教学内容：植树问题
一、教学目标
1.知识与技能：通过探索，发现两端都栽的植树问题的规律，并运用这一规律解决实际生活中的问题。
2.过程与方法：通过尝试探索、实验、直观演示、观察、讨论等方法让学生经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略
。
3.情感与态度：感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养应用意识和解决实际问题的能力，增强学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
1.教学重点：利用生活中的问题，通过动手操作的实践活动让学生发现分的段数与植树棵数之间的关系，并能利用规律来解决简单植树的问题。
2．教学难点：培养学生从实际问题中发现规律，应用规律解决问题的能力。
三、教学、具准备：课件、小棒等
四、教学过程
（一）初步感知棵树与间隔数
师：同学们你们喜欢玩游戏吗？今天老师想和你们玩个排队的游戏，下面先请三位同学到前面来。
师：面向老师排成一路纵队，每相邻两位同学之间的距离是1米。
师：排得不错。下面同学请你们当个小裁判，看看老师说的对吗？从第一个同学到最后一个同学的距离是3米，你们同意吗？
生：不同意……
师：每相邻两位同学之间的距离叫做间隔。现在3名同学排队有几个间隔；（2个）从第1名同学到第3名同学之间的距离叫做全长，全长几米？（2米）如果是4名同学排队呢？（再让一学生上来）
生：4名同学排队有3个间隔，全长3米。
师：如果是5名同学排队呢？
师：在刚才同学的排队过程中你有什么发现?（排队人数比间隔数多1,间隔数比人数少1）
师：真不错，请同学们回到座位。
师：刚才同学们站排时我们知道每相邻两位同学之间有间隔，在现实生活中，哪还有间隔？像排队、栽树等这样的问题统称为植树问题，这节课我们就一起研究和解决一些简单的植树问题。（板书：植树问题）我们今天只研究两端都栽的植树问题。
（二）新授。
1.植树问题与同学排队建立联系，找出两端都植树棵数与间隔数的关系
（1）师：我们学校正在进行基础设施改造，为了美化校园环境，想在校园南侧长20米的围墙边种一排树，请同学们利用小棒或者动笔画一画当一回设计师，然后将你的设想讲给小组同学听。
（2）师：谁想说说你的设想。
学生汇报：可能出现的情况：间隔1米、2米、4米、5米、10米等。
（3）师：同学们设计的方案都非常好，下面我们一起来总结一下。课件出示各种设计方案
（4）师：再观察你们的设计方案看看你有什么发现？（间隔数比棵数少1，棵数比间隔数多1）你们还能用一个算式来概括吗？板书：间隔数+1
=棵数。你们还有什么发现吗？
生：全长÷间隔=间隔数
间隔×间隔数=全长（板书）
（5）同桌互相记忆公式。
（6）现在有一些同学准备植树，你能帮他们算算需要多少棵树苗吗？课件出示例1
：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要栽多少棵树苗？
2.学生独立完成。
列式计算：100÷5=20（个）
20＋1=21（棵）
学生汇报想法：这条小路的长100米；每两棵树之间的间隔5米，要想求种树的棵数，先要求间隔数用全长除以间隔等于间隔数，间隔数加1求出种树的棵数。
（三）巩固练习
1.园林工人在一条216米的公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了多少棵？
2.要在全长2千米的满洲里路两旁重新安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一座。一共要安装多少座？
3.2路公共汽车一共有13个站点，相邻两站的距离是1千米。2路车从起点驶到终点共有多少千米？
4.中央桥的大钟5时敲5下，8秒钟敲完。12时敲12下，需要多长时间？
五、课后作业：有六个苹果，用一根五米长的绳子每隔一米拴一个。这根绳子的长度够吗？（三种方法解答）
六、总结：通过这节课的学习，你们有什么收获？
今天我们学习的植树问题仅仅是两端都栽时的情况。在以后的学习中，我们还会学到两端不栽，一端栽，封闭图形的植树问题。
板书：
植树问题（两端都栽）
全长÷间隔=间隔数
间隔数+1=棵数
间隔×间隔数=全长
100÷5=20（个）
20＋1=21（棵）
答：一共需要栽21棵树苗。植
树
问
题
教学内容：教材106页例1
教学目标：
通过学生自主探究、合作交流，让学生在经历由现实问题到构建数学模型的过程中，理解并掌握不封闭线路中植树棵数与间隔之间的关系。
培养学生通过“化繁为简”从简单问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，体会数形结合的思想。
教学重点：
发现并理解两端都栽的植树问题中间隔树与棵数的规律。
教学难点：
运用“植树问题”的解题思想解决生活中的实际问题。
教学准备：PPT课件
教学过程：
创设情境，引入新课
师生共同活动，找出手上的数学知识。
师：（伸出两根手指）你们都看到了什么？这两根手指间有没有距离呢？
师：我把它们之间的距离（即间隔）用一条线段表示。同时问：一条线段有几个端点呢？（两个）
师：现在老师就用一条线段表示（间隔），端点代表手指，同学们能理解吗？
那么3根手指呢？用几条线段（即间隔）表示呢？有几个点呢？
4根呢？5根呢？
由此，段数（间隔数）和点之间能用等量关系式表示吗？
（2）引入树与树的间隔
师：现在我假设这条线段长20米，仔细观察一下图片，实际这些点把线段平均分成了几段？（4段）每段长多少米？知道了每段长都是5米，怎么求段数？
有几个点呢？
那么，请同学们继续发挥想象的翅膀，我们不把点当成手指，能不能想像成树呢？（能）
（出示幻灯片，让学生观察树图片）
二、由浅入深，探究新知
下面我们来看看这两道题：
20米的线段，平均每5米分成一段，共分几段？
20米的一段路、每隔5米种一棵树，共种几棵呢？（两头都种）
问：这两道题，你怎么求呢？有什么区别？
那么25米的一段路呢？又可以平均分为几段？种几棵树呢？我们如果继续研究下去，30米的一段路，又可平均分为几段，种几棵树呢？35米呢？……
（1）建立树种在点上理念。
（2）延伸新知。现实生活中，除了园林工人把树种在点上外，还有什么人会把东西放在点上呢？（比如，安装路灯、插彩旗、衣服纽扣……等等）
三、交流辨析，建立模式
出示例题
问：看了这道题，你知道了什么？
你认为一共要栽多少棵树？
师：你是怎么解答的？
追问：在两头种的情况下，树的棵树为什么要比段数多“1”呢？这个“1”多在哪儿呢？能在图中指一指吗？根据前面所学的知识你能说一说吗？
我们一起来回忆一下，我们是怎么解决这个问题的呢？
请看表格：
间隔数（段数）
树的棵数（点数）
20÷5=4
4+1=5
25÷5=5
5+1=6
30÷5=6
6+1=7
……
……
100÷5=20
20+1=21
……
……
我们由此得出：间隔数
+
1
=
棵数
↓
↑
段
点
这样，我们就明白了，这两个数相除就是把这个数平均分成多少份（即多少段）；而两头都种时，求树的棵数就是看线段有多少个点，有多少个点就种多少棵树。（也就是树种在点上：段数+1=棵树）
四、巩固练习，提升认识
练习1、2、3、4。（第4题随机）。
五、总结，延伸
这一节课，我们知道了两头都种树的植树问题的解决办法，明白了树种在点上。那么，请同学们想一想：如果你们去100米的小路边上种树，正好小路的尽头是一座房子，那么该怎么解决呢？能种多少棵树呢？路中间有一座房子呢？请同学们回去后好好想一想。
附板书：
段数+1=点数
20÷5=4
4+1=5（棵）
25÷5=5
5+1=6（棵）
……
100÷5=20
20+1=21（棵）
间隔数+1=棵数
↓
↑
段数
点五年级上册
《数学广角——植树问题》教学设计
学习内容
人教版小学数学五年级上册第七单元
数学广角——植树问题例1及相关内容。
教材分析
本单元“数学广角”主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，借助线段图等手段让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的简单实际问题。
本节课的内容是两端都要栽，让学生理解间隔数和植树的棵树之间的关系，由此引出现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头、架设电线杆等，从而解决生活中的问题。
学情分析
以前这些内容为四年级下学期，新编教材改为五年级上册，五年级的学生已经初步积累了一些探索规律的经验，具备一定的数学思想，而且能用简单的线段图表示一定的数量关系，但容易将两端都栽、一端栽另一端不载、两端都不载三种情况混淆，因此帮学生建立数学模型很重要。
学习目标
知识与技能目标：学生从生活情境中理解两端都栽的植树问题中植树棵树与间隔数之间的关系，并能解决生活中简单的实际问题。
过程与方法目标：学生在解决问题的过程中，发现规律，找到解决问题的有效方法，经历由现实问题到数学建模的过程。
情感态度价值观目标：学生在探索、建模、用模的过程中体验生活中处处有数学，并培养学生热爱家乡，为建设家乡努力学习的思想感情。
重点难点
重点：理解两端都栽的植树问题中植树棵树与间隔数之间的关系，并能解决生活中的实际问题。
难点：学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程。
教法学法
学法：小组合作学习，画线段图探究其规律。
（自主探究法、合作交流法、画图法）
教法：1．任务驱动法让学生产生主动解决问题的兴趣。（任务驱动法）
2．直观演示法。
教学准备
多媒体课件。
学生习题纸。
教师演示线段图实物图。
教学流程
媒体运用
一、情境导思，生成任务。
1．图片引入。（多媒体出示图片）
在学习新知识之前我们先来看一组图片，这是我们举行的什么活动？小手拉大手，共筑美好家园社会实践活动）口号是：绿色环保，举手之劳，从我做起，从点滴做起。要建设美好的绿色家园，就要多植树造林。其实，上至国家领导人，下至中小学生，很多人都积极的投身于植树造林活动中。今年春天西尚庄村进行了植树绿化，我们学校也种了很多花树和果树，植树不仅能美化环境，净化空气。如果我们用数学的眼光看待植树，这里面还包含着十分有趣的数学知识呢？这节课我们就来一起研究植树问题！
2．板书课题。“植树问题”
3．出示目标。默读目标，制成动画效果。
4．出示任务。
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
对于题中的语句你怎样理解？（重点理解“一边”“两端要栽”）
你觉得怎样计算？
这样对吗？检验一下。
你能用线段图表示吗？100m有点长，我们先用20m米画一画吧！
怎么画呢？用线段表示路，用树画可以，也可以用竖道来画。
二、自主
学习，合作探究。
小组合作学习，探究解题规律。
出示合作学习要求：
（1）先用线段图画出可以栽多少棵。
（2）列式并解答出来。
（3）在列举不同的数进行验证，看你能发现什么规律？
学生在习题纸上画图解答。
教师巡视。
三、交流点拨，建立模型。
1．汇报学习成果。
哪个小组来汇报一下你们的学习成果？
（1）画出线段图。
一共需栽多少棵树？怎么计算？
（2）列式计算。
20÷5+1=5（棵）（能列综合算式最好）
（3）验证规律。如果全长25m怎样画图？
不用画图你能猜测一下35m，50m，80m，100m要栽几棵树吗？
全长
间隔数
栽的棵树（最后写）
20
4
5
25
5
6
35
7
8
40
8
9
80
16
17
100
20
21
……
……
（4）发现规律。你们能用一个式子把规律表示出来吗？
因为两端都要栽，所以栽树的棵树比间隔数多1。
棵树=间隔数+1
全长÷间隔
（5）变式练习。
①同学们在全长100m的小路一边植树，每隔10m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
②同学们在全长200m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
（6）总结方法。
在解决问题的过程中数据比较大，我们可以把数据变小，从简单的情况入手解决复杂的问题，这就是数学上化繁为简的思想。
2．建立模型。
同学们，生活中还有哪些现象跟我们今天所学的知识也有点类似呢？（安装电线杆、楼梯、汽车站、锯木头……）
教师随机出示课件，让学生建立起模型，这里你能找到“树”和“间隔”吗？
四、巩固拓展，当堂检测。
1．巩固练习。根据题意选择正确答案的序号填在括号里。
（课件出示习题，学生用手势表示即可。）
（1）5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站的距离是1千米。一共设有多少个车站？
①12÷1=12（个）
②12÷1+1=13（个）
③12÷1-1=11（个）
（2）园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了15棵，从第一棵到最后一棵的距离有多远？
①6×15=90（米）
②6×（15-1）=84（米）
③6×（15+1）=96（米）
2．回顾反思。
今天我们学习了什么内容，你有什么收获？(略)
3．拓展延伸。（课件出示世界著名数学问题）
数学史上有个“20棵树”的植树问题，几个世纪以来一直都引起科学家的研究兴趣。这就是：‘20棵树，若每行四棵，问怎样种植，才能使行数更多？
??早在十六世纪，古希腊等国完成了十六行的排列。（出示图1）
??十八世纪，美国数学大师山姆完成了十八行图谱。（出示图2）
??进入二十世纪，数学爱好者绘制出了二十行图谱，创造了新纪录并保持至今。（出示图3）
??(结语)今天进入21世纪，20棵树，每行4棵，还能有更新的进展吗？数学界正翘首以待！期待着同学们大胆探索、积极思考，相信你们一定会有更大的收获！
4.全课小结。
今天我们一起研究了植树问题，体会到了生活中处处有数学，老师希望你们都像一棵棵健壮的小树苗，在学校、老师的心在栽培下，通过自身的不懈努力，将来都能长成参天大树，成为祖国建设的栋梁之材。
4．当堂检测。
（1）在一条全长2KM的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
（2）工人们正在架设电线杆，相邻两根间的距离是200m。在总长3000m的笔直路上，一共要架设多少根电线杆？（两端都架设）
五、评价多元，及时有效
本节课采用小组合作计分的方法进行学习评价。
?
【自主探究，合作交流】
在一条20米的路上植树，如果每5米种一棵，一共可以种多少棵？
画图表示：
列式计算：
列举数字验证：
全长
间隔数
棵树
20
……
……
……
总结规律：
【巩固练习，当堂检测】
一．根据题意选择正确答案。
1．5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站的距离是1千米。一共设有多少个车站？（
）
①12÷1=12（个）
②12÷1+1=13（个）
③12÷1-1=11（个）
2．园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了15棵，从第一棵到最后一棵的距离有多远？（
）
①6×15=90（米）
②6×（15-1）=84（米）
③6×（15+1）=96（米）
4．当堂检测。
（1）在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？（
）
（2）小明家门前有一条35m的小路，绿化队要栽路旁栽一排树。每隔5m栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？
