二次函数y=ax2+k的图象与性质
一、选择题
1.抛物线y=-x2+2的对称轴为
( )
A.直线x=2
B.直线x=0
C.直线y=2
D.直线y=0
2.抛物线y=4x2-3的顶点坐标是
( )
A.(3,0)
B.(-3,0)
C.(0,3)
D.(0,-3)
3.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=2x2+1共有的性质是
( )
A.开口向上
B.对称轴都是y轴
C.都有最高点
D.顶点都是原点
4.下列函数中,当x<0时,y随着x的增大而增大的是
( )
A.y=-x+1
B.y=x2-1
C.y=
D.y=-x2+1
5.将二次函数y=x2的图象向下平移3个单位,则平移后的图象对应的二次函数的关系式为
( )
A.y=x2-3
B.y=x2+3
C.y=(x-3)2
D.y=(x+3)2
6.关于二次函数y=2x2+3,下列说法正确的是
( )
A.它的图象开口向下
B.当x<-1时,y随x的增大而减小
C.它的图象的顶点坐标是(2,3)
D.当x=0时,y有最大值是3
7.与抛物线y=-x2-1的顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式为
( )
A.y=-x2
B.y=x2-1
C.y=-x2+1
D.y=x2+1
8.点P1(-2,y1),P2(2,y2),P3(5,y3)均在函数y=-2x2+1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是
( )
A.y3>y2>y1
B.y3>y1>y2
C.y3>y1=y2
D.y1=y2>y3
9.函数y=ax2-1与y=ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
( )
图1
图2
10.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=(x>0)的图象如图2所示,若两个函数图象上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令ω=x1+x2+x3,则ω的值为
( )
A.1
B.m
C.m2
D.
二、填空题
11.抛物线y=-3x2+7的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,顶点是最 点,所以函数有最 值,为 .?
12.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为 ,与x轴的交点坐标为 .?
13.抛物线y=x2+1关于x轴对称的抛物线的函数关系式为 .?
14.当m= 时,抛物线y=(m+1)+9的开口向下,对称轴是 ,在对称轴左侧,y随x的增大而 ,当x>0时,y随x的增大而 .
15.若抛物线y=2+m-5的顶点在x轴的下方,则m= .若二次函数y=(k+1)x2+k2-k的图象的顶点坐标为(0,2),则k= .?
16.如图3,二次函数y=ax2+c的图象的顶点为B,若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A,C也在该抛物线上,则ac的值是 .?
图3
三、解答题
17.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=-x2-1的图象.
(1)从开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点;
(2)说出两个函数的性质的相同点与不同点.
18.已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,且图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3.
(1)求a,n的值;
(2)指出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)若抛物线上存在两点A-,y1,B,y2,比较y1,y2的大小.
19.已知抛物线y=x2,把它向下平移,得到的抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形,则原抛物线应向下平移几个单位?
答案
1.
B
2.
D
3.
B
4.
D
5.
A
6.
B
7.
B
8.
D
9.
B
10.
D
11.
下 y轴(或直线x=0) (0,7)
高 大 7
12.
(0,-1) (0.5,0),(-0.5,0)
13.
y=-x2-1
14.
-2 y轴(或直线x=0) 增大 减小
15.
-1 2
16.
-2
17.解:如图.
(1)相同点:图象都是抛物线,且形状相同,对称轴都是y轴.
不同点:抛物线y=x2+1的开口向上,顶点坐标是(0,1);抛物线y=-x2-1的开口向下,顶点坐标是(0,-1).
(2)两个函数的性质的相同点:图象的开口程度相同.不同点:y=x2+1,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;y=-x2-1,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
18.解:(1)∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的开口大小和开口方向相同,∴a=-2.
∵抛物线y=ax2+n上的点到x轴最近的距离为3,
∴n=-3.
(2)抛物线为y=-2x2-3.
抛物线的开口向下,对称轴是直线x=0(或y轴),顶点坐标是(0,-3).
(3)点A-,y1关于y轴的对称点的坐标为,y1.
∵-2<0,∴在对称轴右侧,y随x的增大而减小.又∵<,∴y1>y2.
19.解:设原抛物线向下平移b个单位,得到的抛物线的函数关系式为y=x2-b,
则A(-,0),B(,0),C(0,-b).
∵△ABC是直角三角形,
∴OB=OC=OA,即=b,解得b=2(b=0舍去),∴若△ABC是直角三角形,则原抛物线应向下平移2个单位.求二次函数的表达式
一、选择题
1.若某抛物线的形状、开口方向与抛物线y=x2-4x+3相同,且顶点坐标为(-2,1),则该抛物线所对应的函数表达式为
( )
A.y=(x-2)2+1
B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1
D.y=-(x+2)2+1
2.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),则这个二次函数的表达式为
( )
A.y=-6x2+3x+4
B.y=-2x2+3x-4
C.y=x2+2x-4
D.y=2x2+3x-4
3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0),其形状,开口方向与抛物线y=-2x2相同,则抛物线y=ax2+bx+c的函数表达式为
( )
A.y=-2x2-x+3
B.y=-2x2+4x+5
C.y=-2x2+4x+8
D.y=-2x2+4x+6
4.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表,则当x=1时,y的值为
( )
x
…
-7
-6
-5
-4
-3
-2
…
y
…
-27
-13
-3
3
5
3
…
A.5
B.-3
C.-13
D.-27
5.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),并与y轴正半轴交于点C,且OC=2,则这条抛物线的函数表达式为
( )
A.y=x2-x-2
B.y=-x2+x+2
C.y=x2+x+2
D.y=-x2-x-2
6.如图1所示,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数y=-(x<0)的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为
( )
图1
A.y=x2-x-2
B.y=x2-x+2
C.y=x2+x-2
D.y=x2+x+2
二、填空题
7.若抛物线开口向下,且与y轴交于点(0,1),写出一个满足条件的抛物线的函数表达式:
.?
8.二次函数的图象经过点(4,-3),且当x=3时,有最大值-1,则该二次函数的表达式为 .?
9.二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
5
…
y
…
7
0
-5
-8
-9
7
…
则此二次函数的表达式为 .?
10.如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A在x轴负半轴上,点B在x轴正半轴上,与y轴交于点C,且tan∠ACO=,CO=BO,AB=3,则这条抛物线所对应的函数表达式是 .?
图2
11.已知抛物线过点A(3,0),B(-1,0),并与y轴交于点C,且OC=3,则这条抛物线的函数表达式为 .?
三、解答题
12.已知一个二次函数的图象经过A(1,6),B(-3,6),C(0,3)三点,求这个二次函数的表达式,并指出它的图象的开口方向和顶点坐标.
13.如图3,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A,且经过点B.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式;
(2)若点C在该抛物线上,求m的值.
图3
14.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点(1,0),0,.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=-x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后抛物线所对应的函数表达式.
15.已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).
(1)求该函数的表达式;
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A,B两点随图象移至A',B',求△OA'B'的面积.
16.如图4,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的函数表达式;
(2)记抛物线的顶点为D,求△BCD的面积;
(3)若直线y=-x向上平移m个单位所得的直线与抛物线上BDC段(包括端点B,C)有两个交点,求m的取值范围.
图4
答案
1.
C
2.
D
3.
D
4.
D
5.
B
6.
A
7.
y=-x2+1(答案不唯一)
8.
y=-2(x-3)2-1
9.
y=x2-2x-8
10.
y=x2-x-2
11.
y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3
12.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.根据题意,得解得
∴所求二次函数的表达式为y=x2+2x+3.
∵a>0,
∴函数图象开口向上.
∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴顶点坐标是(-1,2).
13.解:(1)由直线y=-x-2,
令x=0,则y=-2,
∴点B的坐标为(0,-2).
令y=0,则x=-2,
∴点A的坐标为(-2,0).
设抛物线所对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k.
∵抛物线的顶点为A,且经过点B,
∴y=a(x+2)2,
∴-2=4a,解得a=-,∴抛物线所对应的函数表达式为y=-(x+2)2,即y=-x2-2x-2.
(2)方法1:∵点C在抛物线y=-(x+2)2上,
∴-(m+2)2=-,(m+2)2=9,
解得m1=1,m2=-5.
方法2:∵点C在抛物线y=-x2-2x-2上,
∴-m2-2m-2=-,
∴m2+4m-5=0,
解得m1=1,m2=-5.
即m的值为1或-5.
14.解:(1)把(1,0)和0,分别代入y=-x2+bx+c,
得解得
∴抛物线的函数表达式为y=-x2-x+.
(2)∵y=-x2-x+=-(x+1)2+2,
∴顶点坐标为(-1,2),
∴将抛物线y=-x2-x+平移,使其顶点恰好落在原点的一种平移方法:先向右平移1个单位,再向下平移2个单位(答案不唯一),平移后抛物线所对应的的函数表达式为y=-x2.
15.解:(1)设该函数的表达式为y=a(x+1)2+4.
将B(2,-5)代入表达式,得a=-1,
∴该函数的表达式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.
(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点坐标为(0,3);
令y=0,则-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,
故抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0).
∴抛物线与坐标轴的交点坐标为(0,3),(-3,0),(1,0).
(3)如图,设抛物线y=-x2-2x+3与x轴的交点为M,N(点M在点N的左侧),由(2)知M(-3,0),N(1,0).
当函数图象向右平移经过原点时,点M与点O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,
故A'(2,4),B'(5,-5).
过点A'作A'E⊥y轴于点E,过点B'作B'F⊥y轴于点F,
则S△OA'B'=S梯形EA'B'F-S△A'EO-S△B'FO=×(2+5)×9-×2×4-×5×5=15.
16.解:(1)由题意,得解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2-x+2.
(2)如图,∵y=x2-x+2=(x-1)2+,∴顶点坐标为1,.
∵由已知易得直线BC的函数表达式为y=-x+4,
∴对称轴与直线BC的交点H的坐标为(1,3),
∴S△BCD=S△BDH+S△DHC=××3+××1=3.
(3)由消去y,得x2-x+4-2m=0.
由题意,得Δ>0,即1-4(4-2m)>0,∴m>;
当直线y=-x+m经过点C时,m=3;
当直线y=-x+m经过点B时,m=5.
∵直线y=-x向上平移m个单位所得的直线与抛物线上BDC段(包括端点B,C)有两个交点,∴一、选择题
1.二次函数y=(x+1)2-2的最小值是
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
2.已知二次函数y=a(x-1)2+b(a≠0)有最大值2,则a,b的大小关系为
( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.不能确定
3.向空中发射一枚炮弹,第x秒时的高度为y米,且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是
( )
A.第8秒
B.第10秒
C.第12秒
D.第15秒
4.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为( )
A.m≥2
B.0≤m≤2
C.2≤m≤4
D.m≤4
5.如图1,在△ABC中,∠B=90°,tanC=,AB=6
cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以
1
cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是
( )
A.18
cm2
B.12
cm2
C.9
cm2
D.3
cm2
6.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点(-1,-3),则代数式mn+1有
( )
A.最小值-3
B.最小值3
C.最大值-3
D.最大值3
图1
图2
7.如图2,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=12,AD=8,矩形EFGH的边EF在BC上,点G,H分别在AC,AB上运动,当矩形EFGH的面积最大时,EF的长是
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题
8.已知二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,2),则函数y的最小值是 .?
9.直角三角形的一条直角边长为x
cm,两条直角边长的和为14
cm,则此三角形的面积y与x之间的函数关系式为 (不用体现自变量的取值范围);当x= cm时,直角三角形有最大面积,最大面积为 cm2.?
10.王大伯决定销售一批风筝,经市场调研发现,蝙蝠型风筝进价为每个10元,当售价为每个12元时,每日销售量为180个,若售价每个每提高1元,每日销售量就会减少10个,当销售单价是
元/个时,王大伯获得的利润最大.?
11.如图3,在正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在BC上运动(不与点B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为 .
图3
三、解答题
12.某商场以每件50元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=-x+100.
(1)求商场销售这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围).
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到700元?如果能,求出此时的销售价格;如果不能,请说明理由.
13.某广告公司要设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)设计费能达到30000元吗?为什么?
(3)当x是多少时,设计费最多?最多是多少元?
14.如图4,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x-4与x轴交于点A,B,与y轴交于
点C.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)若M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMC的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
图4
15.某企业生产并销售某种产品.假设销售量与产量相等,如图5中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式;
(3)当该产品的产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
图5
答案
1.
A
2.
B
3.
C
4.
C
5.
C
6.
A
7.
B .
8.
-2
9.
y=-x2+7x 7
10.
20
11.
4
12.解:(1)y=(x-50)(-x+100)=-x2+150x-5000.
(2)不能.理由:∵y=-x2+150x-5000=-(x-75)2+625,
∴当x=75时,获得的利润最大,最大利润为625元.
∵700>625,∴销售利润不能达到700元.
13.解:(1)∵矩形的一边长为x米,周长为16米,∴另一边长为(8-x)米,
∴S=x(8-x)=-x2+8x(0(2)能.
理由:∵设计费为每平方米2000元,
∴当设计费为30000元时,矩形面积为30000÷2000=15(米2),
即-x2+8x=15,解得x1=3,x2=5,∴设计费能达到30000元.
(3)∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,
∴当x=4时,S取得最大值,为16,∴16×2000=32000.
故当x=4时,设计费最多,最多是32000元.
14.解:(1)A(-4,0),B(2,0),C(0,-4).
(2)过点M作MN⊥x轴于点N,
由题知Mm,m2+m-4,∴MN=-m2-m+4,ON=-m,AN=4+m,
∴S=S△AMN+S梯形MNOC-S△AOC=(4+m)×-m2-m+4+-m2-m+4+4×(-m)-×4×4
=-m2-4m=-(m+2)2+4(-4∴当m=-2时,S最大值=4.
15.解:(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130
kg时,该产品每千克的生产成本与销售价相等,都为42元.
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1.
∵y1=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),
∴解得
∴线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=-0.2x+60(0≤x≤90).
(3)设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+b2.
∵该直线经过点(0,120)与(130,42),
∴解得
∴这个一次函数的关系式为y2=-0.6x+120(0≤x≤130).
设产量为x
kg时,获得的利润为W元.
①当0≤x<90时,W=x[(-0.6x+120)-(-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250,
∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;
②当90≤x≤130时,W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(x-65)2+2535.
由-0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,
∴当x=90时,W有最大值,W最大值=-0.6×(90-65)2+2535=2160.
∵2160<2250,∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250.
因此,当该产品的产量为75
kg时,获得的利润最大,最大利润是2250元.26.2.1
二次函数y=ax2的图象与性质
一、选择题
1.二次函数y=ax2(a<0)的图象一定经过
( )
A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
2.抛物线y=x2不具有的性质是
( )
A.对称轴是y轴
B.开口向上
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.有最高点
3.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s=gt2(g=9.8
m/s),则s与t之间的函数图象大致是
( )
图1
4.下列关于抛物线y=x2,y=x2,y=-x2的说法:①都是开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以y轴为对称轴;④都关于x轴对称.其中正确的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.若抛物线y=m的开口向下,则m的值为
( )
A.-1
B.-2
C.1
D.1或-2
6.下列说法错误的是
( )
A.二次函数y=3x2中,当x>0时,y随x的增大而增大
B.二次函数y=-6x2中,当x=0时,y有最大值0
C.函数y=ax2(a≠0),a越大函数图象开口越小,a越小函数图象开口越大
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2的顶点一定是坐标原点
7.已知二次函数y=x2的图象如图2所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2,则AB的长度为
( )
图2
A.2
B.4
C.6
D.8
8.已知点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)在抛物线y=x2上,则y1,y2,y3的大小关系是
( )
A.y1B.y3C.y1D.y29
二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
( )
图3
二、填空题
10.请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴: .?
11.二次函数y=(k+1)x2的图象如图4所示,则k的取值范围为 .?
图4
12.一条抛物线与二次函数y=x2的图象的开口方向相反,开口大小一致,顶点坐标相同,那么这条抛物线所对应的函数关系式是 .?
13.有下列函数:①y=2x-1;②y=;③y=-x2.从中任取一个函数,取出的函数符合条件“当x>1时,y随x的增大而减小”的概率是 .?
14.已知函数y=k是关于x的二次函数,当k= 时,图象开口向上;当k=
时,图象开口向下.?
15.如图5,正方形的边长为4,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是 .?
图5
16.已知E(a,h1),F(b,h2)是二次函数y=-x2的图象上不同的两个点,当h1=h2时,a与b的关系是 .?
17.已知二次函数y甲=mx2,y乙=nx2,对任意给定的x值都有y甲≥y乙,则关于m,n的关系可能是
(填序号).?
①m0,n<0;③m<0,n>0;④m>n>0.
三、解答题
18.已知正方形的周长为C(cm),面积为S(cm2),
(1)求S与C之间的二次函数关系式(写出自变量的取值范围);
(2)画出它的图象;
(3)根据图象,求出C取何值时,S=4
cm2.
19.先画出函数图象,然后结合图象回答下列问题:
(1)函数y=3x2的最小值是多少?
(2)函数y=-3x2的最大值是多少?
(3)怎样判断二次函数y=ax2是有最大值还是有最小值?
20.已知函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1,b).
(1)求a和b的值;
(2)写出抛物线y=ax2的函数关系式,并求顶点坐标和对称轴;
(3)当x取何值时,抛物线y=ax2中的y随x的增大而增大?
(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点坐标及以交点与抛物线顶点为顶点的三角形的面积.
答案
1.
B
2.
D
3.
B
4.
B
5.
B
6.
C
7.
B.
8.
D
9.
D.
10.
y=x2(答案不唯一)
11.
k>-1
12.
y=-x2
13.
.
14.
4 -2
15.
8
16.
a=-b
17.
②④
18.解:(1)∵正方形的周长为C
cm,∴正方形的边长为
cm,∴正方形的面积S=(C>0).
(2)作图如图所示.
(3)当S=4
cm2时,即=4,解得C=8
cm.
19.解:作图象略.
(1)0.
(2)0.
(3)当a>0时,y=ax2有最小值;当a<0时,y=ax2有最大值.
20.解:(1)将x=1,y=b代入y=2x-3,
得b=-1,所以交点坐标是(1,-1).
将x=1,y=-1代入y=ax2,得a=-1,所以a=-1,b=-1.
(2)抛物线的函数关系式为y=-x2,顶点坐标为(0,0),对称轴为直线x=0(即y轴).
(3)当x<0时,y随x的增大而增大.
(4)设直线y=-2与抛物线y=-x2相交于A,B两点(点A在点B左侧),抛物线的顶点为O(0,0).
由得
所以A(-,-2),B(,-2),所以AB=|-(-)|=2,所以S△AOB=×2×2=2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
一、选择题
1.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为
( )
A.y=(x-4)2+7
B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7
D.y=(x+4)2-25
2.
抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是
( )
A.直线x=2
B.直线x=-2
C.直线x=1
D.直线x=-1
3.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为
( )
A.(1,1)
B.(-1,1)
C.(1,3)
D.(-1,3)
4.关于抛物线y=-x2-2x-3,下列说法错误的是
( )
A.开口方向向下
B.对称轴是直线x=-1
C.当x>-1时,y随x的增大而增大
D.顶点坐标为(-1,-2)
5.将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的函数关系式是
( )
A.y=(x-4)2-6
B.y=(x-1)2-3
C.y=(x-2)2-2
D.y=(x-4)2-2
6.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是
( )
图1
7.抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法中,错误的是
( )
A.抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)
B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)
C.抛物线的对称轴是直线x=0
D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的
二、填空题
8.抛物线y=-x2-2x-6的开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴为 ,当x
时,y随x的增大而增大,当x 时,y随x的增大而减小.
9.二次函数y=2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x=1,则常数b的值为 .?
10.图2是二次函数y=ax2-5x+4-a2的图象,那么a的值是 .?
11.已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1,当x<时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 .?
图2
图3
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示,若M=4a+2b,N=a-b,则M,N的大小关系为M N.(填“>”“=”或“<”)?
三、解答题
13.已知抛物线y=-x2+2x+2.
(1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标是 ; ?
(2)选取适当的数据填入下表,并在图4中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线;
x
…
…
y
…
…
图4
(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.
14.已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)求函数图象的对称轴、顶点坐标;
(2)求图象与x轴的交点坐标,与y轴的交点坐标;
(3)当x为何值时,y随x的增大而增大?
(4)x为何值时,y≥0?
15.已知抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,3),平移抛物线y得到抛物线y1,抛物线y1的顶点为B(-1,-4).请说明平移的过程,并写出抛物线y1的函数关系式.
16.如图5所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
(1)求m的值;
(2)求点B的坐标;
(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
图5
17.如果二次函数的二次项系数为1,那么此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,求得到的图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
答案
1.
B
2.
C
3.
A
4.
C
5.
D.
6.
C
7.
C
8.
下 (-2,-4) 直线x=-2 <-2 >-2
9.
-4
10.
-2
11.
012.
<
13.解:(1)直线x=1 (1,3)
(2)答案不唯一,如:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
-1
2
3
2
-1
…
画图如图所示.
(3)因为在对称轴直线x=1的右侧,y随x的增大而减小,所以由x1>x2>1,可得y114.解:(1)∵y=2x2-4x-6,∴y=2(x-1)2-8,
∴该函数图象的对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,-8).
(2)当y=0时,0=2x2-4x-6,可得x1=-1,x2=3,
当x=0时,y=-6,
∴图象与x轴的交点坐标是(-1,0),(3,0),与y轴的交点坐标是(0,-6).
(3)∵a=2>0,函数图象的对称轴为直线x=1,
∴当x>1时,y随x的增大而增大.
(4)当x≤-1或x≥3时,y≥0.
15.解:∵抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,3),
则将A(0,3)代入y=-x2+2x+C,得c=3,
∴y=-x2+2x+3,=-(x2-2x+1)+1+3,=-(x-1)2+4,
∴抛物线y的顶点坐标为(1,4).
∵抛物线y1的顶点为B(-1,-4),
∴平移的过程不唯一,如先向左平移2个单位,再向下平移8个单位,
抛物线y1的函数关系式为y=-(x+1)2-4.
16.解:(1)将(3,0)代入二次函数关系式,
得-32+2×3+m=0,解得m=3.
(2)∵m=3,∴二次函数的关系式为y=-x2+2x+3.
令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1.∴点B的坐标为(-1,0).
(3)∵S△ABD=S△ABC,点D在第一象限,
∴点C,D关于函数图象的对称轴对称.
由二次函数关系式可得其图象的对称轴为直线x=1,点C的坐标为(0,3),
∴点D的坐标为(2,3).
17.解:(1)由题意,得y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴特征数为[-2,1]的函数图象的顶点坐标为(1,0).
(2)①特征数为[4,-1]的函数为y=x2+4x-1,即y=(x+2)2-5.
∵函数图象先向右平移1个单位,再向上平移1个单位,
∴平移后的图象对应的函数关系式为y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3,
∴得到的图象对应的函数的特征数为[2,-3].
②特征数为[2,3]的函数为y=x2+2x+3,即y=(x+1)2+2,
特征数为[3,4]的函数为y=x2+3x+4,即y=+,
∴平移过程不唯一,如先向左平移个单位,再向下平移个单位.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
一、选择题
1.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是
( )
图1
2.在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2的是
( )
A.y=(x+2)2
B.y=2x2-2
C.y=-2x2-2
D.y=2(x-2)2
3.关于二次函数y=-(x-2)2的图象,下列说法正确的是
( )
A.是中心对称图形
B.开口向上
C.对称轴是直线x=-2
D.顶点是(2,0)
4.把一条抛物线向右平移3个单位后所得的抛物线的函数关系式为y=(x-1)2,则此抛物线的函数关系式为
( )
A.y=x2-2
B.y=x2+2
C.y=(x-2)2
D.y=(x+2)2
5.顶点坐标为(-3,0),开口方向、形状与二次函数y=x2的图象相同的抛物线是
( )
A.y=(x-3)2
B.y=(x+3)2
C.y=-(x-3)2
D.y=-(x+3)2
6.平行于x轴的直线与抛物线y=a(x-2)2的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标为( )
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(5,2)
D.(-1,4)
7.关于x的两个函数y=(x+h)2和y=h(x-1)(h≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
图2
二、填空题
8.二次函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将y=2x2的图象向 平移 个单位得到的,它的对称轴是直线 ,顶点坐标是 .?
9.已知点A(2,y1),B(a,y2)在函数y=-(x-1)2的图象上,其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1
y2
(填“>”“<”或“=”).?
10.二次函数y=-5(x+m)2中,当x<-5时,y随x的增大而增大,当x>-5时,y随x的增大而减小,则m= ,此时,二次函数的图象的顶点坐标为 ,当x= 时,y取最
值,为 .?
11.已知二次函数y=2(x-1)2的图象如图3所示,则△ABO的面积是 .?
图3
12.已知二次函数y=2x2的图象是抛物线,若抛物线不动,将y轴向右平移2个单位,则在新坐标系下抛物线所对应的函数关系式是 .
三、解答题
13.已知抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=-x2平移得到,且当x=2时,函数有最大值.
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小?
14.已知函数y=(x-1)2,先画出函数图象,再根据图象回答下列问题:
(1)求当-2≤x≤-1时,y的取值范围;
(2)求当0≤x≤3时,y的取值范围.
15.把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位后得到抛物线y=-3(x-h)2.若抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,抛物线y=-3(x-h)2的顶点是M.
(1)求a,h的值;
(2)求S△MAB的值.
16.已知P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,且点P在第一象限内.
(1)求抛物线的顶点坐标和m的值;
(2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求△PQO的面积.
17.如图4所示,已知直线y=-x+2与抛物线y=a(x+2)2
相交于A,B两点,点A在y轴上,M为抛物线的顶点.
(1)请直接写出点A的坐标及该抛物线对应的函数关系式.
(2)若P为线段AB上的一个动点(A,B两端点除外),连结PM,设线段PM的长为l,点P的横坐标为x,请求出l2与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围.
图4
答案
1.
D
2.
A
3.
D
4.
D
5.
B
6.
C
7.
C
8.
右 1 x=1 (1,0)
9.
>
10.
5 (-5,0) -5 大 0
11.
1
12.
y=2(x+2)2
13.解:(1)∵抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=-x2平移得到,∴a=-1.
∵当x=2时,函数有最大值,∴h=2,∴此抛物线的函数关系式为y=-(x-2)2.
(2)∵抛物线y=a(x-h)2有最大值,
∴该抛物线的开口方向向下.
又∵当x=2时,函数有最大值,
∴抛物线的对称轴是直线x=2,
∴当x>2时,y随x的增大而减小.
14.解:函数y=(x-1)2的图象如图所示.
(1)当-2≤x≤-1时,y的取值范围是4≤y≤9.
(2)当0≤x≤3时,y的取值范围是0≤y≤4.
15.解:(1)∵抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位后得到抛物线y=-3(x-h)2,
∴a=-3,4-6=h,
∴h=-2.
(2)∵抛物线y=a(x-4)2的顶点为A,且与y轴交于点B,∴点A(4,0),B(0,-48).
∵抛物线y=-3(x-h)2的顶点是M,∴M(-2,0),
∴S△MAB=×|4-(-2)|×|-48|=144.
16.解:(1)抛物线的顶点坐标是(1,0).
∵P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,
∴a=a(m-1)2,解得m=2或m=0.
∵点P在第一象限内,∴m=2.
(2)∵a的值为3,
∴二次函数的关系式为y=3(x-1)2.
∵点P的横坐标为2,
∴点P的坐标为(2,3).
∵PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,
∴点Q的纵坐标为3.
令3=3(x-1)2,解得x=2或x=0,
∴点Q的坐标为(0,3),
∴PQ=2,
∴S△PQO=×3×2=3.
17.解:(1)令x=0,则y=-x+2=2,
∴点A的坐标是(0,2).
将(0,2)代入y=a(x+2)2,得a=,
∴该抛物线对应的函数关系式为y=(x+2)2.
(2)由(1)易知点M的坐标为(-2,0).
如图,P为线段AB上任意一点,连结PM,过点P作PD⊥x轴于点D.由点P的横坐标为x,可知点P的纵坐标为-x+2,即点P的坐标为,则在Rt△PDM中,PM2=DM2+PD2,即l2=(-2-x)2+=x2+2x+8,x的取值范围是-5
