第二章 圆锥曲线与方程
2.1
曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
[目标]
1.了解曲线与方程的概念，能够推断曲线与方程的对应关系.2.会判定一个点是否在已知曲线上．
[重点]
由曲线方程讨论曲线的性质．
[难点]
对曲线与方程关系的理解．
知识点 曲线的方程和方程的曲线
[填一填]
在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
①曲线上点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
[答一答]
1．曲线与方程的概念中关系①②分别从什么角度强调曲线与方程的概念？
提示：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外；“以这个方程的解为坐标的点
都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏．
2．“方程的曲线”与“曲线的方程”一样吗？
提示：曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．
3．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
提示：若点P在曲线上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上．∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
曲线与方程的“纯粹性”与“完备性”
1．定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”．
2．定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.
类型一 曲线与方程的概念
【例1】 判断下列命题的正误，并说明理由．
(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2；
(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.
【分析】 “曲线与方程”的关系需要满足以下两个条件：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
【解】 (1)不正确．过点A(2,0)且平行于y轴的直线是在y轴右侧，距离y轴2个单位长，与y轴平行的一条直线．直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，而以|x|＝2的解为坐标的点不全在直线l上．
(2)不正确．到两坐标轴距离相等的点的轨迹是第一、三象限的角平分线(y＝x)和第二、四象限的角平分线(y＝－x)，以方程y＝x的解为坐标的点都在到两坐标轴距离相等的直线上，而直线上的点的坐标不全是方程y＝x的解．例如：第二、四象限的角平分线上的点除(0,0)外，其坐标都不是方程y＝x的解．
义中的关系①或②仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性.
“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：判断曲线与方程的关系，关键是要说明定义中的两个条件是否都成立．本题仅包含其中一个条件成立．根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．
类型二 曲线与方程的判定问题
【例2】 (1)方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？
(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
【分析】 为了判断方程表示什么曲线，当给出的方程不易看出是什么曲线时，需对原方程变形．
【解】 (1)由方程(x＋y－1)＝0可得
或.
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，
∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴，∴.
∴方程表示的图形是点A(1，－1)．
判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.另外，变形的方法还有配方法、因式分解法等.
方程y＝表示的曲线是( B )
解析：方法1：对于方程y＝，当x>0时，y＝，图象在第一象限；当x<0时，y＝－，图象在第二象限．故选B.
方法2：因为y＝，x≠0为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A、C.又x>0时，y＝>0，故选B.
类型三 点与方程表示的曲线的关系判定
【例3】 已知方程x2＋4x－1＝y.
(1)判断点P(－1，－4)，Q(－3,2)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值；
(3)求该方程表示的曲线与曲线y＝2x＋7的交点的坐标．
【分析】 对于(1)和(2)，可将点的坐标代入曲线方程进行判断和求解；对于(3)，可通过解方程组求得交点坐标．
【解】 (1)因为(－1)2＋4×(－1)－1＝－4，(－3)2＋4×(－3)－1≠2，所以点P坐标适合方程，点Q坐标不适合方程，即点P在曲线上，点Q不在曲线上．
(2)因为点M在此方程表示的曲线上，
所以2＋4×－1＝m－1，即m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝－4.
(3)联立消去y，
得x2＋4x－1＝2x＋7，
即x2＋2x－8＝0，
解得x1＝2，x2＝－4，于是y1＝11，y2＝－1，
故两曲线的交点坐标为(2,11)和(－4，－1)．
?1?判断某个点是否是曲线上的点，就是检验这个点的坐标是否是该曲线的方程的解，若适合方程，就说明这个点在该曲线上；若不适合，就说明点不在该曲线上.
?2?求两条曲线的交点坐标，就是联立两条曲线的方程，构成方程组，然后解方程组，方程组的解就是交点的坐标，方程组解的个数就是两曲线交点的个数.
(1)判断点A(1,3)，B(2,2)是否在方程x2＋2x－y＝0表示的曲线上；
(2)已知方程xy＋3x＋ky＋2＝0表示的曲线经过点(2，－1)，求k的值．
解：(1)因为12＋2×1－3＝0，所以点A(1,3)在方程x2＋2x－y＝0表示的曲线上；因为22＋2×2－2＝6≠0，所以点B(2,2)不在方程x2＋2x－y＝0表示的曲线上．
(2)由题意可知，(2，－1)是方程xy＋3x＋ky＋2＝0的一组解，所以－2＋6－k＋2＝0，解得k＝6.故k的值是6.
类型四 素养提升
对曲线与方程概念理解的错误
【例4】 给出下列命题：
①设A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，则△ABC的边AB的中线方程为x＝0；
②到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是y＝；
③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2；
④y＝x与＝1是相同的曲线的方程．
其中正确命题的序号是________．
【错解】 ①②③④
【错因分析】 曲线C的方程是f(x，y)＝0，方程f(x，y)＝0的曲线是C，必须同时满足：(1)曲线C上的点的坐标都满足方程f(x，y)＝0；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
命题①中，△ABC的边AB的中线上的点都满足x＝0，但是以x＝0的解为坐标的点不都在△ABC的边AB的中线上，如点(0，－3)只满足条件(1)，不满足条件(2)，故命题①错误．
同理，命题②只满足条件(2)，不满足条件(1)，也是错误的，命题③两个条件同时满足，是正确的．
命题④中，＝1?y＝x(x≠0)，它的曲线比y＝x的曲线少一个点(0,0)，因此它们不表示相同的曲线．
【正解】 ③
下列命题正确的是( D )
A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上截距是－2的直线方程
B．△ABC的三个顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3)，则AB边上的中线的方程是x＝0
C．到y轴距离为2的点的轨迹方程为x＝2
D．方程y＝表示两条射线
解析：A中方程＝1等价于y＝x－2(x≠2)，表示斜率为1，在y轴截距是－2的直线除去点(2,0)的部分；B中AB边上的中线方程是x＝0(0≤y≤3)；C中到y轴距离为2的点的轨迹方程为|x|＝2；D中y＝等价于y＝|x＋1|＝表示两条射线，故选D.
1．下列各对方程表示的是相同曲线的是( D )
A．x＝y，＝1
B．x＝y，y＝
C．|y|＝|x|，＝
D．|y|＝|x|，y2＝x2
解析：A、B、C中各对方程均不是同解方程，其中A.x＝y与y＝x(x≠0)，B.x＝y与y＝|x|，C.y＝±x与y＝x(x≥0)，故选D.
2．与y轴距离等于2的点的轨迹方程是( D )
A．y＝2
B．y＝±2
C．x＝2
D．x＝±2
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点．
解析：由得或
或或
即表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)．
4．如果方程ax2＋by2＝4的曲线过A(0，－2)，B(，)两点，则a＝4，b＝1.
解析：分别将A、B两点坐标代入方程得
解得
5．请分别画出下列方程的曲线．
(1)y＋＝x＋；
(2)yx＝x2；
(3)＝1；
(4)lgy＝lgx.
解：依次如下图．
注：(2)图包括y轴．
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-2.1.2 求曲线的方程
[目标]
1.掌握求曲线方程的方法步骤.2.了解解析法的思想，体验用坐标法研究几何问题的方法与过程.3.培养数形结合的能力．
[重点]
利用求曲线方程的一般步骤求曲线方程．
[难点]
求曲线方程中的“建系”、“设点”、“化简方程”及“检查曲线的完备性”是本课时的难点．
知识点一 坐标法与解析几何
[填一填]
1．坐标法与解析几何
借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就是坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．
2．平面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；
(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．
[答一答]
1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？
提示：只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题．
知识点二 求曲线方程的一般步骤
[填一填]
[答一答]
2.
如何建立恰当的坐标系？
提示：建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同．
3．为什么第五步可以省略？
提示：一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，所以通常情况下证明可以省略，不过特殊情况要进行说明．
4．“轨迹”与“轨迹方程”是一回事儿吗？
提示：(1)动点的轨迹方程实质上是轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)＝0，有时根据需要要在方程后指明变量的取值范围．
(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．
1．步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理．如定点作为原点，互相垂直的直线作为坐标轴等．合理地建立坐标系，能使运算更方便；
2．步骤(2)中可以不必写出，也就是说可以根据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并；
3．步骤(5)中没有特殊情况可以省略不写．如有特殊情况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除．
类型一 直接法求曲线方程
【例1】 如图已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，求动点P的轨迹方程．
【分析】 本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后由·＝·得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可得P的轨迹方程．
【解】 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，＝(x＋1,0)，＝(2，－y)，＝(x－1，y)，＝(－2，y)，
由·＝·，
∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，
即动点P的轨迹方程为y2＝4x.
求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明?五步法?.在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明.一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去.)
已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是( B )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0)
D．y＝(x≠±1)
解析：设动点P的坐标为(x，y)，
则kPA＝(x≠－1)，kPB＝(x≠1)．
∵kPA·kPB＝－1，
∴·＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．
类型二 定义法求轨迹方程
【例2】 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
【分析】 关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中点．
【解】 解法一：(直接法)
如右图，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得
|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以x2＋(y－)2＝(去掉原点)．
解法二：(定义法)
如右图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋(y－)2＝(去掉原点)．
如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义写出轨迹方程．
另外也要注意以下三点：
(1)要熟悉各种常见的曲线的定义．
(2)要善于利用数形结合的方法，利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系．
(3)根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程．
定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．
解：设M(x，y)，O为坐标原点，由直角三角形的性质知|OM|＝|AB|，∴M到O的距离是3，
故其轨迹方程为x2＋y2＝9.
类型三 代入法求轨迹方程
【例3】 已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
【分析】 由重心坐标公式，可知△ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线y＝x2＋3上运动，故重心与C相关联．因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y＝x2＋3即可．
【解】 设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得
∴
∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，
∴3y＝(3x－6)2＋3，
整理，得y＝3(x－2)2＋1.
故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.
?1?本例是求轨迹方程中的常见题型，难度适中.本题解法称为代入法?或相关点法?，此法适用于已知一动点的轨迹方程，求另一动点的轨迹方程的问题.
?2?应注意的是，本例中曲线y＝x2＋3上没有与A、B共线的点，因此，整理方程3y＝?3x－6?2＋3就得到轨迹方程；若曲线方程为y＝x2－3，则应去掉与A、B共线时所对应的重心坐标.
已知圆C：(x＋1)2＋y2＝1与定点P(0,2)，动点M在圆C上移动，Q是PM上的点且满足＝2，求Q点的轨迹方程并说明Q点的轨迹．
解：设Q(x，y)，M(x0，y0)，则由题意可得
(x－x0，y－y0)＝2(－x,2－y)，
∴，即①，
∵M(x0，y0)是圆上的动点，故(x0＋1)2＋y＝1 ②，
∴将①式代入②式可得
(3x＋1)2＋(3y－4)2＝1，
即(x＋)2＋(y－)2＝.
故所求动点Q的轨迹方程为(x＋)2＋(y－)2＝，其轨迹是以(－，)为圆心，以为半径的圆．
类型四 素养提升
应用平面几何性质求轨迹方程
【例4】 已知点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长等于圆O的半径与|MQ|的和，求动点M的轨迹方程．
【规范解答】 如图，过M作圆的切线MN，N为切点，设M(x，y)．由题意知|MN|＝|MQ|＋|ON|.
由于|MN|＝
＝，
|MQ|＝，|ON|＝1，
∴＝＋1.
两边平方整理得2x－3＝，
再两边平方整理得3x2－y2－8x＋5＝0.
即：9(x－)2－3y2＝1.
∵2x－3＝中2x－3≥0，∴x≥.
∴点M的轨迹方程为9(x－)2－3y2＝1(x≥)．
【解后反思】 1.在解决平面几何问题时，要注意数形结合思想的使用，如本例中切线长的表示．
2．在对方程的化简整理过程中要注意隐含条件的挖掘，确保变形的每步都为恒等变形，如本例中的限制条件x≥.
过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：设O为坐标原点，∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M.
∴|MP|＝|MO|.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线．
∵kOP＝＝2，OP的中点坐标为(1,2)，
∴点M的轨迹方程是y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
1．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为( B )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
解析：由题意知，点P的轨迹满足圆的定义，圆心为(1，－2)，半径为3，所以P点轨迹方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( B )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，则其面积是22·π＝4π.
3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是x＋y－1＝0.
解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线．
4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.
解析：设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，
又半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.
∴|PB|2＝2.
∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.
5．已知线段AB在直线y＝－2上移动，|AB|＝4，O为坐标原点．求△AOB的外心M的轨迹方程．
解：∵A，B在直线y＝－2上，且|AB|＝4，
故设A(x1，－2)，B(x1＋4，－2)，
∴直线OA的垂直平分线为y＝－1，直线AB的垂直平分线为x＝x1＋2.联立
消去x1，得x2＝4(y＋2)．故M的轨迹方程为x2＝4(y＋2)．
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-2.2.1 椭圆及其标准方程
[目标]
1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程.2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程．
[重点]
椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程．
[难点]
椭圆标准方程的推导．
知识点一
椭圆的定义
[填一填]
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[答一答]
1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
知识点二 椭圆的标准方程
[填一填]
[答一答]
2．如何理解“标准方程”中的“标准”的意义？
提示：(1)两个焦点F1，F2在坐标轴上；
(2)线段F1F2的中点是坐标原点．
只有同时满足这两个条件时，所得到的方程才是标准方程．
3．在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2＝a2－c2，b>0?
提示：令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐．今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b>0.
4．对于一个椭圆的标准方程，怎样判断其焦点所在的坐标轴呢？
提示：依据椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，只需看标准方程中的分母的大小，即椭圆的焦点在x轴上?标准方程中x2项的分母较大；
椭圆的焦点在y轴上?标准方程中y2项的分母较大．
1．对椭圆定义的理解
(1)椭圆的定义揭示了椭圆的本质，是判断动点轨迹是否为椭圆的重要依据．
(2)设集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c均为大于0的常数．当2a>2c时，集合P为椭圆；当2a＝2c时，集合P为线段F1F2；当2a<2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在．
2．对椭圆的标准方程的理解
(1)椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴．
(2)椭圆的标准方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．椭圆的焦点在x轴上时，标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上时，标准方程中y2项的分母较大．
(3)椭圆的标准方程有两种形式．若已知焦点在x轴或y轴上，则标准方程唯一；若无法确定焦点的位置，则需要考虑两种形式．其中a，b，c三个量满足a2＝b2＋c2.
类型一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．AB是过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则△ABF2的周长是________．
【分析】 数形结合，由椭圆定义即求得答案．
【解析】 (1)若点P的轨迹是椭圆，
则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．
所以甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，
当2a>|AB|时，点P的轨迹是椭圆；
当2a＝|AB|时，点P的轨迹是线段AB；
当2a<|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．
(2)如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
【答案】 (1)B (2)4a
一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题.
椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( A )
A．5
B．6
C．4
D．10
解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5.
类型二 椭圆标准方程的识别
【例2】 当3
【分析】 比较9－k与k－3的大小，确定曲线类型．
【解】 ∵30，k－3>0.
(1)当9－k>k－3，即3(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，
方程表示圆x2＋y2＝3；
(3)当9－k根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上.
已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．
解析：将曲线C的方程化为：＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3>5－k>0，即4类型三 求椭圆的标准方程
【例3】 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；
(2)a＋b＝8，c＝4；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
【分析】 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a和b的值．
【解】 (1)焦点在y轴上，设标准方程为＋＝1(a>b>0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)?
??
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有
解得(舍去)．
故所求椭圆的方程为＋＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．依题意有解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
?1?“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
?2?“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)解法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
即a2＝4，b2＝8，则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
类型四 素养提升
椭圆中的焦点三角形问题
【例4】 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
【思路分析】 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．
【精解详析】 由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
②代入①解得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|·sin120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
【解后反思】 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量．
设M是椭圆＋＝1上一点，F1、F2为焦点，∠F1MF2＝，
则S△MF1F2＝( C )
A.
B．16(2＋)
C．16(2－)
D．16
解析：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
则，∴r1r2＝64(2－)，
∴S△MF1F2＝r1r2sin＝16(2－).
1．设P是椭圆＋＝1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( D )
A．4
B．5
C．8
D．10
解析：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( C )
A．(，)
B．[，)
C．(，)
D．[，)
解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴8sinα>4，sinα>.
∵α为锐角，∴<α<.
3．椭圆的两焦点坐标分别为(－2,0)和(2,0)，且椭圆过点(，－)，则椭圆方程是( D )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：由题可知c＝2，即a2－b2＝4，
故可设椭圆的标准方程为＋＝1，
将(，－)代入可求得b2＝6，
再将b2＝6代入a2＝b2＋4得a2＝10，故应选D.
4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(－6，－2)∪(3，＋∞)．
解析：由题意得，
∴，
∴－63.
5．已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
解：以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示，
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得
|AB|＋|AC|＝10>8，
因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，但点A不在x轴上．
设顶点A的轨迹方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，
∴a＝5，又c＝4，
∴b2＝a2－c2＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
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-2.2.2.1 椭圆的简单几何性质
[目标]
1.掌握椭圆的简单几何性质.2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响．
[重点]
利用椭圆的几何性质解决问题．
[难点]
椭圆离心率对椭圆形状的影响．
知识点 椭圆的简单几何性质
[填一填]
[答一答]
1．椭圆＋＝1中x，y的范围是什么？
提示：－2≤x≤2，－3≤y≤3.
2．椭圆＋＝1(a>b>0)有怎样的对称性？
提示：关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3．如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c，e对应的线段或量？
提示：a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，
e＝＝＝cos∠OF2B2.
4．椭圆C1：＋＝1与椭圆C2：＋＝1哪个更扁？如何比较？
提示：由C1方程可知e1＝，而C2中e2＝＝，
e11．关于椭圆的几何性质
椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长、短轴长、焦点、离心率等，它反映了椭圆的范围大小、对称性、扁平程度等；另一类是与坐标有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标等，它反映了椭圆及其特殊点的平面位置．
2．椭圆上重要的三角形
椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1、F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)．
3．椭圆的离心率e与a、b的关系
e2＝＝＝1－()2且0
类型一 由椭圆的标准方程研究几何性质
【例1】 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
【分析】 将椭圆方程化为标准形式，用m表示出a，b，c，再由e＝，求出m的值，然后再求2a,2b，焦点坐标，顶点坐标．
【解】 椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
∵m－＝>0，
∴m>，即a2＝m，b2＝.
∴c＝＝.
由e＝，得
＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1，F2，顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质.
已知椭圆x2＋my2＝1的离心率为，求m的值及椭圆的长轴长．
解：椭圆方程化为x2＋＝1，则应有m>0且m≠1.当0<<1，即m>1时，焦点在x轴上，a＝1，b＝，c＝.因为离心率为，所以＝，解得m＝4，这时长轴长为2a＝2.当>1，即0类型二 由椭圆的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是6，离心率是.
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①(1)(2)均已知椭圆的某些性质；
②求椭圆的标准方程．
解答本题可先由性质设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.
【解】 (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝6，a＝3.e＝＝，∴c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件去构造关于参数的关系式，利用解方程?组?求得参数.
已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的标准方程．
解：(1)若焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a>b>0)，
因为椭圆过P(3,0)，所以＋＝1，
又因为2a＝3×2b，所以a＝3，b＝1，方程为＋y2＝1.
(2)若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．
因为椭圆过P(3,0)，所以＋＝1.
又因为2a＝3×2b，所以a＝9，b＝3，
所以方程为＋＝1，
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
类型三 求椭圆的离心率
【例3】 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
【分析】 可以先求出a，c的值，再求离心率；也可以列关于离心率的方程求解．
【解析】 解法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
解法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
【答案】 D
求离心率的值(或取值范围)的两种方法
(1)直接求出a和c的值，套用公式e＝求得离心率．
(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a，b，c之间的关系式，结合椭圆的定义以及a2＝b2＋c2等，消去b，得到a和c之间的关系，从而求得离心率的值或取值范围．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝.
解析：在△ABF中，运用余弦定理求|BF|，再根据图形的特点求出a，c的长度．
设椭圆的右焦点为F1，坐标原点为O，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
类型四 素养提升
忽视椭圆焦点的位置致误
【例4】 若椭圆＋＝1的离心率为，则k＝________.
【错解】 ∵a2＝k＋4，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝k，
∴e＝＝＝，即＝，∴k＝.
【错因分析】 忽视焦点所在位置的讨论，即漏掉了两种情况中的一种情况的讨论，从而导致答案不全的错误．
【正解】 当焦点在x轴上时，a2＝k＋4，b2＝4，
∴c2＝k.∵e＝，∴＝，即＝，∴k＝.
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k＋4，
∴c2＝－k.由e＝，∴＝，∴＝.∴k＝－1.
综上可知，k＝或k＝－1.
[答案] 或－1
已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
解：(1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知解得b2＝10，a2＝40.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得b2＝，a2＝25.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
1．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( D )
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是62．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( A )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
3．椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为4.
解析：由＋＝1可知b＝2，∴短轴长2b＝4.
4．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝.
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，∴在直线x＋2y－2＝0中，令y＝0得x＝2，从而得c＝2；令x＝0得y＝1，因此b＝1.∴a＝＝.∴e＝＝.
5．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
解：如图所示，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥BF1.又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c.
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，∴＝－1.
∴椭圆的离心率e＝－1.
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-2.2.2.2 椭圆简单几何性质的应用
[目标]
1.掌握直线与椭圆的位置关系及其研究方法，并能利用相关性质解决一些简单的综合问题.2.通过本节课的学习，进一步全面理解椭圆的几何性质，培养综合利用知识灵活解决问题的能力．
[重点]
利用直线与椭圆的位置关系解决弦长、中心弦等问题．
[难点]
灵活运用椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系解决问题．
知识点 直线与椭圆的位置关系
[填一填]
1．点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1.
2．直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立，消y得一个一元二次方程.
[答一答]
1．直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来判断呢？
提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．
2．如何求直线与椭圆相交所得的弦长？
提示：(1)将直线方程与椭圆方程联立，得一元二次方程；
(2)若A，B两点的坐标易求出，可直接用弦长公式|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|求出弦长；若A，B两点坐标不易求出时，可用韦达定理求出x1＋x2与x1x2的值，代入弦长公式|AB|＝求出弦长．
直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切、相离．
1．判断直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后所得关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式Δ来判断．
Δ>0?直线和椭圆相交；
Δ＝0?直线和椭圆相切；
Δ<0?直线和椭圆相离．
2．若AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝|x1－x2|
＝|y1－y2|(k为AB所在直线的斜率)．
3．直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则有x0＝，y0＝，又kAB＝，
＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0.③
可将x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0以及＝kAB整体代入，从而求解与弦中点有关的问题(如直线方程、字母的值等).
类型一 直线与椭圆的位置关系判定
【例1】 直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
【分析】 →
→→
【解】 方法1：利用数形结合，直线系y＝kx＋1恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上?＋≤1，即m≥1，又m<5，故m∈[1,5)．
方法2：由?(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，则Δ＝100k2－20(1－m)(m＋5k2)≥0对k∈R恒成立?5mk2＋m2－m≥0对k∈R恒成立，又m>0，则有5k2≥1－m对k∈R恒成立，故1－m≤0，即m≥1，又由m<5，所以m∈[1,5)．
判断直线与椭圆的位置关系时，一般的解法是：联立椭圆的方程与直线的方程，由Δ的符号判断它们的交点个数，但是这样的计算量是比较大的，所以我们可以利用直线的某些特征，如过定点等，把“直线与椭圆的位置关系”问题转化为“点与椭圆的位置关系”，这样就能简化问题，同学们可以比较一下上述两种解法，试试谁更简单.
k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
解：由得2x2＋3(kx＋2)2＝6，即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.
当Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－时，直线和曲线有两个公共点；
当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时，直线和曲线有一个公共点；
当Δ＝72k2－48<0，即－类型二 弦长问题
【例2】 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【分析】 (1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ的符号，建立关于m的不等式求解；(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式，通过函数的最值求得m的值，从而得到直线方程．
【解】 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝(m2－1)．
∴d＝＝
＝
＝＝，
∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用韦达定理，找到根与系数的关系，再求弦长.不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点.这种方法是求弦长常采用的方法.
已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点M，F为其左焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当|AB|＝时，求直线l的方程．
解：(1)由条件知a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，
设椭圆的标准方程为＋＝1，
又椭圆过点M，∴＋＝1，
∴c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l斜率不存在时，|AB|＝3，不合题意．
当直线l斜率存在时，设直线l：y＝k(x＋1)，由
得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝.
∴k2＝，即k＝±，
∴直线l的方程为x－2y＋＝0或x＋2y＋＝0.
类型三 中心弦问题
【例3】 过椭圆＋＝1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程．
【分析】 由题意可知，本题的实质是求出直线的斜率，而求斜率的方法较多，故本例题的解法较多，可作进一步研究．
【解】 解法一：依题意，该直线l的斜率存在．设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解之得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点．
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，即kAB＝－.
故所求直线方程为x＋2y－4＝0.
本例的两种解法是解决椭圆有关弦中点问题的基本方法.,解法一的方法为：设所求的直线方程，代入椭圆方程，得到关于x?或y?的一元二次方程，由韦达定理知两交点的x1、x2?或y1、y2?的和与积可用相关参数表示出来，进而可求相关参数.,解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A、B的坐标，常用来解决与弦中点有关的问题.
已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为4x＋9y－13＝0.
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则＋＝1， ①
＋＝1， ②
①－②得＝－.
∴k＝＝－＝－＝－.
∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.
类型四 素养提升
直线与椭圆位置关系的综合应用
【例4】 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
【思路分析】 (1)分别利用离心率和椭圆基本量之间的关系建立方程，求解基本量，得椭圆方程；(2)联立直线与椭圆的方程，消元得二次方程，利用根与系数的关系，结合向量的坐标运算求解．
【精解详析】 (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
【解后反思】 直线与椭圆的位置关系是高考考查的重点和热点，涉及的知识面较广，题目综合性强，出题角度灵活，有一定的难度．多作为解答题的第二问出现．解题时应注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数关系等的结合．
如图所示，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A、B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
解：(1)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4×4＝16.
(2)由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3，
∴c＝＝.
由c＝知F1(－，0)、F2(，0)，
又k1＝tan45°＝1，∴直线l的方程为x－y＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由
消去x整理，得25y2－18y－81＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
∴|y1－y2|＝
＝＝，
∴S△ABF2＝|F1F2|·|y1－y2|
＝×2×＝.
1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是( D )
A．点(－2,3)在椭圆外
B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内
D．点(2，－3)在椭圆上
解析：由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上．
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，由得3x2＋4x－2＝0.
x0＝＝·＝－，
y0＝x0＋1＝，∴中点坐标为.
3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为4.
解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2×5－6＝4.
4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m＝12m2－12m>0，解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
5．已知离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(1，)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若不过点A的直线l：y＝x＋m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
解：(1)因为＝，所以设a＝n，c＝n，则b＝n，椭圆E的方程为＋＝1.
代入点A的坐标得＋＝1，n2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由
得x2＋2(x2＋mx＋m2)＝2，
即x2＋mx＋m2－1＝0，
x1＋x2＝－m，x1·x2＝m2－1，
Δ＝2m2－4(m2－1)>0，m2<2.
|BC|＝
＝＝，
点A到直线l的距离d＝，
△ABC的面积S＝|BC|·d
＝·
＝≤·＝，
当且仅当m2＝2－m2，即m2＝1时等号成立．
所以当m＝±1时，△ABC面积取最大值为.
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-
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-2.3.1 双曲线及其标准方程
[目标]
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
[重点]
双曲线的定义及标准方程．
[难点]
双曲线标准方程的推导．
知识点一 双曲线的定义
[填一填]
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
[答一答]
1．在双曲线的定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹还是双曲线吗？
提示：不是，其轨迹是双曲线的一支．
2．在双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|?
提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)．
②如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
3．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？
提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示双曲线的右支．
②|PF1|－|PF2|＝－2a，曲线只表示双曲线的左支．
知识点二 双曲线的标准方程
[填一填]
[答一答]
4．双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)有何异同点？
提示：相同点：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0和c2＝a2＋b2.
不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．
5．a，b，c的关系在双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，与椭圆方程＋＝1(a>b>0)中有什么不同？
提示：在椭圆方程＋＝1中，a2＝b2＋c2；在双曲线方程－＝1中，c2＝a2＋b2.
1．对双曲线定义的两点说明
(1)距离的差要加绝对值符号，否则只为双曲线的一支．若F1，F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．
(2)在双曲线定义中，规定2a<|F1F2|，若把|F1F2|用2c表示，则当2a<2c时，P的轨迹为双曲线．
当2a＝2c时，P的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线．当2a>2c时，动点P的轨迹不存在．
2．对双曲线标准方程的四点认识
(1)只有当双曲线的两焦点F1，F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a，b大小则不确定．
(3)焦点F1，F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
(4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式，即Ax2＋By2＝1(AB<0)．
类型一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．线段
C．双曲线
D．两条射线
(2)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－y2＝1(a>0)过点(，－)，点P在双曲线C上，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．3
B．6
C．9
D．12
【解析】 (1)到两个定点距离之差的绝对值等于常数，并且这个常数小于这两个定点的距离，根据双曲线的定义可知：动点的轨迹为双曲线．故选C.
(2)左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－y2＝1(a>0)过点(，－)，可得：－＝1，解得a＝3，b＝1，c＝，a＋c>3，点P在双曲线C上，若|PF1|＝3，可得p在双曲线的左支上，则|PF2|＝2a＋|PF1|＝6＋3＝9.故选C.
【答案】 (1)C (2)C
与焦点有关的问题应考虑利用定义，一些小巧的题目，其考查点就是双曲线的定义，合理利用定义往往是优化解题的关键.
已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．
解：连接ON，ON是三角形PF1F2的中位线，所以|ON|＝|PF2|，因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或18，|ON|＝|PF2|＝1或9.
类型二 双曲线标准方程的识别
【例2】 已知曲线C：＋＝1(t≠0，t≠±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
【分析】 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论．
【解】 (1)当|t|>1，即t>1或t<－1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；
当|t|<1，即－10，t2－1<0，曲线C为双曲线．
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
当|t|<1时，双曲线C的方程为－＝1，
∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．
,
若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( C )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
解析：原方程化为－＝1，
∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
类型三 求双曲线的标准方程
【例3】 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和(，5)，求双曲线的标准方程．
(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
【分析】 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组，求得a，b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c2＝a2＋b2的运用．
【解】 (1)由已知可设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为－＝1.
由题意易求得c＝2.
又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：设双曲线方程为－＝1(－4
求双曲线的标准方程一般采用待定系数法.若明确焦点位置时，可直接设出双曲线方程，若无法判定双曲线的焦点位置，分两种情况讨论，或者将双曲线方程设为mx2＋ny2＝1?mn<0?.同时在解题时应注意方法技巧的灵活运用.
(1)已知双曲线过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线－＝1有相同的焦点，且过点P(2,1)的双曲线的方程．
解：(1)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
∵双曲线过M(1,1)，N(－2,5)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线的方程为－＝1(－2<λ<4)．∵双曲线过(2,1)，∴－＝1，解得λ＝－4(舍)或λ＝1，∴所求方程为－＝1.
类型四 素养提升
双曲线中的焦点三角形问题
【例4】 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
【思路分析】
【精解详析】 由双曲线方程－＝1，
可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，
将此式两边平方，
得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2
＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
【解后反思】 在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．
双曲线－＝1上有一点P，F1、F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2面积为9.
解析：
∵，
∴|PF1|·|PF2|＝36，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin＝9.
1．双曲线－＝1上一点P，到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为( D )
A．7
B．23
C．5或25
D．7或23
解析：双曲线的焦点(±5,0)，设F2，F1分别为双曲线的左、右焦点，故|PF1|＝15，由||PF1|－|PF2||＝8，解得|PF2|＝23或|PF2|＝7.
2．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( C )
A．1B．m>2
C．m<－2
D．－2解析：由题意得解得m<－2.
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|等于( A )
A．8
B．6
C．4
D．2
解析：依题意得
解得|PF2|＝6，|PF1|＝8，故选A.
4．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为－y2＝1.
解析：由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
又根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a，
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
5．求以椭圆＋＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
解：双曲线的焦点F1(0，－3)，F2(0,3)，
设双曲线的方程为－＝1(0把点(4，－5)代入方程得－＝1，
解得a2＝5，a2＝45(舍去)．
故所求双曲线的方程为－＝1.
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-2.3.2.1 双曲线的简单几何性质
[目标]
1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会利用几何性质求双曲线的标准方程．
[重点]
用坐标法解决一些与双曲线有关的简单几何性质．
[难点]
与渐近线及离心率有关的一些问题．
知识点 双曲线的简单几何性质
[填一填]
1．双曲线的几何性质
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝.
[答一答]
1．何为双曲线的“虚轴”？
提示：在双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)中，令y＝0，可得x＝±a，因此双曲线与x轴有两个交点；而令x＝0，方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点．为了方便画图，把点B1(0，－b)，B2(0，b)也画在y轴上，称线段B1B2为双曲线的虚轴．
此处应注意：双曲线有两个顶点，而椭圆有四个顶点．
2．双曲线的渐近线具有什么特点？
提示：双曲线的渐近线是两条直线．随着x和y趋向无穷大，双曲线的各支将与渐近线无限接近，但永远没有交点．由双曲线的渐近线方程只能确定a与b的比值，无法确定双曲线的焦点在哪一条坐标轴上．
3．如何用几何图形解释c2＝a2＋b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？
提示：由于c2＝a2＋b2，a，b，c就是下图中Rt△OAB的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义．
4．椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？
提示：不一样．椭圆离心率01.
对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，得＝1＋≥1，∴x2≥a2，∴|x|≥a，即x≤－a或x≥a；
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；
(4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，因P与P1，P2分别关于y轴，x轴对称，因此双曲线分别关于y轴，x轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．
(5)双曲线的渐近线
双曲线的渐近线是两条直线，当x，y趋向于无穷大时，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．
因为焦点在x轴上和y轴上的渐近线方程分别为y＝±x和y＝±x，容易混淆，所以常把双曲线标准方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程．
类型一 由双曲线的标准方程求几何性质
【例1】 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
【解】 把方程化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3.
c＝＝＝5，焦点的坐标是(0，－5)，(0,5)．离心率e＝＝.
渐近线方程为x＝±y，即y＝±x.
已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较.
双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( B )
A. B. C．1 D.
解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为.
类型二 由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
【分析】 (1)→→
(2)→→
【解】 (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程?组?，解方程?组?可得标准方程
求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝.
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由e＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为－＝1，①
或－＝1，②
把(3,9)代入①，得k＝－161与k>0矛盾；
把(3,9)代入②，得k＝9，
故所求双曲线方程为－＝1.
类型三 双曲线的离心率问题
【例3】 (1)过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率等于( )
A.－1 B.
C.＋1
D.＋2
(2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于，则其渐近线方程为____________．
【解析】 (1)不妨设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意知直线PQ所在直线方程为x＝c，代入双曲线方程得|PQ|＝.
由题意可知F2为PQ中点，且∠PF1Q＝，
所以|F1F2|＝|PF2|，即2c＝，
于是2ac＝b2＝c2－a2，
所以e2－2e－1＝0，解得e＝＋1(e＝1－舍去)，
故选C.
(2)依题意得e＝＝，所以＝5，即＝5，
解得＝2.若双曲线焦点在x轴上，
则其渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x；
若双曲线焦点在y轴上，则其渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x.
【答案】 (1)C (2)y＝±2x或y＝±x
设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为＋1.
解析：由已知可得，|PF1|＝2ccos30°＝c，|PF2|＝2csin30°＝c，由双曲线的定义，可得c－c＝2a，则e＝＝＝＋1.
类型四 素养提升
已知渐近线求双曲线方程的设法及应用
对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，令－＝0可得渐近线方程，若已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在轴时，双曲线有两个方程，为避免分类讨论，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
因而，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
【例4】 已知双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，求双曲线的方程．
【精解详析】 方法一：椭圆方程可化为＋＝1，易得焦点是(±4，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，其渐近线方程是y＝±x，则＝.代入a2＋b2＝c2＝48，解得a2＝36，b2＝12.所以所求双曲线方程为－＝1.
方法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则另一条渐近线方程为x＋y＝0.
已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x2－3y2＝λ(λ>0)，即－＝1.由椭圆方程＋＝1知c2＝a2－b2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为－＝1.
求与双曲线－＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线的方程．
解：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
将点(－3，2)代入，得－＝λ，解得λ＝.
所以所求双曲线方程为－＝1.
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( A )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：由题意知c＝4，焦点在x轴上，所以2＋1＝e2＝4，所以＝，又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为－＝1.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( C )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
解析：因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
3．双曲线5y2－4x2＝－20的实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率为.
解析：双曲线5y2－4x2＝－20化为标准方程为－＝1.∴a＝，b＝2.∴c＝3.焦点在x轴上．
4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5?4，则双曲线的标准方程为－＝1.
解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5?4，即c?b＝5?4，解得c＝5，b＝4，∴双曲线的标准方程为－＝1.
5．(1)求过点(3，－)，离心率e＝的双曲线的标准方程；
(2)焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率．
解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为双曲线过点(3，－)，则－＝1.①
又e＝＝＝，故a2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝，
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理可得b2＝－，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由已知可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以两条渐近线为y＝±x.
因为两条渐近线的夹角为，故分两种情况，
即y＝x的倾斜角为或.
当y＝x的倾斜角为时，
＝tan＝，∴＝，即a2＝3b2.
又2c＝12，∴c＝6.∴c2＝a2＋b2，∴b2＝9，a2＝27.
∴双曲线方程为－＝1.e＝＝＝.
当y＝x的倾斜角为时，＝tan＝，∴b2＝3a2.
又2c＝12，∴c＝6.由c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27.
∴双曲线方程为－＝1，e＝＝＝2.
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-2.3.2.2 双曲线简单几何性质的应用
[目标]
1.掌握直线与双曲线位置关系.2.掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的轨迹方程．
[重点]
直线与双曲线的位置关系的判定、弦长、中点等问题．
[难点]
在处理直线与双曲线位置关系时方程思想的运用及较大的运算量．
知识点一 直线与双曲线的位置关系
[填一填]
一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
[答一答]
1．直线和双曲线只有一个公共点，直线一定和双曲线相切吗？
提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．
知识点二 弦长公式
[填一填]
斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|
＝.
[答一答]
2．当直线的斜率k不存在或为0时，如何求弦长？
提示：把直线的方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求其弦长．
1．正确理解直线和双曲线的位置关系
以过原点的直线和过焦点的直线为例．
(1)设直线y＝kx，双曲线－＝1(a>0，b>0)．
①当－②当≤k或k≤－时，直线和双曲线没有交点．
(2)设过焦点F(c,0)的直线y＝k(x－c)，双曲线－＝1.
①当k＝±时，直线和双曲线相交，有一个交点．
②当－③当k<－或k>时，直线和双曲线一支相交，有两个交点．
2．求弦长及中点弦的问题
求弦长可采取两种方法．一种是求交点坐标，另一种是利用弦长公式．
中点弦的问题可以采用“点差法”先求其斜率．
类型一 直线与双曲线位置关系的判定
【例1】 已知直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16.当k为何值时，直线与双曲线：
(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点．
【分析】 →→
【解】 由消去y，得(4－k2)x2－16＝0.(
)
当4－k2＝0，即k＝±2时，方程(
)无解．
当4－k2≠0时，Δ＝－4(4－k2)(－16)＝64(4－k2)，
当Δ>0，即－2)有两解；
当Δ<0，即k<－2或k>2时，方程(
)无解；
当Δ＝0，且4－k2≠0时，不存在这样的k值．
综上所述，
(1)当－2(2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值；
(3)当k≤－2或k≥2时，直线与双曲线没有公共点．
要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式Δ，得到直线与双曲线的交点个数.
若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是( D )
A．(－，)
B．(0，)
C．(－，0)
D．(－，－1)
解析：将y＝kx＋2代入x2－y2＝6得
(1－k2)x2－4kx－10＝0则
，解得－类型二 直线与双曲线的相交弦问题
【例2】 经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点．
(1)求直线l的方程．
(2)求线段AB的长．
【分析】 可用点差法求l的斜率，再用弦长公式求|AB|.
【解】 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得x－＝1，x－＝1，两式相减得x－x－(－)＝0，(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵M为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，
∴4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，kl＝＝4，
∴l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6.
(2)将y＝4x－6代入到x2－＝1中得3x2－12x＋10＝0，故x1＋x2＝4，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝.
中点弦问题的两种处理方法
双曲线－＝1，A(8,4)，过A作直线l交双曲线于P，Q，A恰为PQ的中点，求直线l的方程．
解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝8.
由
得＝，
∴k＝＝，∴由点斜式得y－4＝(x－8)，即9x－8y－40＝0，
把x＝8代入－＝1得y2＝27>42，
∴点(8,4)在双曲线的内部，即以(8,4)为中点的直线是存在的，故直线l的方程为9x－8y－40＝0.
类型三 与双曲线有关的综合问题
【例3】 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
【分析】 (1)利用Δ>0可得a的范围，再写出离心率关于a的表达式，可求出离心率的范围；
(2)由韦达定理及向量坐标关系，可得到关于a的方程，解出a即可．
【解】 (1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴解得0又双曲线的离心率e＝＝，
∴e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题意知P(0,1)．
∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2，
由于x1、x2都是方程①的根，且1－a2≠0.
由根与系数的关系，
得x2＝－，x＝－.
消去x2，得－＝，由a>0，得a＝.
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况，如本题，若注意不到1－a2≠0，则会造成离心率范围扩大，另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
(2)若直线l与双曲线C两支交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解：(1)由
消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
由题意知
解得－所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－.
又直线l恒过点D(0，－1)，且x1x2<0，则S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝.
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，即2＋＝8.解得k＝0或k＝±，由(1)知上述k的值符合题意，所以k＝0或k＝±.
类型四 素养提升
直线与双曲线相交忽视特殊情况致误
【例4】 已知过点P(1,1)斜率为k的直线l，与双曲线x2－＝1只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值．
【错解】 由题意得l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.由题意得Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝.
【错因分析】 错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点．
【正解】 同错解得到(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
若4－k2≠0，则Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝.
综上可得：直线l的斜率k的取值为或±2.
【解后反思】 解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与圆锥曲线的方程消元得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况．
已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l，与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( B )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：如下图，过点P(1,2)与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点有两种情况，分别是垂直于x轴和与渐近线y＝－2x平行．
1．直线y＝与双曲线x2－9y2＝9交点的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：直线过定点且平行于双曲线的一条渐近线，故与双曲线有且只有1个公共点．
2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)上任一点P引与实轴平行的直线，交两渐近线于M，N两点，则·的值为( A )
A．a2
B．b2
C．2ab
D．a2＋b2
解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
令y＝y0，得M，N，
则·＝
＝x－y＝a2＝a2.
3．双曲线－＝1的一个焦点到其渐近线的距离是3.
解析：∵双曲线－＝1的左、右焦点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，渐近线方程为y＝±x，
∴焦点(5,0)到渐近线3x－4y＝0的距离为
＝3.
4．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为2.
解析：应用弦长公式．
5．双曲线－＝1与直线y＝kx－1只有一个公共点，求k的值．
解：直线y＝kx－1过(0，－1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切．
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y＝±x.所以k＝±.
当直线与双曲线相切时，
?(4－9k2)x2＋18kx－45＝0.
令Δ＝0，即(18k)2＋4·(4－9k2)·45＝0.
解之，得k＝±.
综上可知，k＝±或k＝±.
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-2.4.1 抛物线及其标准方程
[目标]
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程．
[重点]
抛物线的定义及其标准方程的应用．
[难点]
抛物线标准方程的四种形式．
知识点一 抛物线的定义
[填一填]
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
[答一答]
1．在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2．抛物线定义中有“一个动”及“三个定”，分别指什么？
提示：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于1)，定值实现了距离间的转化，为解题带来了方便．
知识点二 抛物线的标准方程
[填一填]
[答一答]
3．抛物线标准方程中的参数p有什么作用？
提示：参数p称为焦准距或焦参数，可根据p求出抛物线的焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程时，也只需确定参数p.
4．如何记忆抛物线的四种标准方程？
提示：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．
(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：
焦点轴一次项，符号确定开口向；
若y是一次项，负时向下正向上；
若x是一次项，负时向左正向右．
5．抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)与二次函数y＝ax2(a>0)有什么区别？
提示：y2＝2px(p>0)与y＝ax2(a>0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样．y2＝2px(p>0)：焦点(，0)，对称轴为x轴；y＝ax2(a>0)，即x2＝y，焦点(0，)，对称轴为y轴．
1．对抛物线定义的理解
(1)定义条件：直线l不经过定点F.
(2)一动三定：
①“一动”，即动点P；
②“三定”，即定点F，定直线l和定值，也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1.
2．抛物线标准方程的特点
(1)方程特点：抛物线的标准方程是关于x，y的二元二次方程，等号的左边是其中一个变量的平方，另一边是另一个变量的一次项．
(2)参数p：在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p>0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭．
(3)四种标准方程的位置的相同点：
①原点在抛物线上；
②焦点在坐标轴上；
③准线与焦点在原点两侧，且准线与其中一条坐标轴垂直.
类型一 求抛物线的焦点及准线
【例1】 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．
(1)y＝x2；
(2)x＝ay2(a≠0)．
【分析】 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p.再写出焦点坐标和准线方程．
【解】 (1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，
∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上．
(2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，∴2p＝.
①当a>0时，＝，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－；
②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－.
综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左．
(1)抛物线x2＝8y的焦点坐标是( A )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(4,0)
D．(－4,0)
(2)若抛物线y2＝ax的准线方程为x＝1，则a＝－4.
解析：(1)由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.
(2)y2＝ax的准线方程为x＝－，解－＝1，a＝－4.
类型二 求抛物线的标准方程
【例2】 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为.
【分析】 根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式．
【解】 (1)由题知(－3,2)在第二象限，设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，
将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝，
故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，
∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由＝2，得2p＝8，∴所求抛物线的方程为x2＝－8y.
②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点坐标为(4,0)．
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由＝4得2p＝16，
∴所求抛物线的方程为y2＝16x.
(3)由题意可得p＝，则所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
求抛物线的标准方程的关键与方法
?1?关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数.
?2?方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；
②直接根据定义求p，最后写标准方程；
③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数.
根据下列条件求抛物线的标准方程，并求其准线方程．
(1)已知抛物线的焦点是F(3,0)；
(2)已知抛物线的焦点在y轴的正半轴上，焦点到准线的距离为3.
解：(1)由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．
∵＝3，∴p＝6.
故抛物线的标准方程为y2＝12x，其准线方程为x＝－3.
(2)由题意，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)．
∵p＝3，故抛物线的标准方程为x2＝6y，
∴其准线方程为y＝－.
类型三 抛物线定义的应用
【例3】 O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2
B．2
C．2
D．4
【分析】 由条件及抛物线的定义求出点P的横、纵坐标，则△POF的面积易得．
【解析】 由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线的定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以xP＝3，代入抛物线方程求得yP＝2，所以S△POF＝·|OF|·yP＝2.
【答案】 C
抛物线中经常把点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解.
若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M.其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
解：由抛物线定义，焦点为F(－，0)，
准线为x＝，由题意设M到准线的距离为|MN|，
则|MN|＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x，将M(－9，y)，代入y2＝－4x，解得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
类型四 素养提升
抛物线方程的实际应用
【例4】 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
【思路分析】 先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x＝2时的y值．
【精解详析】 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)．
设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，由题意知点A(4，－5)在抛物线上，
故16＝－2p×(－5)?p＝，
则抛物线的方程是x2＝－y(－4≤x≤4)，
设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于点B、B′时，木船开始不能通航，
设B(2，y′)．则22＝－y′?y′＝－.
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航．
【解后反思】 本题以应用问题描述为载体，利用待定系数法求抛物线方程，解题中利用点与坐标、曲线与方程的对应关系，融进参数的讨论，富有新意．解决实际问题时，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键，坐标系的选择直接关系到解题的繁简程度．
如下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽2米．
解析：设水面与桥的一个交点为A，
如图建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则22＝－2p×(－2)，得p＝1，
故抛物线方程为x2＝－2y.
设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0，－3)，
则x＝6，x0＝±，所以水面宽为2米．
1．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是( B )
A．y2＝20x
B．x2＝20y
C．y2＝x
D．x2＝y
解析：由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
2．以直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为焦点的抛物线的方程为( A )
A．y2＝16x
B．y2＝－16x
C．y2＝12x
D．y2＝－12x
解析：因为焦点为直线3x－4y－12＝0与x轴的交点，所以令y＝0，得x＝4，则焦点为(4,0)，故所求抛物线的方程为y2＝16x.
3．若双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则m＝6.
解析：∵抛物线焦点为(3,0)，∴＝3且m>0，则m＝6.
4．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝13.
解析：由于点P到x轴的距离为12，
可知点P的纵坐标为±12，
∴点P的横坐标x＝＝＝9.
由抛物线的定义知|PF|＝x＋＝9＋4＝13.
5．求抛物线x2＝y上到直线2x－y－4＝0的距离最小时的点P的坐标．
解：设点P(x，y)，则x2＝y.
P到直线2x－y－4＝0的距离为
d＝＝|2x－x2－4|
＝|x2－2x＋4|＝[(x－1)2＋3]．
∴当x＝1时，d最小，此时y＝1，∴P(1,1)为所求．
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-2.4.2 抛物线的简单几何性质
[目标]
1.掌握抛物线的图形和简单几何性质.2.能运用性质解决与抛物线有关的问题．
[重点]
应用抛物线的几何性质解决相关弦问题．
[难点]
直线与抛物线的位置关系问题．
知识点一 抛物线的简单几何性质
[填一填]
[答一答]
1．抛物线的离心率为什么是1?
提示：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，而抛物线的离心率是抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，故抛物线的离心率是1.这与椭圆、双曲线不同，椭圆的离心率01，注意区别．
知识点二 抛物线的焦点弦
[填一填]
抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为
[答一答]
2．若过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝6，则|AB|是多少呢？
提示：|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝8.
3．以抛物线的一条焦点弦为直径的圆与抛物线的准线有什么位置关系呢？
提示：相切，根据抛物线定义，圆心到准线的距离等于半弦长即圆的半径．
1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．
2.抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同．
4.抛物线的离心率e＝1(定值)．
5.抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离，由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大．
6.抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看作是双曲线的一支．
类型一 抛物线的简单几何性质
【例1】 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程．
【分析】 因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长等于2，可知交点纵坐标为±.
【解】 如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.
由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.
将y1＝代入x2＋y2＝4得x＝±1，
∴点(1，)，(－1，)分别在抛物线 y2＝2px，y2＝－2px上．
∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)，p＝.故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”.但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论.
正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．
解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y＝2px1，y＝2px2.
又∵|OA|＝|OB|，
∴x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0.
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1>0，x2>0,2p>0，
∴x1＋x2＋2p≠0.∴x1＝x2.
即A、B两点关于x轴对称，则∠AOx＝30°.
∴AB⊥x轴，∴y1＝x1tan30°＝x1.
又∵x1＝，∴y1＝2p.
而|AB|＝2y1＝4p即为所求边长．
类型二 抛物线中过焦点的弦长问题
【例2】 如图，斜率为的直线l经过抛物线y2＝2px的焦点F(1,0)，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段AB的长．
【分析】 (1)由抛物线焦点坐标得p值，求出抛物线方程及准线方程．(2)由过焦点直线方程与抛物线方程联立，利用焦点弦长公式可解．
【解】 (1)由焦点F(1,0)，得＝1，
解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线l的方程为y＝(x－1)．
与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.所以，线段AB的长为.
过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长问题是抛物线中常见问题.解决此类问题，通常有三种解法：
?1?焦点弦长公式；
?2?两点间距离公式；
?3?弦长公式.
其中焦点弦长公式是此类问题的最直接解法，联立方程，利用根与系数关系，可直接求解，省略了求两交点坐标的过程，简便易行.但解题时应注意直线与抛物线相交这一前提，可以使运算、化简简便，另外解题时注意整体代入的思想.
设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为2，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
解：(1)依题意得F(1,0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)．
设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y整理得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝1.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x整理得y2－4ky－4＝0，所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
所以·是一个定值．
类型三 直线与抛物线的位置关系
【例3】 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线y＝x－4相交于不同的两点A、B，
求证：OA⊥OB.
【分析】 (1)可转化为点P到准线的距离．
(2)OA⊥OB?·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.
【解】 (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－，
∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，
∴4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：由消去y，
得x2－12x＋16＝0，Δ>0，
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A、B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16，
∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)
＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16
＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB.
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解.
已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
解：(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，
∴＝1，p＝2，所求抛物线方程为y2＝4x.
(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，
∴＝2，
所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
解法二：显然AB不垂直于x轴，
故可设弦AB所在的直线方程为y－1＝k(x－2)，k≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去x整理得ky2－4y－8k＋4＝0，
∴y1＋y2＝，
又M点是AB的中点，∴y1＋y2＝2，∴k＝2，
故直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
类型四 素养提升
探究抛物线的焦点弦问题
【例4】 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
(1)x1x2是否为定值？
(2)＋是否为定值？
【思路分析】 ―→―→
【精解详析】 (1)抛物线y2＝2px的焦点为F(，0)，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－)(k≠0)．由，消去y，整理得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.由根与系数的关系得x1x2＝(定值)．当AB垂直于x轴时，x1＝x2＝，x1x2＝也成立．所以x1x2为定值.
(2)由抛物线的定义知，|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋.
＋＝＋
＝
＝＝＝(定值)，
所以＋为定值.
【解后反思】 直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求．
例4条件不变求证：y1y2＝－p2.
证明：①斜率不存在时y1＝p，y2＝－p，
∴y1y2＝－p2.
②斜率存在时，
消去x整理得y＝k·－，∴y1·y2＝＝－p2.
综上，y1y2＝－p2.
1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则·的值是( D )
A．12 B．－12
C．3
D．－3
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2，
又∵p＝2，∴·＝－3.
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( C )
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：由
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，得k>－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝4，
解得k＝2或k＝－1(舍去)．
3．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为
x0＋＝＋＝＋＝.
4．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝1＋.
解析：由题意，知C，F.又C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，所以
由②÷①，得＝，即b2－2ba－a2＝0，
解得＝1±(负值舍去)．故＝1＋.
5．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长|AB|＝3，求m的值．
解：由
得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得
x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，
∴|AB|＝
＝＝.
由|AB|＝3，即＝3，解得m＝－4.
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