形，点在同一直线上，且，
则=
15
°
.
15、如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝　
　°．
【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，
∵∠3＝∠1＝40°，∴∠4＝60°+40°＝100°，
∵l1∥l2，∴∠2＝∠4＝100°．
故答案为：100．
16、如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为　
　．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形，∴PN＝PM＝MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm
故答案为：4cm．
17、已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；
③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是__________
【解答】解：①如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD∠BAC120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PB，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正确；
本题正确的结论有：①③④
18、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°，
其中正确结论有　　
（填序号）．
【答案】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，①正确，
∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠DAC，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，②正确，
∵△CQB≌△CPA，∴AP＝BQ③正确，
∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，
∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；
∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，
同理可得出∠AOE＝120°，∴∠DOE＝60°，故⑤正确；
∴正确结论有：①②③⑤；
故答案为：①②③⑤．
19、如图，等边△
中，于，
，点
、分别为
、上的两个定点且
BP=AQ=2cm，在
上有一动点
使
最短，则
的最小值为________
.
解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，∴AD=DC=3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm，∴QD=DQ′=1.5cm，∴CQ′=BP=2cm，∴AP=AQ′=5cm，
∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=5cm，∴PE+QE的最小值为：5cm．
故答案为：5．
20、如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，
那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
【解析】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,
△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等边三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案为:2.
三、解答题
21、如图，，都是等边三角形，BE，CD相交于点O．
(1)求证：BE=DC；
(2)求∠BOC的度数．
【答案】解：证明：，都是等边三角形，
，，．
，即，
在和中，≌，；
由知≌，．
是等边三角形，．
．．
22、如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
【解析】△PAE的形状为等边三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，∴PA＝PCCD，∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE＝PCCD，∠DPE＝2∠DCB，
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，
∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，∴△PAE是等边三角形．
23、已知点为线段上一点，与都是等边三角形.
(1)如图1，连接，则与是否相等?请说明理由;
(2)如图2,与交于点与交于点，试择究的形状.
答案：(1)
(2)是等边三角形
24、在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
【解析】（1）∵△ABC为等边三角形,
∴∠B＝60°,
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ,
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，可得∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∴△APM为等边三角形,
∴PA＝PM．
25、如图，在中，，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且，．
(1)求证：ΔDEF是等腰三角形；
(2)当∠A=50?时，求∠DEF的度数；
(3)若，，求的周长．
证明：，，在和中，
≌，，为等腰三角形；
解：由知≌，，，
又，，，，
即，
，
．
解：由知≌，，，
，，，
，，，为等边三角形，
，
又，为等边三角形，
，的周长．
26、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN．
（1）求证：MN＝BM+NC；
（2）求△AMN的周长为多少？
【答案】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，，∴△BDF≌△CND（SAS），∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°，
在△DMN和△DMF中，∵，
∴△DMN≌△DMF（SAS）,∴MN＝MF＝MB+BF＝MB+CN；
（2）由（1）证得MN＝MB+CN，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝6．
27、如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由：延长BD交AC于F．
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；
（2）不发生变化，
理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中∴△BED≌△AEC，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；
（3）能．
理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中中∴△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）
＝180°﹣（60°+60°）＝60°，
即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．
28、如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．