(共22张PPT)
第三章
圆
3.4
第2课时
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
知识回顾
问题1
什么是圆周角？
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
①
角的顶点在圆上.
●O
B
A
C
D
E
以A为顶点：∠BAE,∠DAE,∠BAE
以B为顶点：∠ABC
以C为顶点：∠BCD,∠ECD,∠BCE
以D为顶点：∠ADC
以E为顶点：∠AEC
②
角的两边都与圆相交.
问题2
什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即
∠ABC
=
∠AOC.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
情景引入
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？
获取新知
知识点一：圆周角定理的推论2
推论2：直径所对的圆周角是直角.
90°的圆周角所对的弦是直径
理由：
1.直径所对的半圆所对的圆心角是180°；
2.圆心角是180°所对应的弦是直径；
3.圆周角等于所对弧上的圆心角的一半
问题
你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到
两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
例题讲解
例1
如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求AB、BC的长．
解：(1)∵AC是直径，
∴
∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵
AC是直径,
∴
∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
∴AB=BC.
例2
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.
下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么?
解：题图(2)是半圆形．
∵90°的圆周角所对的弦是直径．
获取新知
知识点二：圆周角定理的推论3
四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的
四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆.
(1)如图1，A，B，C，D是⊙O上的四点，
AC为⊙O的直径，
∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
图1
圆周角定理的推论2和四边形的内角和就
可说明：∠BAD与∠BCD互补
图2
(2)如图2，点C的位置发生了变化，
∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？
为什么？
推论3：圆的内接四边的对角互补
几何语言：∵ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°,
∠B+∠D=180°
下面我们对它进行证明.
已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
求证：∠BCD+∠BAD=
180°，
∠ABC+∠ADC=
180°.
证明：如图，连接OB，OD.
∵BAD与BCD所对的圆心角与之和为360°，
∠BCD和∠BAD分别为BAD和BCD所对的
圆周角，
∴∠BCD+∠BAD=
180°.
同理可证，∠ABC+∠ADC=180°.
︵
︵
︵
︵
例题讲解
例3
如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
随堂演练
1.
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．75°
B．60°
C.
45°
D．30°
D
2.
如图，半径为5的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A的优弧上一点，∠OBC＝30°，则点C的坐标为（ ）
A
3.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
A．20°
B．40°
C．80°
D．100°
C
4.如图，AB是⊙O的直径,
C
、D是圆上的两点,
∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
A
B
O
C
D
5．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
，则∠D=
.
90?
6.
如图所示,四边形ABCD内接于☉O,
∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.
求证:(1)AD=CD;
(2)AB是☉O的直径.
证明:(1)∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠D=180°-∠B=130°.又∵∠ACD=25°,
∴∠DAC=180°-∠D-∠ACD=180°-130°-25°=25°,
∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD.(2)∵∠BAC=∠BAD-∠DAC=65°-25°=40°,∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-40°=90°,
∴AB是☉O的直径.
7.如图，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明.
解：(1)AB＝AC.
证明如下：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.
∵BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC.
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？
(2)当△ABC为正三角形时，
E是AC的中点．
理由如下：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.
∵△ABC为正三角形，
∴AE＝EC，
即E是AC的中点．
课堂小结
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径(共20张PPT)
第三章
圆
3.4
第1课时
圆周角和圆心角的关系
情景导入
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？
获取新知
图中的三个角∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点都在圆上两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角
如图,
∠
AOB
=
80°.
(1)请你画出几个AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
(2
)这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是
怎样发现的？与同伴进行交流.
在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？
︵
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
∠ABC=
∠AOC
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
A
B
C
●O
●O
A
B
C
A
B
C
●O
圆心在圆周角的边上
圆心在圆周角内
圆心在圆周角外
解:∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即∠ABC
=
∠AOC.
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
B
C
●O
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
∠AOD,
∠CBD
=
∠COD,
∴
∠ABC
=
∠AOC.
●O
A
B
C
D
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
∴∠ABC
=
∠AOC.
D
A
B
C
●
O
在如图的射门游戏中，当球员在B
，
D，E处射门时，
所
形成的三个张角∠
ABC，
∠
ADC，
∠
AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
圆周角定理推论
同弧所对的圆周角相等.
三个圆周角都等于AC所对的圆心角∠AOC的一半，所以3个圆周角相等
︵
例题讲解
例
如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系．
解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝
∠AOC＝75°.
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，
∴∠ADC＝
∠α＝105°.
∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC相等．
又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，
∴∠ABC和∠ADC互补．
随堂演练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC
=70°，则∠AOC的度数等于（
）
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
A
O
C
B
A
2.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（
）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
A
3.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35?.
(1)∠BOC=
?，理由
是
;
(2)∠BDC=
?，理由是
.
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
4.
将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB＝_____．
25°
5.
在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+100）°和（5x﹣30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的大小．
解：根据题意得2x+100＝2（5x﹣30），
解得x＝20，
所以（2x+100）°＝（2×20+100）°＝140°，
（5x﹣30）°＝（5×20﹣30）°＝70°．
答：这条弧所对的圆心角为140°，圆周角为70°．
6.如图所示,已知四边形ABCD的四个顶点均在☉O上,AB=BC,BD交AC于点E.求证:DB平分∠ADC.
证明:∵AB=BC,
∴AB=BC,
∴∠ADB=∠BDC,
即DB平分∠ADC.
︵
︵
7.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外）
，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论1
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等；
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角
