课时分层作业(九) 向量平行的坐标表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－4，－8)
B．(－8，－16)
C．(4，8)
D．(8，16)
A [∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，
∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)
＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．]
2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线，且方向相同，则实数x＝( )
A．1 B．
C． D．
C [设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx，2λ)，所以有解得或
又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.]
3．已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [∵＝＋＋＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.]
4．已知点A，B，则与向量方向相反的单位向量是( )
A．
B．
C．
D．
D [∵A，B，∴＝，则＝＝5，
因此，与向量方向相反的单位向量是－＝－＝.故选D．]
5．若a＝(2cos
α，1)，b＝(sin
α，1)，且a∥b，则tan
α＝( )
A．1 B．
C．2 D．
C [∵a∥b，∴2cos
α＝sin
α，∴tan
α＝2.]
二、填空题
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
[设B(x，y)，则由题意可知
∴∴＝(4，6)．
又∥a，∴4λ＝6，∴λ＝.]
7．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
m≠ [若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
即与不共线．
∵＝－＝(3，1)，
＝－＝(2－m，1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠.]
8．已知两点M(7，8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
[设P(x，y)，如图，
∴＝3，
∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴解得]
三、解答题
9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴
解得m＝.
10．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
[解] 设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4，4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，
解之得λ＝，∴＝＝，
∴P的坐标为.
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
B [v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.]
2.
(多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2
B．
C．1
D．－1
ABD [各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．]
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，且(a＋λb)∥c，则λ等于________．
[a＋λb＝(1，2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，
因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝.]
4．设a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，∴a＝(x－1)2－1≥－1.]
5．已知向量a＝，b＝.
(1)若a∥b，求的值；
(2)若a⊥，求实数k的值；
(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
[解] (1)因为向量a＝，b＝，且a∥b，
所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，
所以＝＝3.
(2)因为a＋2b＝，且a⊥，
所以1×＋2×＝0，解得k＝.
(3)因为a与b的夹角是钝角，则a·2b＜0且a与b不共线．
即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6.
5/5
