第二章 推理与证明
同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯．
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
自主预习·探新知
情景引入
《内经·针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾，出了一点血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复发，又偶然碰破同一脚趾，头疼又好了．这次引起了他的注意，以后每次头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)．现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？
新知导学
1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的__部分对象__具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由__个别事实__概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称__归纳__)
由两类对象具有__某些类似特征__和其中一类对象的__某些已知特征__，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理称为类比推理(简称__类比__)
特征
归纳推理是由__部分__到__整体__、由__个别__到__一般__的推理
类比推理是由__特殊__到__特殊__的推理
2．合情推理
含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过__观察__、__分析__、比较、__联想__，再进行__归纳__、__类比__，然后提出__猜想__的推理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理
过程
→→→
预习自测
1．(2020·周口期末)下列表述正确的是( A )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④演绎推理是由一般到特殊的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①④⑤
B．②③④
C．②③⑤
D．①⑤
[解析] 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；
由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对；
类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错，
则正确的是①④⑤，故选A．
2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( B )
A．归纳推理
B．类比推理
C．没有推理
D．以上说法都不对
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
3．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系__b4＋b8>b5＋b7__.
[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.
4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为__13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2__.
[解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 归纳推理
典例1 已知下列等式成立：＝，＋＝，＋＋＝，＋＋＋＝，……，试根据以上几个等式，归纳出一个一般性结论，用等式表示，并用数列中的方法加以证明．
[思路分析] 分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的取值特点，分析等号右边的结果与项数的关系，从而写出一般性的结果．
[解析] 从给出的各个等式可以看出：第1个等式左边有1项，右边为，第2个等式左边有2项，右边为，第3个等式左边有3项，右边为，第4个等式左边有4项，右边为，
由此可以归纳出的一般性的结论为＋＋＋…＋＝(n∈N
)．
以下用数列的方法证明该等式成立．
＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝(－＋－＋－＋…＋－)＝(－)＝.
『规律总结』 由已知数式进行归纳推理的步骤
①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征．
②提炼出等式(或不等式)的综合特点．
③运用归纳推理得出一般结论．
┃┃跟踪练习1__■
观察下列不等式：
×1≥1×，×(1＋)≥(＋)，×(1＋＋)≥(＋＋)，
×(1＋＋＋)≥(＋＋＋)，试写出第n个不等式．
[解析] 第1个不等式为×1≥1×，即×1≥1×，
第2个不等式为×(1＋)≥(＋)，
即×(1＋)≥(＋)，
第3个不等式为×(1＋＋)≥(＋＋)，
即×(1＋＋)≥(＋＋)，
第4个不等式为×(1＋＋＋)≥(＋＋＋)，
即×(1＋＋＋)≥(＋＋＋)，
归纳可得第n个不等式为×(1＋＋＋…＋)≥(＋＋＋…＋)(n∈N
)．
命题方向? 图形中的归纳推理
典例2 下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖__4n＋8__块(用含n的代数式表示)．
[思路分析] 分析给出的3个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论．
[解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，……
由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8.
『规律总结』 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
┃┃跟踪练习2__■
有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( B )
A．26
B．31
C．32
D．36
[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
第一个
第二个
第三个
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B．
命题方向? 事物的相似性与类比
典例3 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．
[解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：
弦 ? 截面圆，
直径 ? 大圆，
周长 ? 表面积，
圆面积 ? 球体积，
等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆是等圆；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于经过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
圆的周长C＝πd
球的表面积S＝πd2
圆的面积S＝πr2
球的体积V＝πr3
『规律总结』 运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行．例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等．
┃┃跟踪练习3__■
将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空.
平面图形
空间图形
点
线
线
面
圆
球
三角形
__四面体__
线线角
__二面角__
边长
__面积__
周长
__表面积__
面积
__体积__
…
…
命题方向? 类比推理
典例4 如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并延长交对边分别于A′、B′、C′，则＋＋＝1.
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”；
＋＋＝＋＋＝＝1.
请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．
[思路分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．
[解析] 在四面体V－BCD中，任取一点O，连接VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点，则＋＋＋＝1.
证明：在四面体O－BCD与V－BCD中，设底面BCD上的高分别为h′，h，则
＝＝＝＝.
同理有：＝；＝；＝，
∴＋＋＋
＝＝＝1.
『规律总结』 1.类比推理的思维过程大致为：
―→
2．类比推理的一般步骤：
(1)通过观察、分析，找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)通过类比、联想，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论．
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．
┃┃跟踪练习4__■
平面几何里有“设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则＋＝”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三条侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，平面BCD上的高为h，则__＋＋＝__”．
[解析] 如图所示，设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E.连接AE，由AB⊥AC，AB⊥AD得AB⊥平面ACD.
∴AB⊥AE.设AE＝h1，在△ABE中，由已知可得＋＝.
又易证CD⊥平面ABE，
∴CD⊥AE.在△ACD中有＝＋，
∴＋＋＝.
学科核心素养 归纳推理在数列中的应用
归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，经常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想得出结论．
其具体步骤是：
(1)通过条件求得数列中的前几项；
(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．
典例5 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项an的表达式．
[思路分析] →→→
→→
[解析] (1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N
)．
『规律总结』 (1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果．
┃┃跟踪练习5__■
已知a1＝3，an＋1＝a(n＝1,2，…)，试通过归纳推理得出数列{an}的通项公式，并给出证明．
[解析] 由a1＝3，an＋1＝a，
得a2＝32，a3＝(32)2＝322，a4＝(322)2＝323，
a5＝(323)2＝324，…，an＝32n－1(n＝1,2，…)．
证明如下：
由条件知an>0，于是lgan＋1＝lga＝2lgan(n＝1,2，…)．
又因为lga1≠0，故{lgan}是以2为公比的等比数列，进而得lgan＝2n－1lg3＝lg32n－1，即an＝32n－1(n＝1,2，…)．
易混易错警示 因类比不当致误
典例6 在下列类比推理中，正确的有__④__.
①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay；
②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny.
③把实数a，b满足：“若ab＝0，b≠0，则a＝0”．类比平面向量的数量积，“若a·b＝0，b≠0，则a＝0”．
④平面上，“在△ABC中，∠ACB的平分线CE将三角形分成两部分的面积比＝”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B，且与AB交于点E，则平面DEC将三棱锥分成两部分的体积比＝”．
[错解] ②③.
[辨析] 没有抓住类比推理的实质．
[正解] ①②中，loga(x＋y)与sin(x＋y)都是一个整体，而a(b＋c)中a与b＋c是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；③中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；④中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的．
[点评] 进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比．
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-2.1.2 演绎推理
自主预习·探新知
情景引入
在生活中，我们常常会遇到这样一些判断：人生病要吃药，小明生病了，因此，小明要吃药；摩擦生热，冬天双手互相摩擦，手就不冷了；任意四边形的内角和为360°，梯形是四边形，因此梯形的内角和是360°，……这些推理都是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的，与前一节所学的合情推理不同，这属于另一种推理——演绎推理．
新知导学
1．演绎推理
从__一般性的原理__出发，推出__某个特殊__情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由__一般到特殊__的推理．
2．演绎推理与合情推理的主要区别与联系
(1)合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由__部分__到__整体__、__个别__到__一般__的推理，类比是由__特殊__到__特殊__的推理；而演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
(2)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．
3．三段论
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的__一般原理__；
②小前提——所研究的__特殊情况__；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的__判断__.
其一般推理形式为
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结 论：__S是P__.
(2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么__S中所有元素也都具有性质P__.
4．其他演绎推理形式
(1)假言推理：“若p?q，p真，则q真”．
(2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c?a∥c，a≥b，b≥c?a≥c等．
注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．
(3)完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．
预习自测
1．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝x是对数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)．”下列说法正确的是( A )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
[解析] 大前提错误，因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，故选A.
2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数．”上述推理是( A )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．错误，因为大小前提不一致
D．错误，因为大前提错误
3．给出下列结论：
①演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真．
②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真．
③由合情推理得到的结论一定为真．
④演绎推理和合情推理都可以用于证明．
⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．
其中正确结论的序号为__①⑤__.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 三段论推理模式的理解与应用
典例1 将下列演绎推理改写为三段论推理的形式，并注明大前提、小前提、结论．
(1)函数f(x)＝x4的图象关于y轴对称；
(2)所有的奇数都不能被4整除，所以23不能被4整除；
(3)通项公式为an＝3n－1的数列{an}是等差数列．
[思路分析] 分析各个命题，明确它们的大前提、小前提、结论，若有省略，则应补齐，然后再改写为三段论模式．
[解析] (1)所有偶函数的图象关于y轴对称，大前提
函数f(x)＝x4是偶函数，小前提
所以函数f(x)＝x4的图象关于y轴对称．结论
(2)所有的奇数都不能被4整除，大前提
23是奇数，小前提
所以23不能被4整除．结论
(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为同一个常数，那么{an}为等差数列，大前提
通项公式为an＝3n－1的数列{an}中，
当n≥2时，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3为常数，小前提
所以通项公式为an＝3n－1的数列{an}是等差数列．结论．
『规律总结』 用三段论写演绎推理的过程时，关键是明确其中的大前提、小前提、结论，其中大前提是指一般性的原理，一般都是省略不写的；小前提指出了一种特殊情况，有时也是省略的，大小前提结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系，得到结论．
┃┃跟踪练习1__■
将下列演绎推理改写为三段论推理的形式，并注明大前提、小前提、结论．
(1)直角三角形的内角和等于180°；
(2)三角函数是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；
(3)在数列{an}中，an＝3·4n，则数列{an}是等比数列．
[解析] (1)因为所有三角形的内角和都等于180°，大前提
直角三角形是三角形，小前提
所以直角三角形的内角和等于180°.结论
(2)因为所有三角函数都是周期函数，大前提
y＝tanx是三角函数，小前提
所以y＝tanx是周期函数．结论
(3)如果在数列{an}中，＝q(q是与n无关的常数)，那么{an}是等比数列，大前提
数列{an}当an＝3·4n时，＝4，小前提
所以数列{an}是等比数列．结论
命题方向? 演绎推理在几何证明中的应用
典例2 已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图所示，求证：l⊥β.
[思路分析] 本题可由线面垂直的定义证明l⊥β.
[解析] 在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.
①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提
α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提
所以a∥b.结论
②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条
直线都垂直，大前提
l⊥α，a?α，小前提
所以l⊥a.结论
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提
a∥b，且l⊥a，小前提
所以l⊥b.结论
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这
个平面垂直，大前提
因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提
所以l⊥β.结论
『规律总结』 在几何推理过程中，多数情况采用的都是三段论推理模式，其中大前提通常是：两个三角形全等、相似的判定定理，线面平行与垂直的判定定理、性质定理，面面平行与垂直的判定定理、性质定理等，因此都可以省略不写．
┃┃跟踪练习2__■
用三段论证明，并指出每一步推理的大前提和小前提．
如图所示，在锐角△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足．证明：AB的中点M到D、E的距离相等．
[证明] (1)∵有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提
在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，小前提
∴△ABD是直角三角形．结论
同理，△AEB也是直角三角形．
(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提
而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，小前提
∴DM＝AB.结论
同理，EM＝AB.∴DM＝EM.
学科核心素养 用三段论证明代数题
典例3 (2020·菏泽高二检测)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系是__m
[解析] 当0a＝∈(0,1)，(小前提)
所以函数f(x)＝()x为减函数，(结论)
故由f(m)>f(n)，得m『规律总结』 五类代数问题中的三段论
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式．
(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列．
(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题．
┃┃跟踪练习3__■
设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
[解析] (1)因为f(x)是R上的偶函数，
所以对一切x∈R，都有f(x)＝f(－x)，
即＋＝＋＝＋aex，
整理得(－a)(ex－)＝0对一切x∈R恒成立．
因ex－不恒为0，故－a＝0，所以a＝±1.
又a>0，所以a＝1.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝ex1＋－ex2－＝(ex2－ex1)·(－1)
＝ex1(ex2－x1－1)·.
因为x1>0，x2>0且x1所以x2－x1>0，x1＋x2>0，
所以ex2－x1>1,1－ex1＋x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)易混易错警示 三段论推理中大(小)前提错误致误
典例4 如图，已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.
求证：AB⊥BC.
[错因分析] 在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误．
[正解] 证明：如图，过点A作直线AE⊥SB于点E，
因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，所以AE⊥平面SBC.又BC?平面SBC，所以BC⊥AE.因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.又AE∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB.所以BC⊥AB，即AB⊥BC.
[点评] 演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论．
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-2.2.1 综合法与分析法
自主预习·探新知
情景引入
夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间是下午4时左右．警方经过三天的深入调查后，终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方做不在现场证明时，说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游玩．直至下午4时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？
新知导学
1.
综合法的定义
利用__已知条件__和某些数学__定义__、__公理__、__定理__等，经过一系列的__推理论证__，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．
2．综合法的特点
从“已知”看“__可知__”，逐步推向“__未知__”，其逐步推理，是由__因__导__果__，实际上是寻找“已知”的__必要__条件．
3．综合法的基本思路
用__P__表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，__Q__表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为
→→→…→
其逻辑依据是三段论式演绎推理．
4．分析法定义
从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的__充分__条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．
5．分析法的特点
分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“__需知__”，执果索因，逐步靠拢“__已知__”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的__充分__条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．
6．分析法的基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件．若用__P__表示要证明的结论，则分析法的推理形式为
→→→…→
预习自测
1．(2020·烟台期中)分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( A )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] ∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；
∴分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件．
故选A．
2．(2020·桃城区校级期中)下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句是( C )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
[解析] 根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．
根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故③⑤正确，④不正确．
故选C．
3．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为__9__.
[解析] ∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
4．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
[证明] 因为a≥b>0，
所以a－b≥0,3a2－2b2>0，
所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 用综合法证明不等式
典例1 (1)若a>b>0，则下列不等式中，总成立的是( A )
A．a＋>b＋
B．>
C．a＋>b＋
D．>
(2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0.所以a2＋b2≥2ab.该证明用的方法是__综合法__.
(3)已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1.
求证：a2＋b2＋c2≥.
[解析] (1)因为a>b>0，所以>>0，所以a＋>b＋.
(2)由题设知：本题中证明是从已知的不等式(a＋b)2≥0出发，经过推理得出结论，是综合法．
(3)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
于是(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)
＝3(a2＋b2＋c2)，
所以a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2＝，当且仅当a＝b＝c时取等号，原式得证．
『规律总结』 综合法证明不等式的主要依据
综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有以下几个：
①a2≥0(a∈R)；
②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，()2≥ab，a2＋b2≥；
③若a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别地，＋≥2；
④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，由不等式a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中的使用频率很高；
⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，体现了a＋b＋c，a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac这三个式子之间的关系．
┃┃跟踪练习1__■
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin(＋C)－csin(＋B)＝a.求证：B－C＝.
[证明] 由bsin(＋C)－csin(＋B)＝a，应用正弦定理，得
sinBsin(＋C)－sinCsin(＋B)＝sinA，
sinB(sinC＋cosC)－sinC(sinB＋cosB)＝.
整理得sinBcosC－cosBsinC＝1.
即sin(B－C)＝1.
由于0命题方向? 分析法的应用
典例2 设a、b为实数，求证：≥(a＋b)．
[证明] 当a＋b≤0时，
∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b＞0时，
用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥[(a＋b)]2.
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
『规律总结』 分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．
┃┃跟踪练习2__■
已知a>5，求证：－<－.
[解析] 要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
即2a＋2－5<2a－5＋2，
即只需证<，
只需证a2－5a即证0<6，此不等式恒成立，所以原不等式成立．
命题方向? 分析法证明不等式
典例3 (1)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( D )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C．－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
(2)(2020·郑州高二检测)已知非零向量a⊥b，证明：≤.
[解析] (1)∵a2＋b2－1－a2b2
＝(a2－a2b2)＋(b2－1)
＝a2(1－b2)＋(b2－1)
＝(a2－1)(1－b2)＝－(a2－1)(b2－1)．
∴要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证－(a2－1)(b2－1)≤0，
即证(a2－1)(b2－1)≥0.
(2)∵a⊥b，∴a·b＝0，
要证≤.
只需证：|a|＋|b|≤|a－b|
平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)
只需证：|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立．
即只需证：(|a|－|b|)2≥0，它显然成立．
故原不等式得证．
『规律总结』 分析法证明不等式的方法与技巧
范围：对于一些条件复杂，结论简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法
方法：分析法证明不等式的思路是从要证明的不等式出发，逐步寻求它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式
应用：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．
特别提醒：逆向思考是分析法证明的立体思路，通过反推，逐步探寻使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题得以解决．切记“逆向”“反推”，否则会出现错误．
┃┃跟踪练习3__■
已知函数f(x)＝x2－2x＋2，若m>n>1，求证：f(m)＋f(n)>2f()．
[解析] 要证明f(m)＋f(n)>2f()，
即证(m2－2m＋2)＋(n2－2n＋2)>2[()2－2·＋2]，
即证2m2＋2n2>m2＋2mn＋n2，
只需证m2＋n2>2mn，即证(m－n)2>0，
因为m>n>1，所以(m－n)2>0显然成立，故原不等式成立．
学科核心素养 利用分析法、综合法证明问题
综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
典例4 已知三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且三个内角A，B，C构成等差数列，求证：＋＝.
[思路分析] 本题条件较为简单，但结论中的等式较为复杂，故可首先用分析法，将欲证等式进行转化，转化为一个较为简单的式子，然后再从已知条件入手，结合余弦定理，推导出这个式子即可得证．
[解析] 要证＋＝，即证＋＝3，化简得＋＝1，
即只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证明c2＋a2＝b2＋ac.
因为三个内角A，B，C构成等差数列，所以2B＝A＋C，
又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，即B＝60°，
由余弦定理可得cos60°＝，所以c2＋a2－b2＝ac，
即c2＋a2＝b2＋ac成立，因此原等式成立．
『规律总结』 1.有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”．
2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程
.
┃┃跟踪练习4__■
在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
[证明] 由已知得则x＝，y＝，即x＋y＝＋，从而2a＝＋.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥，
即证a＋1≥，也就是证2a≥b＋c，
因为2a＝＋，则只需证＋≥b＋c成立即可，
即b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)·bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0成立．
上式显然成立，故(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
易混易错警示 注意隐含条件的挖掘
典例5 设a＋b＞0，n为偶数，求证：＋≥＋.
[错解] ＋－－＝.
∵n为偶数，∴(ab)n＞0.又∵an－bn和an－1－bn－1同号，∴＋－－＞0，∴＋＞＋.
[辨析] 这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．
[正解] ＋－－＝.
①当a＞0，b＞0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n＞0，∴≥0，∴＋≥＋.
②当a、b中有一个为负值时，不妨设a＞0，b<0，且a＋b＞0，∴a＞|b|.
∴(ab)n＞0，an＞bn＞0，an－1＞0，bn－1＜0，故an－bn＞0，an－1－bn－1＞0，
∴≥0，∴＋≥＋，∴由①②知结论成立．
[点评] 审题过程中注意将条件等价转化翻译，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件．
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-2.2.2 反证法
自主预习·探新知
情景引入
从前，某国王一贯自我标榜不仅是至高无上的权威，而且更是一个“大慈大悲”的救世主，他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死．有一次，一个囚犯即将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”．不料有人把此消息透漏给犯人，可犯人闻后却高兴地说“啊！我可死里逃生了”．
国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了．”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法——反证法．
新知导学
1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__矛盾__，因此说明假设__错误__，从而证明了原命题__成立__，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
2．反证法证题的原理
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．
预习自测
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( C )
①原结论的相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④
B．①②③
C．①③④
D．②③
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C．
2．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为( D )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
[解析] “自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D．
3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( C )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
[解析] 假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C．
4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__存在一个三角形，其外角至多有一个钝角__.
[解析] 全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角至多有一个钝角”．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 用反证法证明否(肯)定性命题
典例1 (1)(2019·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3”时，假设的内容是( C )
A．a3＝b3
B．a3C．a3≤b3
D．a3(2)(2020·德州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为__③①②__.
[解析] (1)假设的内容应为结论“a3>b3”的否定“a3≤b3”，故选C．
(2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．
『规律总结』 1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒：?1?用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法.
?2?结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法.
?3?注意否定结论时，要准确无误.
┃┃跟踪练习1__■
已知数列{bn}的通项公式为bn＝()n－1，n∈N
.
求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
[解析] 假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(rbs>br，则只可能有2bs＝br＋bt成立，两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s由于r命题方向? 用反证法证明“至多”“至少”型命题
典例2 已知a，b，c都是小于2的正数，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a中至少有一个不大于1.
[思路分析] 本题为“至少、至多”型问题，反设其结论，容易导出矛盾，故用反证法证明．
[解析] 方法一：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1，即(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，
所以>1，>1，>1，
所以＋＋>3.
又因为a，b，c都是小于2的正数，
由基本不等式可得≤，≤，≤，所以＋＋≤＋＋＝3，
这与＋＋>3相矛盾，
故假设错误，即(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a中至少有一个不大于1.
方法二：假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1，即(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，
以上三式相乘得(2－a)b·(2－b)c·(2－c)a>1，
即a(2－a)·b(2－b)·c(2－c)>1，
又由于a，b，c都是小于2的正数，
由基本不等式可得a(2－a)≤()2＝1，同理b(2－b)≤1，c(2－c)≤1，
所以a(2－a)·b(2－b)·c(2－c)≤1，
这与a(2－a)·b(2－b)·c(2－c)>1相矛盾，
故假设错误，即(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a中至少有一个不大于1.
『规律总结』 1.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
?p且?q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
?p或?q
┃┃跟踪练习2__■
求下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时实数a的取值范围．
[解析] 若方程没有一个有实根，则
解得－所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－}．
命题方向? 用反证法证明存在性、唯一性命题
典例3 已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
[思路分析]
[证明] 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线ɑ.
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，
∴AB⊥BC，AC⊥BC，
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．
『规律总结』 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．
┃┃跟踪练习3__■
若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
[解析] 由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，
即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
学科核心素养 适宜运用反证法证明的命题
正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题．
典例4 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
[思路分析] →→.
[解析] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得：4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.所以a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
『规律总结』 1.反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
2．反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的．
┃┃跟踪练习4__■
证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称．
[解析] 假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则
有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)直线AB的中点(，)在直线y＝ax上，所以由得(3－k2)x2－2kx－2＝0. ④
由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2， ⑤，由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得ak＝3.
这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．
易混易错警示 反证法证明过程中漏用反设导致错误
典例5 已知实数k满足2k2＋3k＋1<0，运用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－k2＝0没有实数根．
[错因分析] 证明过程中，虽然对命题的结论进行了反设，但是在后面的推理过程中，没有将这一“反设”作为条件进行推理，因此证明过程就不是利用反证法进行的，是错误的．
[正解] 假设方程x2－2x＋5－k2＝0有实数根．
则其判别式Δ＝4－4(5－k2)＝4k2－16≥0，解得k≥2或k≤－2.
又因为实数k满足2k2＋3k＋1<0，所以－1∴反设不成立，原命题成立．
[点评] 反证法证明过程中，必须用上“反设”，否则就不是运用反证法证明．
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1
-2.3 数学归纳法
自主预习·探新知
情景引入
从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！
这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？
新知导学
数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取__第一个值n0(n0∈N
)__时命题成立．
②(归纳递推)假设__n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立__，证明__当n＝k＋1时命题也成立__.
预习自测
1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( C )
A．1
B．1＋3
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
[解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C．
2．(2019·玉溪模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．( B )
A．n＝k＋1
B．n＝k＋2
C．n＝2k＋2
D．n＝2(k＋2)
[解析] 由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，
则还需要用归纳假设再证n＝k＋2，
不是n＝k＋1，因为n是偶数，k＋1是奇数，
故选B．
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n至少应取为( B )
A．7
B．8
C．9
D．10
[解析] ∵1＋＋＋…＋＝＝2－＝＝
而1＋＋＋…＋>，故应选B．
4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推测，当n>2时，有__f(2n)>__.
[解析] 自变量的取值依次为2,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25，…，故为2n.右边分母全为2，分子依次为3,4,5,6,7，…，故右边为，即f(2n)>.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 用数学归纳法证明等式
典例1 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N
)．
[思路分析] 按照数学归纳法证题的步骤进行证明．
[解析] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N
都成立．
『规律总结』 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形．
┃┃跟踪练习1__■
用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝.(n∈N
)
[解析] (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即有＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＝＋＝，
即当n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)可得，对于任意的n∈N
等式都成立．
命题方向? 用数学归纳法证明不等式
典例2 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2)．
[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[证明] 1°当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
2°假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<
2－＋<2－＋＝2－＋－
＝2－命题成立．
由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．
『规律总结』 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：
(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
┃┃跟踪练习2__■
用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N
)．
[解析] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N
)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋<2＋
＝<
＝＝2.
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N
都成立．
命题方向? 用数学归纳法证明整除问题
典例3 用数学归纳法证明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N
，a∈R.
[思路分析] 证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．
[证明] (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)、(2)知，对一切n∈N
，命题都成立．
『规律总结』 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．
利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式产生因式p.
例如本题中，在推证n＝k＋1命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)为多项式)，
所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，
所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1
＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1
＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]
＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1
＝(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，
显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立．
┃┃跟踪练习3__■
求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
[证明] (1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．
(2)假设当n＝2k－1(k∈N
)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，
∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)，
又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1.
由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
学科核心素养 归纳——猜想——证明
由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值，根据前几项的特点，猜想出数列{an}的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．
典例4 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a1，a2；
(2)求{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
[解析] (1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0，
有一根S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0，有一根S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.
(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即S－2Sn＋1－anSn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(
)
由(1)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由(
)可得S3＝.
由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
①n＝1时，已知结论成立．
②假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由(
)得Sk＋1＝，即Sk＋1＝.
故n＝k＋1时结论也成立．
由①②可知Sn＝对所有正整数n都成立．
『规律总结』 数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题．解题一般分三步进行：
(1)验证P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，…；
(2)提出猜想；
(3)用数学归纳法证明．
┃┃跟踪练习4__■
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a＋2an＝4Sn.
(1)计算a1，a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论．
[解析] (1)
当n＝1时，a＋2a1＝4S1，即a＋2a1＝4a1，即a－2a1＝0，解得a1＝2(a1＝0舍去)；
当n＝2时，a＋2a2＝4S2，即a＋2a2＝4(2＋a2)，
即a－2a2－8＝0，解得a2＝4(a2＝－2舍去)；
当n＝3时，a＋2a3＝4S3，即a＋2a3＝4(2＋4＋a3)，即a－2a3－24＝0，解得a3＝6(a3＝－4舍去)；
当n＝4时，a＋2a4＝4S4，即a＋2a4＝4(2＋4＋6＋a4)，即a－2a4－48＝0，解得a4＝8(a4＝－6舍去)．
由以上结果猜想数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)下面用数学归纳法证明{an}的通项公式为
an＝2n.
①当n＝1时，a1＝2，由(1)知，结论成立．
②假设当n＝k(k∈N
)时，结论成立，即ak＝2k，
这时有a＋2ak＝4Sk，即Sk＝k2＋k.
则当n＝k＋1时，a＋2ak＋1＝4Sk＋1，
即a＋2ak＋1＝4(Sk＋ak＋1)，
所以a－2ak＋1＝4k2＋4k，
解得ak＋1＝2k＋2＝2(k＋1)(ak＋1＝－2k舍去)．
故当n＝k＋1时，结论也成立．
由(1)(2)可知，结论对任意n∈N
都成立．
易混易错警示 未用归纳假设而致误
典例5 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N
)．
[错解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2(2k－1)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N
都成立．
[辨析] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N
都成立．
[点评] 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
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-第2章
章末整合提升
网络构建·理脉络
推理与证明
专题突破·启智能
专题?
合情推理与演绎推理
1．合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法．合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向．归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2．演绎推理
演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“三段论”是演绎推理的一般模式．
3．近几年高考对推理的考查：
(1)以选择题、填空题的形式考查合情推理；
(2)以选择题或解答题的形式考查演绎推理；
(3)题目难度不大，多以中低档题为主．
典例1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( C )
A．289
B．1
024
C．1
225
D．1
378
[解析] 图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
图2中满足bn＝n2，
一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；
一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方．
∵1
225＝352＝，∴选C．
『规律方法』 解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类公式．
典例2 在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是__S2＝S＋S＋S__.
[解析] 类比如下：
正方形?正方体；截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方?三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.
证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，连接OF，
∵LO⊥OM，LO⊥ON，OM∩ON＝0，
∴LO⊥平面MON，
∵MN?平面MON，
∴LO⊥MN，
∵OE⊥MN，OE∩LO＝0，
∴MN⊥平面OFL，∴S△OMN＝MN·OF，S△MNE＝MN·FE，S△MNL＝MN·LF，OF2＝FE·FL，∴S＝(MN·OF)2＝(MN·FE)·(MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理S＝S△MLE·S△MNL，S＝S△NLE·S△MNL，∴S＋S＋S＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝S，即S＋S＋S＝S2.
『规律方法』 类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论．通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积．
专题? 直接证明
综合法与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的直接证明方法．综合法常用于由已知推论较易找到思路时；分析法常用于条件复杂、思考方向不明确且用综合法较难证明时．单纯应用分析法证明并不多见，常常是用分析法寻找思路，用综合法表述过程．因此在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主．
典例3 设a，b，c为三角形三边，面积S＝(a＋b＋c)，且S2＝2ab，试证：S<2a.
[解析] (分析法)要证S<2a，由于S2＝2ab，即2a＝，所以只需证S<，即证b(综合法)因为a，b，c为三角形三边，所以a＋c>b，所以a＋b＋c>2b，
又因为S＝(a＋b＋c)，即a＋b＋c＝2S，所以2S>2b，所以S·S>b·S，由于S2＝2ab，所以2ab>bS，即2a>S，所以原命题得证．
(反证法)假设S<2a不成立，即S≥2a成立，所以S2≥2aS，因为S2＝2ab，所以2ab≥2aS，所以2b≥2S，而S＝(a＋b＋c)，即2S＝a＋b＋c，所以2b≥a＋b＋c，所以b≥a＋c，因为a，b，c为三角形三边，上式与三角形性质定理矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
专题? 用反证法证题
反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字样的命题时，正面证明往往较难，此时可考虑反证法，即“正难则反”．
典例4 设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式．
(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．
[解析] (1)分两种情况讨论．
①当q＝1时，数列{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1.
②当q≠1时，Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an?qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan.
上面两式错位相减：
(1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋…＋(an－qan－1)－qan＝a1－qan
?Sn＝＝.
综上，Sn＝
(2)使用反证法．
设{an}是公比q≠1的等比数列，假设数列{an＋1}是等比数列，则
(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即(a1q＋1)2
＝(a1＋1)(a1q2＋1)，
整理得a1(q－1)2＝0得a1＝0或q＝1均与题设矛盾，故数列{an＋1}不是等比数列．
『规律方法』 用反证法证明问题时要注意以下三点
(1)必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，都不是反证法．
(2)反证法必须从否定结论进行推证，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
专题? 用数学归纳法解题
数学归纳法是一种证明方法，可以证明与正整数有关的命题，如恒等式、不等式、几何问题以及整除问题等．高考数学归纳法的考查，一般以数列为背景，涉及等式、不等式等问题，归纳—猜想—证明是解决此问题的通法．
典例5 已知点的序列An(xn,0)，n∈N
，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，…
(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；
(2)设an＝xn＋1－xn.计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．
[解析] (1)当n≥3时，xn＝.
(2)a1＝x2－x1＝a，
a2＝x3－x2＝－x2＝－(x2－x1)＝－a，
a3＝x4－x3＝－x3＝－(x3－x2)＝a，
由此推测an＝(－)n－1a(n∈N
)．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－)0a，猜想成立．
②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝(－)k－1a成立．那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝－(xk＋1－xk)＝－ak＝－(－)k－1a＝(－)(k＋1)－1a，猜想仍成立，根据①和②可知，对任意n∈N
，通项公式an＝(－)n－1a成立．
『规律方法』 由已知求出数列的前n项，提出猜想，然后再用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak＋1或Sk与Sk＋1之间的关系，从而为数学归纳法的实施做了必要的准备．
专题? 转化与化归思想
转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．
典例6 设f(x)＝，g(x)＝，其中a>0且a≠1.
(1)请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)从(1)中的解能获得什么结论？能否将其推广？
[思路分析] 先将g(5)用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)表示出来，再推广到一般情况．
[解析] (1)因为f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝·＋·＝，
g(5)＝，
所以g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
推广g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．证明如下：
因为f(x)＝，g(x)＝，所以g(y)＝，f(y)＝，
g(x＋y)＝，
所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋·＝＝g(x＋y)．
『规律方法』 (1)归纳推理是从特殊到一般，从部分到整体的推理，在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．
(2)归纳推理得到的结论未必正确，还需检验和证明，有时要用到三段论．
专题? 分类讨论思想
分类讨论思想在本章的证明问题中，无论是直接法还是间接法，都有所体现．如用反证法证明命题时，若结论的反面情况不唯一时，则必须采用分类讨论的方法对反面情况逐一否定，才能使问题得以证明．
典例7 已知平面上有四个点A，B，C，D，任何三点都不共线，求证：以每三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路分析] 分别对第四个顶点在前三个顶点确定的三角形内、外两种情形进行讨论．
[解析] 假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，考虑点D在△ABC内、外两种情形．
①如图(1)所示，点D在△ABC内．
根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，
从而得∠ADC＋∠ADB＋∠BDC<270°.
这与一个周角等于360°矛盾．
②如图(2)所示，点D在△ABC外．
根据假设，在△ABD中，∠BAD<90°，
在△ABC中，∠ABC<90°，
在△BCD中，∠BCD<90°，
在△ADC中，∠ADC<90°，
从而有∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB<360°.
这与四边形ABCD的内角和为360°矛盾．
综合①②可知，假设不成立，故原结论成立．
『规律方法』 利用反证法证明时，若否定结论后出现多种情况，则需要分类讨论，记得最后下结论时，说明上述情况均矛盾，故假设不成立，原结论成立．
即时巩固
一、选择题
1．异面直线在同一平面内的射影不可能是( D )
A．两条平行直线
B．两条相交直线
C．一点与一直线
D．同一条直线
[解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，故异面直线在同一平面内的射影不可能为同一条直线．故应选D．
2．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证明如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因为x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( A )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．以上都不是
[解析] 由题意知，证明过程是执因索果，是综合法．
3．(2019·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 如图三棱锥P－ABC，PA，PB，PC两两垂直，
P在底面的射影为H，
设PA＝a，PB＝b，PC＝c，
可得S1＝ab，S2＝bc，S3＝ca，
可得abc＝2，
由题意可得底面积为，
由等积法可得×abc＝PH·，
可得PH＝＝，
故选C．
二、填空题
4．根据下面一组等式
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，
…
可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝__n4__.
[解析] 根据所给等式组，不难看出：S1＝1＝14；
S1＋S3＝1＋15＝16＝24；
S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34，
S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，
由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
5．(2020·红旗区校级月考)比较大小：＋__＞__
＋.(用“＞”或“＜”填空)
[解析] ∵(＋)2＝3＋5＋2
＝8＋2
，
(＋)2＝2＋6＋2＝8＋2，
又∵＜，＋＞0，＋＞0，
∴＋＜＋，
故答案为＞.
三、解答题
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
[解析] (1)a2＝＝.
又因为a1＝，则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，
…，
猜得an＝.
以数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，由(1)可知等式成立；
(2)假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，
那么，当n＝k＋1时，由题设an＝得ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，
所以ak＋1＝
＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由(1)、(2)可知命题对于任何n∈N＋都成立．
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