2011年海南省农垦中学华师版数学八年级上预习部分学案

海南省农垦中学初中数学组编写 华师大八年级上 期中前学习学案 联系邮箱 heiqi2222@
目 录
第十二章 数的开方....................................................................................................................... 2
第一节 平方根与立方根....................................................................................................... 2
第一课时 平方根..................................................................................................................... 2
第二节 实数与数轴............................................................................................................... 8
第一课时 实数的有关概念........................................................................................... 8
第二课时 实数的性质及运算....................................................................................... 12
第十三章 整式的乘除................................................................................................................. 15
第一节 幂的运算................................................................................................................. 15
第一课时 同底数幂的乘法....................................................................................... 15
第二课时 幂的乘方....................................................................................................... 17
第三课时 积的乘方..................................................................................................... 19
第四课时 同底数幂的除法......................................................................................... 21
第五课时 幂的运算习题课........................................................................................... 22
第二节 整式的乘法........................................................................................................... 25
第一课时 单项式与单项式相乘................................................................................. 25
第二课时 单项式与多项式相乘................................................................................. 27
第三课时 多项式与多项式相乘............................................................................... 29
整式的乘法（1）........................................................................................................... 31
复习课............................................................................................................................. 31
第三节 乘法公式................................................................................................................... 33
第一课时 两数和乘以两数差..................................................................................... 33
第二课时 两数和的平方........................................................................................... 35
《乘法公式》练习题..................................................................................................... 37
第四节 整式的除法........................................................................................................... 39
第一课时 单项式除以单项式..................................................................................... 39
第四节 整式的除法习题课....................................................................................... 43
第五节 因式分解................................................................................................................... 44
问题：能够用完全平方公式分解因式的多项式具有说明特点？............................................. 47
例 2：把下列各式分解因式：...................................................................................................... 48
弟十四章 勾股定理....................................................................................................................... 50
第一课时 直角三角形三边的关系............................................................................... 50
第二节 勾股定理的应用（二）........................................................................................... 60
1
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第十二章 数的开方
第一节 平方根与立方根
第一课时 平方根
教师寄语：有恒心，有毅力，方能成功．
课前准备：计算器
学习目标:（1）了解平方根、算术平方根的定义，会用符号表示一个非负数的平方根、算术
平方根；
（2）会求一个非负数的平方根、算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单的
实际问题．
学习重点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地求某些非负数的平方根、算术平方根．
学习难点：利用平方根、算术平方根定义解决问题．
学习过程：
一、学前准备
1．请填写下表：
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19
x2
2 4
x 1 16 36 49
25
x
2
2． 计算：（1）若一个正方形的面积是 25cm ，则它的边长是多少？
（2）若一个正方形的面积是 5cm2，则它的边长是多少？
二、预习导学：
阅读本节内容内容，完成下列问题：
1.一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 就叫做 a 的 ，
记为 ，读作 ．
2．一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个数 x 就叫做 a 的 ，
也叫做 a 的二次方根
3．一个正数有 个平方根，它们可以表示为
0 平方根，它是 ； 负数 平方根
4．求一个数 a 的平方根的运算，叫做 ，其中 a 叫做
5．因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是
或者
6．用计算器求出下列各式的值．（结果保留 3 个有效数字）
8955 12345 - 260 0.00537
2
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三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
(1)平方等于 4 的数有几个 是哪些数 平方是 2 的数呢
（2）一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何
（3）如果我们知道了两个平方根中的一个，那么是否可以得到它的另一个平方根 为什么
（4）负数有平方根吗 为什么
四、典型示例
例 1：求 100 的平方根
2 2
解：由于 10 ＝100，（-10） ＝100，所以 100 的平方根是 和
例 2：求下列式子的值：
9 289
(1) (2)±
25 324
解：(1)是求 的负的平方根，求解步骤是先求出 的算术平方根 ，再求出算术
平方根的相反数 ；所以－ =
（2）是求 的平方根，它有两个值，应在其算术平方根的面加“±”号． 的算术
平方根是 ，所以± =
例 3 用计算器求下列各数的算术平方根：
（1） 529；（2） 1225；（3） 44．81．
解（1） 在计算器上依次键入
■ 5 5 9 = ，
显示结果为 ，所以 529 的算术平方根为 2
529 ＝ ．
（2） 在计算器上依次键入
■ 1 2 2 5 = ，
显示结果为 ，所以 1225 的算术平方根为
1225 ＝ ．
（3）
五、当堂达标
1． 下面说法正确的是( )
A．0 的平方根是 0 B．1的平方根是 1
2
C．﹣1的平方根是﹣1 D．(﹣1) 平方根是﹣1
2． 下列各数没有平方根的是( )
3 4
A．64 B．0 C． ( 2) D． ( 2)
3
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3．下列说法中不正确的是( )．
A、 是 0．25 的一个平方根 B、正数 a 的平方根的和为 0
C、 的平方根是 D、当 x≠O 时，－x 没有平方根
4．平方根等于它本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ．
5．求下列各数的平方根：（前两个请仿照教材例 2 书写解题格式）
1 25
4， 15， 2．56 ， ， ， ( 2)2 ；
16 121
6．求满足下列条件的未知数 x：
(1)x ＝100； (2)x ＝ ．
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
阅读材料：手动开方
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示
所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数．（在右边例题中，比5小的平方数
是4，所以平方根的最高位为2．
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数
4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商．（右例
中的试商即为[152/(2×20)]＝[3．8]＝3．）
5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于
余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第
一个小于余数的试商作为平方根的第二个数．（即3为平方根的第二位．）
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．用上一个余数减去上法中所求的积（即
152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）．这时再求试商，要用前面所得到的平
方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商．
（2325/(23×20)的整数部分为5．）
7．对新试商的检验如前法．（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根．
4
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第十二章 数的开方....................................................................................................................... 2
第一节 平方根与立方根....................................................................................................... 2
第一课时 平方根..................................................................................................................... 2
第二节 实数与数轴............................................................................................................... 9
第一课时 实数的有关概念........................................................................................... 9
第二课时 实数的性质及运算....................................................................................... 13
第十三章 整式的乘除................................................................................................................. 15
第一节 幂的运算................................................................................................................. 15
第一课时 同底数幂的乘法....................................................................................... 15
第二课时 幂的乘方....................................................................................................... 17
第三课时 积的乘方..................................................................................................... 19
第四课时 同底数幂的除法......................................................................................... 21
第五课时 幂的运算习题课........................................................................................... 23
第二节 整式的乘法........................................................................................................... 25
第一课时 单项式与单项式相乘................................................................................. 25
第二课时 单项式与多项式相乘................................................................................. 27
第三课时 多项式与多项式相乘............................................................................... 29
整式的乘法（1）........................................................................................................... 31
复习课............................................................................................................................. 31
第三节 乘法公式................................................................................................................... 33
第一课时 两数和乘以两数差..................................................................................... 33
第二课时 两数和的平方........................................................................................... 35
《乘法公式》练习题..................................................................................................... 37
第四节 整式的除法........................................................................................................... 39
第一课时 单项式除以单项式..................................................................................... 39
第四节 整式的除法习题课....................................................................................... 43
第五节 因式分解................................................................................................................... 44
问题：能够用完全平方公式分解因式的多项式具有说明特点？............................................. 48
例 2：把下列各式分解因式：...................................................................................................... 49
弟十四章 勾股定理....................................................................................................................... 50
第一课时 直角三角形三边的关系............................................................................... 50
第二节 勾股定理的应用（二）........................................................................................... 61
教师寄语： 人之所以有一张嘴，而有两只耳朵，原因是听的要比说的多一倍．
课前准备：计算器
学习目标:（1）了解立方根的概念及 3 a的意义；
（2）会用立方运算求某些有理数的立方根，会用计算器求有理数的立方根．
（3）了解“开立方”的意义，知道“开立方”运算与立方运算互为逆运算．
学习重点：立方根概念及表示方法
学习难点：会用立方运算求某些数的立方根
学习过程：
一、学前准备
1．复习平方根、算术平方根概念．
2．计算：（1）x2=625,则 x= , (2) 0.0196 =
5
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(3) 43= , (5) (-5)3= , (6) 63= (7) 73=
2知道正方形的面积，就能用“开平方”运算得出正方形边长，那么，若知道正方体的体积，
又怎样求正方体的棱长呢？
(1)现有一只体积为 216cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
解：设棱长为 x cm,则根据题意，得 =216，易得 x= cm． x=
(2)如果使正方体的体积为 6cm3,那么它的每一条棱长是多少？
解：同样设正方体的棱长为 x cm,则根据题意，得 =6．
(3)要求适合等式中的 x的值，实际上也是已知幂是 6，指数是 3 时求底数的值．显然它是
立方运算的一种逆运算，你能给它下个定义吗？
二、预习导学：
阅读教材，并回顾平方根的抽象过程，类似地抽象出立方根的概念
1．如果 ，那么 就叫做 a 的立方根，a的立方根记
作 ，读作 ，a称为 ,3 叫做 ．例如： 3 27 表
示 27 的立方根， 3 27 = 3； 3 27 表示 27的立方根， 3 27 = 3．
注：1． 3 a表示求 a 的立方根,a 是任意数．
2． “ 3 ”中的根指数 3 不能省略．
2． 立方根的性质：
正数有 的立方根，负数有 的立方根，0的立方根是 ．
3． 开立方的概念
叫做开立方
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
1 如果一个正有理数有立方根，那么它有几个呢？
负数没有平方根，那么，负数也没有立方根吗？0 的立方根呢？
总结：．正数有 个平方根，但只有 个立方根； 没有平方根，但有 个
立方根；0 的平方根与立方根都是 ．
2．探究： 因为 3 8 = ____, 3 8 = ____, 所以 3 8 = 3 8
因为 3 27 = ____, 3 27 = ____ ，所以 3 27 = 3 27
总结 ：利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆
关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相
反数，即 3 a 3 a (a > 0)
四、典型示例
8
例 1：求下列各数的立方根：（1） ；（2）－125；（3）－0．064
27
分析: 求“某个数的立方根”是什么意思呢？就是找出这样的数，它的立方等于“某个数”．
6
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2 8 8 2
解：（1）∵（ ） 3= ，∴ 的立方根是 ；
3 27 27 3
（2）
（3)
点评：求一个数 a的立方根的方法是“看哪个数的立方等于 a，这个数就是 a的立方根”．
例 2： 求下列各式的 x
1 8x 3（ ） =27; (2)－27x 3 =64; (3)(x－1) 3 =125
27 27 3
解：（1） ∵x 3= ∴x= 3 =
8 8 2
(2）
（3）
例 3：用计算器求下列各数的立方根：
（1） 1331；（2） －343；（3） 9．263
解（1） 在计算器上依次键入
3
SHIFT ■ ( ■) ，1 3 3 1 =
显示结果为 11，所以 3 1331 ＝11．
(2）
（3）
五、当堂达标
1． 下列说法中正确的是（ ）
A．－4 没有立方根 B．1 的立方根是±1
1 1
C． 的立方根是 D．－5 的立方根是 3 5
36 6
2．下列说法正确的是（ ）
A ．-64 的立方根是-4 B． -64 的立方根是-8
C ．8 的立方根是±2 D． ( 3)3 的立方根是-3
3． 64 的立方根是（ ）
A．±4 B．±2 C．2 D．－2
4． 的立方根是（ ）．
A． －4 B． ±4 C． ±2 D． －2
5． 16 的平方根和立方根分别是（ ）．
A ±4，3 16 B ±2，± 3 4 C ±2， 3 4 D 4， 3 4
6． （1）125 的立方根等于 ，－125 的立方根等于 ．
7
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（2）0．216 的立方根等于 ， ( 1)7 的立方根等于 ．
（3）平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 ．
（4）64 的平方根的立方根等于 ，9 的立方根可表示成
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
阅读材料：谁最先使用的根号
符号“ ”最早用来表示平方根号，那是 1220 年意大利人里纳昂多第一次使用的．这
个符号是从拉丁文“Radix”取它的头尾两个字母合并得来，里纳昂多是一个熟悉数学的商
业家，曾到东方旅行过，回到意大利以后，他把旅途中搜集到的许多算术和代数的材料写成
《算盘之书》．
十七世纪初，法国数学家笛卡儿在他的著作《几何学》中第一次用“ ”表示根号，
1 1
这是一部研究代数方程的书． 我们在这本书里可以找到象 a + aa + bb的式子，与今
2 4
2 2
天略有不同的只是他仍旧把 a 写成 aa，b 写成bb． 这个符号包含两个意思：由拉丁字
母“ r”演变而来的，它的原词是“ root ”，是方根的意思；上面的这条短线“—”是括号
线，相当于我们现在常用的括号，是一个结合符号． 如 2+ 3×5相当于 (2+ 3)×5． 又如
10
，相当于10÷ (2+ 4)． 把符号“ ”和“—”结合在一起，既有结合符号的意思，
2+ 4
1 1
又有运算符号的意思． 如上面所讲，式子中 a + aa + bb，首先根据括号线“—”所
2 4
1 1 1
在，应先算 aa + bb，然后用根号“ ”把 aa + bb开平方，最后才能与 a合并．
4 4 2
附带说一下，三次根号“ 3 ”最早是德国数学家鲁道夫在 1525 年首先提出的，今天
我们使用的符号“ 3 ”，是十七世纪的法国首先使用的．
8
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第二节 实数与数轴
第一课时 实数的有关概念
教师寄语： 凡事都要有个计划，学习也一样
课前准备：计算器、圆规、三角板等
学习目标:1、了解实数的意义，能对实数进行分类．
2、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数．
学习重点：了解实数的概念及分类
学习难点：掌握实数的有关概念及分类；会进行开平方和开立方运算，会求一个非负数的算
术平方根；能够运用实数的有关性质解决问题
学习过程：
一、学前准备
1．有理数：能精确地表示为两个 之比的数叫做有理数． 有理数包括整数和通常所说
1
的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数． 如2、－3、 等都为有理数．
3
2．有理数的分类
①按有理数的“定义”分类 ②按数的“正负性”分类
正整数
正有理数
零
有理数
负整数 零
有理数
正分数 负整数
分数
负分数
3．相反数
(1)求法：a的相反数是 ．如：5 的相反数是－5．
(2) a性质：若 a与 b互为相反数，则 a + b = ， = (b ≠ 0) ．
b
4．倒数
(1) 1求法：a的倒数是 ．如：6 的倒数是 ．
6
(2)性质：若 ab互为倒数，则 ab = ．
5．绝对值
(1)求法：
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值 是它的 ，0 的绝对值是 0．即
9
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a, a > 0,
a = 0, a = 0, ．如： 2 = 2．

a, a < 0.
二、预习导学：
阅读预习本节内容
1．边长为 1 的正方形的对角线长是_________．
2．数轴
( 1)数轴的三要素： 、 和 ．
(2)实数与数轴上的点建立了 的关系．
(3)数轴上点的大小比较：数轴上右边的点表示的数总是 左边的点表示的数．
3．小数可分为 小数和 小数，无限小数又可分为无限循环小数和无限
小数．无限不循环小数称为 ，有理数和无理数统称为实数．
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
探究 1 ①使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 47 9 11 5
3=_____ ， =_____， =_____ ， =_____ , =______ ， =______
5 8 11 9 9
我的发现是： ____________________________________________________
②使用计算器计算, 把下列带根号的数写成小数的形式,你有什么发现？
2 =_________， 3 3 =________．
我的发现是：____________________________________________________
③上面两组数都可以写成小数的形式，但也有不同 ,它们的不同之处是：
______________________________________________
我们把第一类数叫做_______,我们把第二类数叫做_______,它们统称为___________
无理数也有正负之分．如 2 ， 3 3 ，π 是___无理数， 2 ， 3 3 ， π 是___无理数．
试一试 把实数分类（两种分法）
注：（1）非负数指的是 和 ．常见的非负数有 ．
若干个非负数的和为零，则每个非负数均为
探究 2（1）如图所示，直径为 1 个单位长度的圆从原点沿
数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点 O′，点 O′
的坐标是多少？
从图中可以看出 OO′的长是这个圆的周长______，点
O′的坐标是_______，这样，无理数 可以用数轴上的点表示出来
（2）你能在数轴上标出表示无理数 2 和﹣ 2 的点吗？动手试一试
由探究 2，我的猜想与发现是： ①每一个无理数都可以用数轴上的____表示出来，这
10
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就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
实数与数轴上的点是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的______来表示；反
过来，数轴上的________都是表示一个实数
探究 3 问题 1 如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗
问题 2 如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗
四、典型示例
1
例 1： 从实数－ 2 ，－ ，0，л，4 中，挑选出的两个数都是无理数的为( )
3
1
A．－ ，0 B． л，4 C．－ 2 ，4 D．－ 2 ，л
3
点拨：对于实数的概念要理解好无理数的概念，无理数要包含无限小数和不循环这两个
条件，缺一不可，常见的无理数有π、开方开不尽含有根式的数(如 5 等)、无限不循环小数
(如 3．010010001…等) ，在判断一个数是否是无理数时，不要只看形式，要看化简的结果.
例 2：如图所示，认真观察，探讨下列问题：
B
A
-2 -1 0 1 2
（1）如图，OA=OB，数轴上 A 点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
解：
知识整理：
（1）每一个实数都可以用数轴上的一个 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表
示一个 ，即实数与数轴上的点是 的；
（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数
五、当堂达标
1．在实数 0，1， 2 ，0.1235 中，无理数的个数为( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
2．下列说法错误的是（ ）
A．实数都可以表示在数轴上 B．数轴上的点不全是有理数
C．坐标系中的点的坐标都是实数对 D． 2 是近似值，无法在数轴上表示准确
3．下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数
4．下列说法正确的是（ ）
11
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A．正实数和负实数统称实数 B．正数、零和负数统称为有理数
C．带根号的数和分数统称实数 D．无理数和有理数统称为实数
5．把下列各数分别填入相应的集合里：
3 8, 3, 3.141,π , 22 , 7 , 3 2,0.1010010001 ,1.414, 0.020202 , 7
3 7 8
正有理数{ } 负有理数{ }
正无理数{ } 负无理数{ }
实数集合{ }
6．判断下列说法是否正确：
1)．实数不是有理数就是无理数．（ ） 2)．无限小数都是无理数．（ ）
3)．无理数都是无限小数． （ ） 4)．带根号的数都是无理数．（ ）
5)．两个无理数之和一定是无理数．（ ）
6)．所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数．（ ）
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
阅读材料：“无理数”的由来
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(pythagoras)学派的弟子希勃索斯(hippasus)发现了
一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则
对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理
大相径庭．这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．
希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处．
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直
线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”．
而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”．于是，古希腊人把有理数视为连续衔接
的那种算术连续统的设想彻底地破灭了．不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为
数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直
觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌
芽．
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比
值也一直被认为是不可理喻的数．15世纪意大利著名画家达．芬奇称之为“无理的数”，17
世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数．
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”．人们为了纪念
12
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希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是
“无理数”的由来．
第二课时 实数的性质及运算
教师寄语： 人一能之，己百之；人十能之，己千之
课前准备：计算器
学习目标:了解实数的相反数、倒数和绝对值的意义．
会用估算的方法进行实数的大小比较
学习重点：实数的性质、实数的大小比较及运算
学习难点：实数的大小比较
学习过程：
一、学前准备
1．无理数是怎样定义的？如何把实数进行分类？
2．实数与数轴上的点成怎样的对应关系？
3． 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)有理数加法法则：
①_________________ ② ________________ ③__________________．
（2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________．
（3)有理数乘法法则：
①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________．任何数同 0 相乘，都得________．
②几个不等于 0 的数相乘，积的符号由____________决定．当______________，积为负，
当_____________，积为正．
③几个数相乘，有一个因数为 0，积就为__________．
(4)有理数除法法则：
①除以一个数，等于_______________________．__________不能作除数．
②两数相除，同号 _____ ，异号 _____ ，并把 _________． 0 除以任何一个
____________________的数，都得 0.
(5)幂的运算法则：
数的乘方 a n = ，其中 a 叫做 ，n 叫做 ．
a0 = （其中 a 0 且 a是 ） a p = （其中 a 0）
正数的任何次幂都是__________； 负数的_________是负数，负数的__________是正数
(6)绝对值的性质：
①非负性，即 a ≥ 0； a 表示数轴上点 a到原点的距离；
②几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0，因此，若 a + b = 0，则 a = ， b =
13
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二、预习导学：
1．到目前为止，我们已经学习了加、减、____、____、乘方、_____等六种运算．其中
___、____为一级运算，____、____为二级运算，_____、____为三级运算．
2.除法运算中除数不为_____,只有_______及_______可以进行开平方运算，________实
数都可以进行开立方运算．
3．猜想:实数的混合运算顺序是什么？有理数的运算律在实数中同样适用吗？
4．通过预习课本，你能找到判断实数大小有几种方法吗？
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
1．填空： 3 2 与____互为相反数， 5 与_____互为倒数， 3 3 =_____
2 2 2 2
2．想一想：将等式 3 =3 和 7 =7 反过来的等式 3= 3 和 7= 7 还成立吗？
1 92 1 42
式子：9 = = 3 和 4 = = 2 成立吗？
27 27 8 8
1 2 1
仿照上面的方法，化简下列各式：（1）2 （2）11 （3）6
2 11 12
四、典型示例
例 1：1)－3 的相反数是( )
A．3 B．－3 C 1． D 1．
3 3
1
2) 的倒数是( )
2010
A．2010 B 1 1． 2010 C． D．
2010 2010
3) 8 等于( )
A 1 1．8 B．－8 C． D．
8 8
例 2：1)试估计 3 + 2 与π的大小关系
分析:使用计算器计算 3 + 2 的大小,然后进行比较
2)在不使用计算器的情况下，你会比较 3 2 和 2 3 的大小吗？你想到哪些方法？
方法 1：将这两个数分别平方; ∵ ( 2 23 2 ) = ， (2 3) = ，∴3 2 2 3
方法 2：
方法 3：
归纳：实数的大小比较，一般都可以通过使用计算器，用估算的办法达到目的，但有些实数
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的大小比较，还可以通过作差、作商等方法来达到目的．
五、当堂达标
1．估计 76 的大小应在（ ）
A．7～8 之间 B．8．0～8．5 之间
C．8．5～9．0 之间 D．9～10 之间
2．实数 2.6、7 和 2 2 的大小关系是（ ）
A． 2.6 < 2 2 < 7 B． 7 < 2.6 < 2 2
C． 2.6 < 7 < 2 2 D． 2 2 < 2.6 < 7
3．｜3．14－π｜＝______； | 2 3 3 2 |= ______．
4． 2 2 的相反数是____________； 2 3 的绝对值是______．
5、用计算器计算（结果保留三位有效数字）
1）． 2 + 3 2)． ( 6 2)2
3)． 2 5 6 4)．0.5π + 2 3
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第十三章 整式的乘除
第一节 幂的运算
第一课时 同底数幂的乘法
学习目标: ：1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程.
2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算.会逆用公式，通过法则的习题教学，训练
一定的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想.
学习重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算.
学习难点：对法则推导过程的理解及逆用法则.
学习过程：
一、学前准备
15
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1．填空.
(1)2×2×2×2×2＝（ ）， a·a·…·a＝( )
(2)指出各部分名称.
2．应用题计算.
5
(1)1 平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧 10 千克煤所产生的热量.
那么 105平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧多少千克煤
5 3
(2)卫星绕地球运行的速度为第一宇宙速度，达到 7.9×l0 米／秒，求卫星绕地球 3×10
秒走过的路程
二、预习导学：
阅读本节内容内容，完成下列问题：
3 5 6 7
1． 2 ×2 ＝( )，3 ×3＝( )，由此可发现什么规律
3 2 ( )
(1)2 ×2 ＝( )×( )＝2 ，
(2)53×52＝( )×( )＝5( )，
3 4 ( )
(3)a a ＝( )×( )＝a .
3 4 m n
2．如果把 a ×a 中指数 3 和 4 分别换成字母 m 和 n (m、n 为正整数)，你能写出 a a 的结果
吗 你写的是否正确
m n m＋n
即 a ·a ＝a (m、n 为正整数)这就是同底数幂的乘法法则.
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
m n m＋n
(1)在 a ·a ＝a 同底数幂的乘法法则中 a，m，n 有什么条件限制？
m＋n m n
（2）a ＝a ·a 成立吗？
四、典型示例
例 1：计算：
（1）103×104 （2）a·a3 （3）a·a3·a5
103+4 =107解：（1）原式=
（2）
（3）
m m m＋n
例 2：已知 a ＝3，a＝8，则 a ＝_______
解：am＋n ＝______·_______＝_______＝_______
五、当堂达标
1．填空：
m
（1） a 叫做 a的 m次幂，其中 a叫幂的________，m 叫幂的________；
16
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（2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为 c，指数为 3，这个数为________；
（3） ( 2)4 4表示________， 2 表示________；
3 4 3 4 ( )+( )
（4）根据乘方的意义， a ＝________， a ＝________，因此 a a ＝ ( )
2．选择题：
a2m+2（1） 可以写成（ ）．
A． 2am+1 2m 2B． a + a C． a2m a2 2 m+1D． a a
（2）下列式子正确的是（ ）．
4
A．3 = 3×4 B． ( 3)4 = 34 C． 34 = 34 34D． = 43
（3）下列计算正确的是（ ）．
A． a a4 = a4 4 4 8B．a + a = a
C． a4 + a4 = 2a4 D． a4 a4 = a16
3.计算
a4 a6（1） = （2） ( q)2n ( q)3 =
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第二课时 幂的乘方
学习目标:
1、学习探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条
理的表达能力.
2、学习幂的乘方的运算性质，学会运用“幂的乘方”法则进行运算.
学习重点：
幂的乘方法则及用法则进行计算.
学习难点：
幂的乘方法则和同底数幂相乘的法则的区别及这两个法则的混合运用.
学习过程：
一、学前准备
1.什么叫乘方
2.幂的乘法法则
17
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二、预习导学：
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：
（1） （2 3） 2 ＝2 3×２ 3＝ ；
（2） （3 2 ） 3＝3 2 ×３ 2 ×３ 2 ＝ ；
3 4 3 3 3 3
（3） （a ） ＝a ·a ·a ·a ＝ ．
概 括
（a m） n＝a m·a m·…·a m （n 个）
＝a m+m+...+m（n 个）
=
可得 （a m） n＝a mn（m、n为正整数）．
这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
1．x3 表示什么意义
2．如果把 x 换成 a4，那么(a4)3表示什么意义
3 ＋ ＋ ＋．怎样把 a2·a2·a2·a2＝a2 2 2 2 写成比较简单的形式
4．由此你会计算(a4)5吗
四、典型示例
例 1：计算：
（1） （10 3 ） 5； （2） （b 3 ） 4 ．
解（1） （10 3 ） 5＝10 3×5 ＝ ．
3 4 3×4
（2） （b ） ＝b ＝ ．
五、当堂达标
2 5
1 选择题：（1）计算 [( x) ] = ( )
x7 x7 10 10（A） （B） （C） x （D） x
a16（2） 可以写成（ ）
18
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a8 + a8 8 2 8 8 8 2（A） （B） a a （C） (a ) （D） (a )
（3）下列各式正确的是（ ）
(23 )2 = 25 7 7 7 5 5 4 2 8（A） （B）m +m = 2m （C） x x = x （D） x x = x
2 计算① (105 )3 ② (x n )3 (x7 )7③ 7④ 10 105 10n ；
[ 5(a b)2 ]3⑤ ⑥ [( )2 ]6 4 2 3⑦{[( a) ] }
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第三课时 积的乘方
学习目标
⒈探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算
性质的过程中，领会这个性质.
⒉探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力.
⒊小组合作与交流，培养团结协作精神和探索精神，塑造挑战困难的勇气和信心.
学习重点：积的乘方的运算.
学习难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.
学习过程：
一、学前准备
⑴阅读教材
⑵填空：①幂的乘方，底数 ，指数
( 2 )310 = (b5 5 m②计算： ) = (x 2 ) =
19
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③ x 15 = ( )3 = ( )5 ； xmn = ( )m = ( )n
(2×3)3 23 3 2 2 2 2⑶计算① 和 ×3 ；② (3×5) 和3 ×52 ；③ (ab2 ) 和 a 2 × (b 2 ) （请观察比较）
二、预习导学：
（1） （ab） 2 ＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝
（2） （ab） 3＝ ＝ ＝ a3b3；
（3） （ab） 4 ＝ ＝ ＝a4b4 ．
概 括 （ab） n＝（ab）·（ab）·…·（ab）（n 个）
＝（a·a·…·a）·（b·b·…·b）＝ anbn．
n n n
可得 （ab） ＝ a b （n为正整数）．
这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质
(1)(abc)n＝(ab)ncn＝anbncn.
即(abc)n＝anbncn(n 为正整数).
四、典型示例
例 1：计算：
3 3 2
（1） （2b） ；（2） （2×a ） ；
解（1） （2b） 3＝2 3 b 3＝ ．
3 2 2 3 2
（2） （2×a ） ＝2 ×（a ） ＝ ．
五、当堂达标
1.看谁做的又快又正确
1．(－5ab)2＝ 2．(xy2)3＝
3．(－2xy3)4＝ 4．(－2×103)2＝
5．(－3a)3＝ 6．(－2ab)4＝
20
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2.选择题
⑴下列各式中错误的是（ ）
(24 )3 = 212 3（A） （B） ( 3a) = 27a3 4（C） (3xy) = 81x 4 y8 3（D） ( 2a) = 8a3
⑵与 [( )3 ]2 3a 2 的值相等的是（ ）
12 12 12
（A）18a （B） 243a （C） 243a （D）以上结果都不对
3 2 3 3 4 n
3 计算：① × ； ② ( 2xy) ； ③ (3a) ;
5 5
2008
( 3④ 3ab 2 ) 82008 1； ⑤ ×
8
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第四课时 同底数幂的除法
学习目标：
1.能说出同底数幂相除的法则，并正确地进行同底数幂的除法运算；
2.理解任何不等于零的数的零次幂都等于 1
3.能正确进行有关同底数幂的乘除混合运算
学习重点：掌握同底数幂的除法的运算性质，会用之熟练计算；
学习难点：理解同底数幂的除法运算性质及其应用.
学习过程：
一、学前准备
（一）读一读：自主学习课本回答下列问题：
用你熟悉的方法计算：
5 2 7 3
（1） 2÷2＝ ；（2） 10 ÷10 ＝ ；
21
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7 3
（3） a÷a＝ （a≠0）．
二、预习导学：
概括
由上面的计算，我们发现：
5 3 3 5-3 7 3 4 7-3 7 3 4 7-3
2 ÷2 ＝2 ＝2 ；10 ÷10 ＝ 10 ＝10 ；a ÷a ＝ a ＝a ．
由此可得同底数幂的除法性质：
用字母表示： （ ）（m、n 是正整数，m ﹥ n，a≠0）
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
你会计算（a＋b） 4 ÷（a＋b） 2 吗
四、典型示例
例 1计算：
（1） a 8÷a 3；
（2） （－a） 10÷（－a） 3；
（3） （2a） 7 ÷（2a） 4 ．
a 8÷a 3＝a 8 3解（1） ＝a 5．
（2）
（3）
五、当堂达标
6 2 5 4 n+4 n+1
1.（1） x ÷x ； （2）a ÷a （3）a ÷a
（4） 10 3（-a） ÷（-a） （5） 8 3 4 3（2a） ÷（2a） （6）（a + 1） ÷（a + 1）
指数为 1 时可以省略不写.
* 计算结果要化成最简结果.
m n m–n
2.已知：x = 5，x = 3，求 x
22
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六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第五课时 幂的运算习题课
学习目标
⒈ 对教材的三个部分：同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方有一个正确的理解，并
能够正确的运用.
⒉ 在已有的知识基础上，自主探索，获得幂的运算的各种感性认识，进而在理性上
获得运算法则.
⒊ 培养良好的数学构建思想和辨析能力和一定的思维批判性.
学习重点：理解三个运算法则.
学习难点：正确使用三个幂的运算法则.
学习过程：
一.预习与新知：
⑴叙述幂的运算法则？（三个）
⑵谈谈这三个幂运算的联系与区别？
2 3
二.课堂展示：⑴计算： x 2 ( x) ( x 2 ) 2x10 （请同学们填充运算依据）
解：原式= x 2 x2 ( x6 ) 2x10 （ ）
x 2+2+6 2x10= （ ）
x10 2x10= （ ）
= x10 （ ）
⑵下列计算是否有错，错在那里？请改正.
① (xy)2 = xy 2 2 2② (3xy) = 12x 4 y 4 ③ ( 7x3 ) = 49x6
7 3
④ x
343
= x3 x5 x 4 = x 20⑤ ⑥ (x3 )2 = x5
2 2
23
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(x3 y 2 )2⑶计算： (x3 y 2 )3
3
3 n+3 4 2
三.随堂练习：⑴计算：① x x ② x y
5
③ ( 2n 2 3 ab3c3 ) ④ ( 3x2 ) [(2x)2 ]
⑵下列各式中错误的是（ ）
2 3 3 2 6 5 5 10 2 3
（A） x x = x （B） ( x ) = x （C）m m = m （D） ( p) p = p
1 3 x 2 y ⑶ 的计算结果是（ ）
2
1 x6 y 3 1（A） 6（B） x y 3 1 x6 y3 1 6 3（C） （D） x y
2 6 8 8
m 1
x xm+1⑷若 = x8 则m的值为（ ）
（A）4 （B）2 （C）8 （D）10
四．提高练习
2 3 4
⒈计算：⑴ a a a a ⑵ ( x)6 ( x)5 ( x)2
⒉一个正方形的边长增加了 3厘米，它的面积就增加 39 平方厘米，求这个正方形的边长？
⒊已知: 2m = 5 23m 3+m求： 和 2
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n
⒋已知：3 = 7 4n 4+n求：3 和3
101 2
⒌找简便方法计算：⑴ 2100 × (0.5) ⑵ 2 ×3×52 4 2⑶ 2 ×3 ×54
am = 2 b n = 3 a 2m + b3n⒍已知： ， 求： 的值
第二节 整式的乘法
第一课时 单项式与单项式相乘
学习目标
⒈知识与技能：理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算.
⒉过程与方法：经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思
想，发展有条理的思考及语言表达能力.
⒊情感,态度与价值观：培养推理能力,计算能力，协作精神.
学习重点：单项式乘法运算法则的推导与应用.
学习难点：单项式乘法运算法则的推导与应用.
学习过程：
一、学前准备
我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗；
1．判断下列计算是否正确，如有错误加以改正.
(1)a3·a5＝a10
(2)a·a2·a5＝a7；
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(3)(a3)2＝a9；
(4)(3ab2)2·a4＝6a2b4.
2．计算：
(1)10×102×104＝ ；
(2) (a＋b)·(a＋b)3·(a＋b)4＝ ；
(3)(－2x2y3)2＝ .
二、预习导学：
单项式与单项式相乘，怎样计算呢 我们采看这样一个问题.
一个长方体底面积是 4xy，高是 3x，那么这个长方体的体积是多少 学生探讨 4xy·
3x 如何计算
3x＝3·x， 4xy＝4·xy，
因此 4xy·3x＝4·xy·3·x ＝(4·3)·(x·y)·y ＝12x2y.
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
你能说出 a·b,3a·2a,以及 3a·5ab 的几何意义吗
四、典型示例
2
例 1：①3x ( 2xy 3 ) 2 3② ( 5a b ) ( 4b 2c)
解①
解②
思路点拨：可以直接运用法则也用乘法运算律变成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的
形式，单独一个字母照抄.
五、当堂达标
1.下列计算中正确的是（ ）
3 2 2 3
（A） (x 2 ) 2(x3 ) = x12 （B） (3a 2b) (2ab) = 6a 3b2
4 2 2
（C） ( a )( xa) = x2a 6 2（D） ( xy ) (xyz) = x3 y 5
m
2.计算： a(a 2 ) am 所得结果是（ ）
a3m 3m+1 4m（A） （B） a （C） a （D）以上结果都不对
2 2 1 2
3 计算：⑴ ( 2xy )(3x y) ⑵ (5xy) xz ( 10x y)
5
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3 5
( 16a 2bc) 11 abx 2 b 2c 314 1⑶ ⑷ ⑸
3 3 9
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第二课时 单项式与多项式相乘
学习目标
⒈让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，
会进行简单的整式乘法运算.
⒉经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展
有条理地思考及语言表达能力.
⒊培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值.
学习重点：单项式与多项式相乘的法则.
学习难点：整式乘法法则的推导与应用.
一、学前准备
1．单项式与单项式相乘的法则
单项式乘以单项式就是系数与系数相乘，相同字母按同底数的幂相乘，对于只在一个单
项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.
2．完成下列各题.
(1)2x2·(－4xy)＝( )；
(2)(－2x2)·(－3xy)＝( )；
(3)( 1 ab) (2－ · ab2)＝( )；
2 3
27
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(4)12(2 3 5－ ＋ )＝( )；
3 4 6
二、预习导学：
1．在 l2×(2 3 5－ ＋ )中，你是怎样计算的 用什么样的方法较简单 (乘法分配律.)即
3 4 6
12 2 3 5 2 3 5×( － ＋ )＝12× －12× ＋12× .
3 4 6 3 4 6
2．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，
你会计算 m(a＋b＋c)吗
3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证 大长方形的面积有两
种表示方法，一是长为 a＋b＋c，宽为 m，面积是 m(a＋b＋c)；二是三个小
长方形的面积和，即 am＋bm＋cm.它们都是大长方形的面积，所以它们是
相等的，即 m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm.
4．在 m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc 中，“m”是单项式，“a＋b＋c”是多项式，这两者相
乘，从中你能看出什么规律
法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加.
用式子表示为：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
1．当多项式中的项数多于三项时，法则是否成立
2．非零单项式乘以不含同类顶的多项式，其积仍是多项式，积的项数与多项式的项数有什
么联系
四、典型示例
例 1计算： （－4a 2 ）·（３ab 2 －5ab 3）．
解 : （－4a 2 ）·（３ab 2 －5ab 3）
＝ （－4a 2 ）·3ab 2 ＋（－4a 2 ）·（－５ab 3）
＝ －12a 3b 2 ＋20a 3b 3．
概 括
单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．
五、当堂达标
1. 计算：
（1） -3x 3y·（2xy 2 －3xy）； （2） 5x·（3x 2 －xy-y 2 ）．
2. 化简： -2x（x 2 －1）＋2x 2 （x＋1）－x（2x－5）．
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3.解方程：8x(5 x) = 19 2x(4x 3)
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第三课时 多项式与多项式相乘
学习目标
⒈理解多项式乘以多项式的运算法则，能按多项式乘法步骤进行简单乘法运算.
⒉经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，培养计算能力.
⒊发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯.
学习重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.
学习难点：多项式与多项式的乘法法则的应用.
学习过程：
一、学前准备
⑴叙述单项式乘以单项式的法则？
⑵计算;① x(x x2 +1) 1② xy (3xy 2 + 5x2 y)
5
二、预习导学：
怎样计算（m+n）（a+b）,它和 ma+mb+na+nb 这个式子相等吗？证明你的猜想？
29
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概 括
这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加．
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
多项式乘以多项式的这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用 若适用．应
怎样计算
四、典型示例
例 1计算：
（1） （x-2）（x+3）；
（2） （3x－1）（2x＋1）．
解（1） （x-2）（x+3）＝ ＝ ．
（2） （3x－1）（2x＋1）＝ ＝ ．
例 2计算：
（1） （2x－3y）（x＋7y）；
（2） （4x＋5y）（3x－2y）．
解（1）
解（2）
五、当堂达标
⑴计算;① (x + 2)(x 3) ② (3x 1)(2x +1)
⑵计算：① (x 3y)(x + 7y) ② (2x + 5y)(3x 2y)
⑶先化简，再求值： (x 2y)(x + 3y) (2x y)(x 4y)其中： x = 1； y = 2
30
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六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
整式的乘法（1）
复习课
(§14.1～14.2)
复习目标
1、了解幂的运算性质，并会运用它们进行计算；
2、了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则；
3、会进行简单的整式的乘法运算.
复习内容
一、基础知识填空
1、am·an= （m、n 为正整数）；
2、同底数幂相乘， 不变， 相加；
3、（am）n= （m、n 为正整数）；
4、（ab）m= （m、n 为正整数）；
5、积的乘方等于 的积；
6、单项式与单项式相乘，只要将它们的 、 的幂分别相
乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的 一起作为积的
一个因式；
7、单项式与多项式相乘，只要将 分别乘以
31
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的各项，再将所得积相加；
8、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 分别乘以另一个多
项式的 ，再把所得的积相加.
二、典型例题
例题 1：计算：
（1）x8·x·x5； （2）（－a）2·（－a）3；
（3）（－x2）2·（－x）3·[（－x）2]3 （4）[（a－b）2]3·（a－b）2·[（a－b）3]2
例题 2：运用有关法则进行简便运算：
（1）0．24×0．44×12．54； （2）（－8）2007×（－0．125）2008
（3）0．12516×249
例题 3：计算：
例题 4：解答下列各题：
（1）当 x=－2 时，8x2－（x－2）（3x+1）－2（x+1）（x－5）的值是多少？
（2）已知 3ambn-1 与－2a3b2n的积与 8a8b5 是同类项，求 m－n 的值；
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（3）解方程：（3x2－3）（x+4）=3x（x2+4x－3）－2；
（4）已知 a2=m，a3=n，用 m、n 的代数式表示 a13.
三、课时小结
1、幂的运算中要注意认请底数与指数及系数三者的大小，不能把符号当作底
数来进行计算；
2、整式的乘法法则要严格用好，不能只盲目的背公式；
3、无论是单项式还是多项式一定要注意对项的认识，特别是项的系数与符号
第三节 乘法公式
第一课时 两数和乘以两数差
学习目标:
1、会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算.
2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，逐渐掌握
平方差公式.
通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满着
探索性和创造性.
学习重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.
学习难点：平方差公式的应用.
一、学前准备
王剑同学去商店买了单价是 9.8 元／千克的糖块 10.2 千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说
出应付 99.6 元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算
得这么快 ”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式.”你知道王剑同学用的是
一个什么样的公式吗 你现在能算出来吗 学了本节之后，你就能解决这个问题了.
二、预习导学：
1．多项式乘以多项式的法则：_______.
2．利用多项式与多项式的乘法法则说出(x＋a)(x＋b)的结果.
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3．计算：
(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)；
(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y).
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
1．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点 积有什么特
点
2．这四个题目与(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab 有什么关系 你还能再举出这样的几个例子来
吗
3．观察这个公式，你能说出它左边的特征吗 右边呢
4．你能用图形来验证它的正确性吗
5．你能用语言叙述这个公式吗
四、典型示例
例 1计算：
（1） （a＋4）（a－4）；（2） （3a＋5b）（3a－5b）；
（3） （3＋2c）（3－2c）；（4） （－3x－y）（3x－y）．
解（1） （a＋4）（a－4）
＝ a 2 －4 2
2
＝ a －16．
（2） （3） （4）
例 2计算： 198×202．
解 198×202
＝ （200－2）×（200＋2）
＝
＝
＝
五、当堂达标
1.：① (3x 2y)(3x + 2y) = ；② (3a 2b)(__+ 2b ) = 9a 2 4b2
34
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1 4
③100 ×99 =
5 5
2.计算
（1）（5+6x）（5-6x） （2）（3m-2n）（3m+2n） （3）（-4x+1）（-4x-1）
2
（4）（ab+8）（ab-8） （5）（m+n）（m-n）+3n
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第二课时 两数和的平方
学习目标:
1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示.
2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.
3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形
结合的思想.教学重难点
学习重点：掌握公式的特点，牢记公式.
学习难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算.
学习过程：
一、学前准备
1．说出平方差公式.
(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差.)
2． 计算：(x＋a)(x＋b)＝＿＿＿＿＿＿.
二、预习导学：
在(x＋a)(x＋b)中，若 a＝b，那么上述式子将会成为怎样的式子 计算结果是什么 这个公式
的左边和右边各有什么特点
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
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1.(a＋b)2=a2＋b2对吗 为什么
2.你会用(a＋b)2=a2＋2ab＋b2计算(a－b)2.
3.你能用图形验证：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2及(a－b)2=a2－2ab＋b2吗
四、典型示例
例 1：计算：
2 2
（1） （2a-3b） ；（2）（ -3a＋2b） ．
2
解（1） （2a-3b）
＝ （2a） 2 -2·２a·3b＋（3b） 2
2 2
＝ 4a -12ab＋9b ．
解（2）
例 2计算：
2 2
（1） （a－2b） ；（2） （2x+3y） ．
2
解（1） （a－2b）
＝ ［a＋（－b）］ 2
2 2
＝ a ＋2·a·（－2b）＋（－2b）
2 2
＝ a －4ab＋4b ．
（2）
五、当堂达标
1.下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是（ ）
（A）（x-y）（x+y） （B）（x-y）（y-x）
（C）（x-y）（-y+x） （D）（x-y）（-x+y）
2. 计算：
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（1） （x＋4） 2 ； （2）（2x-y） 2 ． （3）（-x+3） 2 ；
2 2 2
（4） （3m－n） （5）（－m-n） ； （6）（－m+n） ．
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
《乘法公式》练习题
一． 判断题：
1． (a + b)2 = a 2 + b 2 ----------------（ ） 2． (x y)2 = x 2 2xy + y 2 ------------（ ）
3． ( a b)2 = a 2 + 2ab + b 2 ------（ ） 4． (2x 3y)2 = 2x 2 12xy + 9y 2 -----（ ）
5． (2x + 3y)(2x 3y) = 4x 2 9y 2 --------------------------------------------------------------（- ）
二． 填空题
6 (2x + 3y)(3x y) = ______________ ； 7． (2x + 5y)2 = _______________ ；
8． (2x 3y)(3x 2y) = ______________ ；
9. (4x + 6y)(2x 3y) = ______________ 1；10 ( x 2y) 2 = ________________
2
11． (x 3)(x + 3)(x 2 + 9) = ____________ ；
12． (2x +1)(2x 1) +1 = ___________ ； 13. (x + 2)(________) = x 2 4 ；
14． (x +1)(x 2) (x 3)(x + 3) = _____________ ；
37
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15． (2x 1)2 (x + 2)2 = ____________ ；16． (2x + ______)(______ y) = 4x 2 y 2 ；
17． (1+ x)(1 x)(1+ x 2 )(a + x4 ) = ______________ ；
三． 选择题：
18．下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是--------------------------------------（ ）
（A） (a 3 + b3 )(a3 b3 ) （B） (a 2 + b 2 )(b 2 a 2 )
C 2（ ） (2x y +1)2x 2 y 1) （D 2） (x 2y)(2x + y 2 )
19．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是------------------------------------（ ）
（A） ( a + b)(a 1 1 b) （B） (x + 2)(2 + x)（C） ( x + y)(y x)（D） (x 2)(x +1)
3 3
20．下列计算不正确的是-----------------------------------------------------------------------（ ）
2
（A） (xy) = x 2 y 2 1（B） (x ) 2 = x 2 1+
x x 2
（C） (a b)(b + a) = a 2 b 2 （D） ( x y)2 = x 2 + 2xy + y 2
四． 解答题：
21. 利用乘法公式计算：
2
(1)３０.８×２９.２ (2) 1002
22．计算：
2
（１）（x－２y）（x＋２y）－（x＋２y） （２）（a＋b＋c）（a＋b－c）；
38
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1
23．化简求值：（１） (2x 1)(x + 2) (x 2)2 (x + 2)2 ，其中 x = 1
2
（2） （x＋２y）（x－２y）－（２x－y）（－２x－y），其中 x＝８，y＝－８；
第四节 整式的除法
第一课时 单项式除以单项式
教学目标：1、经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算；
2、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力．
教学重点：可以通过单项式与单项式的乘法来理解单项式的除法，要确实弄清单项式除法的
含义，会进行单项式除法运算．[]
教学难点：确实弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算．学习过程：
一、学前准备
填空：1、 x4 ÷ x = 2、 an ÷ an 1 = 3、 x6 ÷ = x3
二、预习导学：
一、 探索练习，计算下列各题，并说明你的理由．[]
（1） (x5y)÷ x2
2 2
（2） (8m n )÷ (2m2n)
（3） (a4b2c)÷ (3a2b)
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提醒：可以用类似于分数约分的方法来计算．
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
讨论：通过上面的计算，该如何进行单项式除以单项式的运算？
★ 结论：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一 个因式．
四、典型示例
3 2 3 2 2 4 3
1、计算（1） x y ÷ (3x y ) （2） (10a b c2 )÷ (5a2bc) （3） (2a + b)3 ÷ (2a + b) [来
5
源:]
五、当堂达标
1、计算：
1 6 4 3
（1） 12x3y4z2 ÷ ( 4x2y2z) （2） a b c ÷ 2a c
4
（3） (2mn+1)3 ÷8m2n+1 （4） 6(a b)5 1 ÷ (a b)3
3
2、计算：
3
（1 ） (3a) b2 ÷8a3b
(8a4b3 2 3 2 3 2 （2） c)÷ (2a b ) a bc
3
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
40
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第二课时 多项式除以单项式
学习目标: 掌握多项式除以单项式的方法，并且能运用方法熟练地进行计算
学习重点：多项式除以单项式方法的总结以及运用方法进行计算
学习难点：运用方法进行计算
学习过程：
一、 学前准备
（1）(3ab-2ab) ÷a 尝试用不同的方法计算？
（2）（ ma+mb+mc）÷m 可以有不同的方法计算吗？
二、预习导学：
自主学习课本的内容，回答下列问题：
问题
2 3 2
∵2x(x +3x+4)=（2x +6x +8x）
3 2
∴（2x +6x +8x）÷2x=_________
3 2 2
观察分析讨论：（2x +6x +8x）÷2x= x +3x+4 的条件和结论.多项式除以单项式时，商的每
一项与被除式和除式之间有什么关系？
41
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总结：多项式除以单项式的一般规律
多项式除以单项式， 先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所有的 相加
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
多项式除以单项式，商有几项由谁来决定？和谁的项数相同？
四、典型示例
（1） （12x 4 +9x 2 -3x）÷３x；
（2） （14a 3 b 2 c－7a 2 b 3－28a 2 b 2 ）÷（－7a 2 b）．
解（1） （12x 4 +9x 2 -3x）÷３x；
＝ 12x 4 ÷３x+9x 2 ÷３x-3x÷３x
＝ 4x 3 +3x-1．
解（2）
五、当堂达标
1.计算：
3 2 2 4 3 3 2 2 2 2
(1) (12x －5ax +2a x)÷3x (2) （21x y -35x y +7x y ）÷(-7x y)
2
(3) 【（x+y） -y(2x+y)-8x】÷2x
42
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（4）［8y（2x－y）+x（2x－y）］÷（2x－y）．
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
第四节 整式的除法习题课
1.填空题
(1)6x2÷(－2x)= . (2)8x6y4z÷ =4x2y2.
(3)( 2 xy2－4x3y2)÷(－2xy2)= .(4)(5a3b2+10a2b3)÷ =a+2b.
3
(5) 计算：（9a2b－6ab2）÷（3ab）=_____．
(6) 一个长方形的面积是（x2－9）平方米，其长为（x+3）米，用含 x 的整式表示它
的宽为______米．
2.选择题
(1)下列计算，结果正确的是( )
A.8x6÷2x2=4x3 B.10x6÷5x3= 1 x3
2
C.(－2x2y2)3÷(－xy)3=－2x3y3 D.(－xy2)2÷(－x2y)=－y3
(2) 1若 xmyn÷ x3y=4x2,则( )
4
A.m=6,n=1 B.m=5,n=1
C.m=5,n=0 D.m=6,n=0
(3)计算正确的是( )
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A.(9x4y3－12x3y4)÷3x3y2=3xy－4xy2
B.(28a3－14a2+7a)÷7a=4a2－2a+7a
C.(－4a3+12a2b－7a3b2)÷(－4a2)=a－3b+ 7 ab2
4
D.(25x2+15x2y－20x4)÷(－5x2)=－5－3xy+4x2
(4).（2008，山东，3 分）下列计算结果正确的是（ ）
A．－2x2y3·2xy=－2x3y4 B．3x2y－5xy2=－2x2y
C．28x4y2÷7x3y=4xy D．（－3a－2）（3a－2）=9a2－4
3.计算
(1)(102)3×104÷(－103)3.
(2)［(x+y)(x－y)－(x－y)2+2y(x－y)］÷4y.
第五节 因式分解
第一课时 提公因式法
教师寄语：火把倒下，火焰依然向上
课前准备：笔记本、草稿纸
学习目标:1、了解因式分解的意义；
2、理解因式分解与整式乘法的相互关系；
3、初步了解，运用因式分解的提取公因式法
学习重点：因式分解的概念及用提公因式法分解因式
学习难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解
的方法
学习过程：
一、学前准备
1.常用公式 平方差公式： 完全平方公式： ．
2. 看怎么算，算得快：
(1)2.18×28＋2.18×46＋2.18×26
(2)7.56×1.09＋6×1.09－12.56×1.09
二、预习导学：
1 .完成下列各题：
(1)m(a＋b＋c)＝ ；
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(2)(a＋b)(a－b)＝ ；
(3)(a＋b)2＝
2．根据上面的计算，你会做下面的填空吗
(1)ma＋mb＋mc＝( )( )；
(2)a2－b2＝( )( )；
(3)a2＋2ab＋b2＝( )2
因式分解定义：
因式 分 解→
多项式 （整式）（整式）……（整式）
←
整式乘法
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的______
定义：像这种把公因式提出来因式分解的方法叫做_________
定义：多项式中每一项都有的相同因式称为_________.
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
[观察]2.5×3.17+2.5×6.83+7.5×2.5 中各因数都有 2.5
类似的 ma+mb+mc 中各项都有一个相同的因式_____
2
4ab+2a b 中各项都有一个相同的因式______
找出下列公因式
①9a+9b ②-6x+9y ③6a2b3-9ab2c3 ④5a2b-5ab+10b
⑤x2(a-b)-y2(a-b) ⑥5(x-y)-6(y-x)
思考：找公因式的方法是什么？其特征是什么？
四、典型示例
例 1：下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？
(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；
(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；
(3)2m(m-n)=2m2-2mn；
(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；
(5)3a2+6a=3a（a+2）；
(6)(x+2)(x 2-2)=x -4
(7)4a2-4a+1=4a(a-1)+1
分析：因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；
整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）
例 2： 对下列多项式进行因式分解：
（1）3a＋3b＝___________________； （2）5x－5y＋5z
解：（1）原式＝3×a+3×b 2）原式＝5×x－5×y＋5×z
＝3（ ）； ＝ ( ）
（3）a(x＋y)＋b(x＋y) ＝___________________________
（4）6(x＋2)＋x(2＋x)＝___________________________
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总结： 1、方法规律：
一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：
(1)、各项整数系数的 ；
(2)、各项相同的字母；
(3)、相同因式的指数取最
用提公因式法分解因式的一般步骤：
a、确定公因式
b、把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.
(2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.
五、当堂达标
2 2 2
1．下列各式：①6x y = 2x 3y；② x 4 3x = (x + 2)(x 2) 3x；
③ ab2 2ab = ab(b 2) ； ④ a2 +1= (1 a)(1+ a) =1 a2 ，
其中从左至右的变形是因式分解的有（ ）
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1 个
2．下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3a 3b与b a B．mx + y与 x +my
C． (x + y)2 与 x y D． x2 xy与 (x + y)(x y)
3．观察下列各组式子，其中有公因式的是（ ）
① 2y + x与 x + y；②3a(m n)与 m + n；
③ a b与 2(a +b)； ④ x2 y2与 (y x)2
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
4．计算下列各式：
（1） (m+ 4)(m 4) = （2）3x(x 1) =
（3） 2.18×28＋46×2.18＋26×2.18 =
（4）7.56×1.09＋1.09×6－12.56×1.09 =
5.把下列各式分解因式
（1）4x＋4y= （2）m(a－b)－n(b－a)=
（3） 4p(p－q)－6q(p－q) = （4）2x（a－2）－y（2－a）=
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
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数学笑话：提取公因式法分解因式
文化大革命时期，有一个工人，生了一个儿子，取名爱国.一年后，老二出世了，这位
工人毫不含糊地为他取名爱民. 又过了一年, 老三出生了,憨厚的工人想了又想，给老三取名
为爱党.
老三满月那天，造反派来了，把这位工人抓走了.工人问：“我犯了什么错误, 你们抓我 ”
造反派头头说：“你的大儿子叫什么 ”“爱国.”
“二儿子呢 ”“爱民.”
“爱国爱民，你装得到挺象的，要不是你的三儿子出世，我们还被你这老奸巨滑的反革
命给蒙蔽了.”
“我三儿子怎么拉 ”“三儿子不是叫爱党吗 爱国爱民爱党，提取公因式，爱国民党.”
爱国+爱民+爱党=爱(国+民+党)
第二课时 公式法
教师寄语：忙碌是一种幸福，让我们没时间体会痛苦；奔波是一种快乐，让我们真实地感受
生活；疲惫是一种享受，让我们无暇空虚
课前准备：笔记本、草稿纸
学习目标:理解平方差公式、完全平方公式的意义，弄清平方差公式、完全平方公式的形式
和特点；掌握运用平方差公式、完全平方公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式、完
全平方公式把多项式分解因式（直接用公式不超过两次）
学习重点：运用平方差公式、完全平方公式分解因式
学习难点：运用平方差公式、完全平方公式分解因式
学习过程：
一、学前准备
1.常用公式 平方差公式： 完全平方公式：
2.你能叙述多项式因式分解的定义吗？运用提公因式分解因式的步骤是什么？
二、预习导学：
平方差公式：
1.计算下列多项式的积.
(1)(x+1)(x-1)= (2)(m+2)(m-2)=
2.将下列各式分解因式
(1)x2-1= (2)m2-4=
观察上述算式,你发现什么规律 运算出结果后,你又发现什么规律 再举两例验证你的发现.
3.方解因式 a2-b2=
归纳公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：
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3.想一想：（1）平方差公式的结构和特点是什么？
（2）什么样的式子可以利用平方差公式进行因式分解？
完全平方公式：
1、．计算下列各式： 2、根据左面的算式将下列各式分解因式：
2 2
（1）（m－4n）2= （1）m －8mn+16n =
2 22
（2）（m+4n）2= （2）m +8mn+16n =
2
（3）（a+b）2= （3）a +2ab+b
2=
2 2
（4）（a－b）2= （4）a －2ab+b =
归纳公式：完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
语言叙述：
2 2
图形描述： ±2 + 2 = （ ± ）
问题：能够用完全平方公式分解因式的多项式具有说明特点？
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
试一试：
（1 2）99 -1 是 100 的整数倍吗？你是怎么算的？
整式乘法中我们学习了乘法公式：两数和乘以这两数差等于这两数的平方差：
即 (a-b)(a+b)=_______ 左边是整式乘积，右边是一个多项式，把这个等式反过来就得到
________________ 左边是____________ ，右边是_______________ , 请你判断一下，第
二个式子从左到右是不是因式分解？
归纳：像这样将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为______
议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
（1） x - y (2) x + y (3) -x - y (4) -x + y (5) 64 -a (6) 16x -9y
2 小组同学比一比：看谁算的又快又准确：①572－562 ； ②962－952 (17； ③ )2 8－( )2.
25 25
看一看：观察 a2±2ab+b2=（a±b)2,有什么特征 ？
左边的特点有（1）多项式是 项式；
（2）其中有两项 号，且此两项能写成两数或两式的 和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的 倍.
右边的特点：这两数或两式和（差）的
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四、典型示例
例 1：体验用平方差公式分解因式的过程
（1）x2－4＝x2－22＝ (x＋2)(x－2)
（2）x2－16 ＝( )2－( )2＝ ( )( )
（3）9－y2＝( )2－( )2＝ ( )( )
（4）1－a2 ＝( )2－( )2＝ ( )( )
总结：应用平方差公式分解因式的特点：
1. 两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的___的积. 即 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)
2. 左边特征是：__________________________右边特征是：_________________________
从上面的过程我们可以发现利用平方差公式分解因式必须把所给多项式可以化成平方差的
形式，这里的关键是把多项式的项化成平方，下列式子你会把它化成平方吗？
6 2 2 2 4 4
（1）25 （2） 0.16a b （3）4x （4）4x y (5) 9(x-2y)
例 2：把下列各式分解因式：
(1) a2+6a+9=
2 ± 2 + 2 = ± 2（ ）
(2) (a+b)2+6(a+b)+9=
点评：由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得
到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个 a2－b2=（a+b）（a－b）、a2±ab+b2=（a±b）2
在运用公式因式分解时，要注意：每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、
次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是
二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；
五、当堂达标
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
2 2 2 2 2 2 3 3
A.-a +b B. –a -b C. a +b D. a -b
2 2
2.（x+1） - y 分解因式应是（ ）
A.（x+1-y）(x+1+y) B.(x+1+y)(x-1+y) C.（x+1-y）(x-1-y) D.(x+1+y)(x-1-y)
3．若 4x2+mxy+49y2 是一个完全平方式，那么 m 的值为（ ）．
A．±14 B．14 C．±28 D．28
4. x2+ xy+16y2 2是完全平方式，则 a= ． 4x mx + 9是完全平方式，则 m=
5. 把下列各式分解因式：
(1) x2y2-2xy+1= (2) 25a2+10a+1=
(3) 9a2-4 = （4 2）a -25=
6.看谁能最快得出下列各式分解因式的结果：
（1）x2-4xy+4y2= （2）4a2-12ab+9b2=
（3）a2b2+2ab+1= (4) 4x2－9y2=
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
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七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
弟十四章 勾股定理
第一节 勾股定理
第一课时 直角三角形三边的关系
教师寄语： 学之广在于不倦，不倦在于固志
课前准备：方格纸、三角板、直尺
学习目标:⒈理解并掌握勾股定理的内容和验证，能够灵活运用勾股定理及其计算；
⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养动手操作、合作交流、
逻辑推理的能力
学习重点：勾股定理的由来，并用勾股定理解决一些简单问题
学习难点：利用方格纸计算面积发现勾股定理，对于勾股定理的得出，首先需要我们通过动
手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要我们具备一定的分析、
归纳的思维方法和运用数学的思想意识.
学习过程：
一、学前准备
1．在△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B= ．
2．在△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠A= ，∠B = ．
3．一个角比它的余角的 2 倍大 30°，求这个角的大小．设这个角为 x，则可列方程
为 ．
4．在一个等腰三角形中，已知其中一个内角为 80°，则另外两个内角的度数分别
是 ．
二、预习导学：
1. 动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量它们的三条边，填写好下表．观察三条边
的平方有什么关系？(其中 a、b是两直角边长，c是斜边长)
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a2 b2 c2
2．阅读本节内容，说说自己发现了什么？
（1）.用文字语言表达勾股定理的内容：
勾股定理：直角三角形 等于
（2）.用几何语言表述： 在 RtΔABC 中，若∠C＝ 90°，
则：___________2+___________2=___________2
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
1.将预习表格中的数据和你小组的同学共享，看是否发现的规律一样？并互相表述你
所发现的规律.
我们古代把直角三角形中较短的直角边称为 ，较长的直角边称为 ，
斜边称为 ．
从而得到著名的勾股定理： ．
如果用 a、b和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
2. 分别用下面的图形证明上述结论（方法：面积法),并讨论是否还可以用其它方法证明.
做 4 个一样的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，如右图拼
成一个大的正方形 ,里面一个小的正方形 .从图上可以看到，这两个正方形的边长分别
是 ，大的正方形是由 个一样的直角三角形和 个边长为 的小正方形组
成.
大正方形的面积可以表示为
也可表示为 ．
则有
四、典型示例
例 1：如图所示，隔湖有两点 A,B,从与 BA 方向成直角
的 BC 上的 C 点，测得 CA=50 米，CB=40 米.求：A,B
两点的距离.
分析： （1）由题意可知，三角形 ABC 是直角三角形，A,B
两点间的距离就是 AB 的长，所以用勾股定理可以求出.
解：由题意知ΔABC 是直角三角形，勾股定理知
AC2=BC2+AB2,
又 AC=50,BC=40,于是 AB2= 2+ 2=
由 AB 为正，
所以 AB= 米.
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例 2：如图所示，一根旗杆在离地面 9 米的 A 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 米处的
C 处，旗杆折断之前有多高？
A
9
B 12 C
分析:本题考查勾股定理的证明，解题时需要把本题的问题设法转化为求直角三角形的三边
问题，求解思路为先用勾股定理求 AB,再由旗杆折断之前的高度=AC+AB,求出结果.
解:如图，由题意 AB2= 2+ 2= ,所以 AB= ,故旗杆的高为 米.
五、当堂达标
1.设 a、b、 c是直角三角形的三边,则 a、b、 c不可能的是（ ）.
A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15
2．一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是 ( )
A．斜边长为 25 B．三角形的周长为 25 C．斜边长为 5 D．三角形面积为 20
3. 直角三角形的周长为 12,斜边长为 5,则面积为( ).
A.12 B. 10 C. 8 D. 6
4．在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ，
(1)如果 a=3，b=4，则 c= ；
(2)如果 a=6，b=8，则 c= ；
(3)如果 a=5，b=12，则 c= ；
(4)如果 a=15，b=20，则 c= ．
5.如图,写出字母代表的正方形面积,A=__________________B=__________________.
6.如图,各图形中未知数到底是多少
a=__________________,x=__________________,x+2=__________________.
六、课堂小结
1、我的收获：
2、我不明白的地方：
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七、课后促学
1、课后作业：
2、预习：
3、复习：
阅读材料： 总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。迄
今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法
在数学史上被传为佳话。
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的。
事情的经过是这样的：
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏
黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的
一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由
于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小
男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见
那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜
边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5
和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的
平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”
伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思
考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简
捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
第二课时 直角三角形的判定
教师寄语： 天下皆知取之为取，而莫知与之为取
课前准备：三角板、直尺、铅笔
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学习目标:1.探索并掌握直角三角形判定方法.
2.通过对直角三角形判定的探究.
3.通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形
熟记一些勾股数.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用
学习重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角
三角形.
学习难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形
的知识解题.
学习过程：
一、学前准备
1.怎样判定一个三角形是等腰三角形？
2.什么叫直角三角形
二、预习导学：
1.你以前用什么方法判断一个三角形是直角三角形呢？
2.阅读课本，课本上介绍什么样的方法判断三角形是直角三角形的？
3.课本上介绍的方法和我们上节学习的勾股定理是何种关系呢？
4.你能解释“古埃及人画直角”的理论根据吗？
5.勾股数：满足 a2+b2=c2 的三个整数，称为勾股数.
对于任何一组已知的勾股数，都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数.
你还能写出哪些勾股数
三、合作交流：你能回答下列问题吗 与同学交流．
画一画。画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
（要求 1：小组同学尽量选各不相同的一组数据画图。也可由组长做适当分工。）
（1）：3、4、5 ；（2）：3、6、8；（3）：6、8、10 锐角三角形；
量一量.用你的量角器分别测量一下小组内同学画出的三个三角形 直角三角形；
的最大角的度数，并判断上述你们所画的三角形的形状：（按角分类） 钝角三角形.
请比较