人教版九年级数学上册：22.3实际问题与二次函数 （共3个课时） 导学案

22.3实际问题与二次函数(1)
【学习目标】
会建立二次函数模型应用二次函数解决实际生活中的问题
【活动方案】
活动一：课前基本练习
1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
2．抛物线y＝x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
活动二：探索新知：
探究1：
用长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随矩形一边长的变化而变化，当L是多少时，场地的面积S最大？
(1)、矩形场地周长是60m，一边长为L，则另一边长为
m
(2)、矩形场地的面积
S=
即：S=
(0＜L＜30)
(3)、画出函数的图像求解：当L是多少时，场地的面积S最大？
可以看出问题中函数的图像是抛物线的一部分
(图像有起点和终点)，图像的最高点是抛物线的
也就是当L取最高点(顶点)的横坐标时，这个函数有
最大值最高点的纵坐标。
归纳总结：
一般地，因为抛物线的顶点是最低(高)点，所以当x=______时，二次函数有最小(大)值________
我们还可以采用配方的方法研究函数的最值问题。
解：S=
－L2+30L
=－(L－15)2+225
∵0＜L＜30
∴当L=15时，函数有最大值S最大=225
当矩形一边长L为15m时，矩形面积最大，最大面积为225m2
活动思考交流：若问题的函数图像最高点不是抛物线顶点，又该怎样通过配方法后，计算最大值呢？
练习
1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
【课堂反馈】
1、张大爷要围成一个矩形花圃。花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．
(1)、求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
(2)、当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
2．如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
3．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？
4、某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，计划用木材围成总长为24m的栅栏，设每间羊圈与墙垂直的一边长x(
m)，三间羊围的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式是________________，x的取值范围是________________，当x=________________时，面积S最大，最大面积为________________．
22.3实际问题与二次函数(2)
【学习目标】
1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；
2．会应用二次函数的性质解决问题．
【活动方案】
活动一：课前基本练习
1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
2．抛物线y＝x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
活动二：探索新知：
探究1：
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？
单利润=
总利润=
解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．
（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．
归纳总结：
1、审题，找出两个变量，根据数量关系建立两个变量间的二次函数关系—建模
2、确定实际问题自变量的取值范围
3、配方后，根据自变量的取值范围确定最大值或最小值
①顶点横坐标自变量在取值范围内时，顶点纵坐标为最大值
②顶点横坐标自变量不在取值范围内时，根据图像的增减性确定函数最大值
4、指明问题中的答案
练习
1、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？
2、某宾馆有50个房间供旅客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？
【课堂反馈】
1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
(1)、求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
(2)、降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
2.某饮料经营部每天的固定成本为200元，销售的饮料每瓶进价为5元。
销售单价(元)
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量(瓶)
480
440
400
360
320
280
240
（1）若记销售单价比每瓶进价多x元，日均销售量为
（用含有x的代数式表示）
日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)销售单价应定为多少元可获得1400元的日均毛利润？
（3）若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0．1元)？最大日均毛利润为多少？
22.3实际问题与二次函数(3)
【学习目标】
1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．会综合运用二次函数的图像性质解决函数最值问题。
3．发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
【活动方案】
活动一：复习巩固
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大值和最小值的问题，它的一般方法是：
(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
探究：
活动二：探索新知
探究1：
图中是抛物线形拱桥，当水面在AB时，拱顶离水面2m，
水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？
二次函数的图像是抛物线，建立适当的坐标系，
可以求出这条抛物线表示的二次函数。在实际问题中，
将题中条件转化为点的坐标，求出函数解析式，在运用函数知识求出实际问题中的问题。
解：
(1)、以拱桥的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角
坐标系抛物线过点(
，
)
(2)、设抛物线解析式为y＝ax2则：
(3)、当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=－3，
归纳小结：
对于物体形状或运动路线为抛物线的实际问题，只需要建立适当的坐标系，将问题中的条件转化为点的坐标，求出抛物线对应函数的解析式，再运用函数知识求出实际问题中，问题所对应的函数问题而求解。
变式练习
1、有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
活动三：试一试
如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
【课堂反馈】
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门
2．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？