课时分层作业(十) 向量应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
C [＝(1，1)，＝(－3，3)，·＝0，
即⊥，故△ABC为直角三角形．]
2．河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
B [由题意知|v水|＝2
m/s，|v船|＝10
m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2(m/s)．]
3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10
N，则每根绳子的拉力大小是( )
A．5
N
B．8
N
C．10
N
D．12
N
C [因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10
N．]
4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
D [由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．]
5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，则B的坐标为( )
A．(2，－1)
B．(0，－1)
C．(2，3)
D．(0，－1)或(2，3)
D [设B的坐标为(x，y)，
则＝(x－1，y－1)，又＝(2，－1)．
由题意知||＝||，且·＝0，
∴
解得或]
二、填空题
6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·＝________.
1 [设BC的中点是D，如图所示，则＋＝2，则＝，
所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，
所以∠BAC＝90°.
又||＝||，
则||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°，
所以·＝||||cos
60°＝1×2×＝1.]
7．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，则对角线AC的长为________．
[∵＝＋，
∴2＝2＋2＋2·，
①
又＝－，
∴2＝2＋2－2·，
②
∴①＋②得2＋2＝2(2＋2)．
又AD＝1，AB＝2，BD＝2，
∴AC＝.]
8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F
|，若|
F
|＝|G|，则θ的值为________．
120° [如图，|
F
1|＝|
F
2|＝.
∵|
F
1|＝|
F
2|＝|G|，∴2cos
＝1，
∴θ＝120°.]
三、解答题
9．如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF
⊥BC，垂足分别为E，F
，连接DP，EF
.求证：DP⊥EF
.
[证明] 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0
则EP＝AE＝a，PF
＝EB＝1－a，
AP＝a.于是·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝1×a×cos
180°＋1×(1－a)×cos
90°＋a×a×cos
45°＋a×(1－a)×cos
45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
所以⊥，所以DP⊥EF.
10．已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1，2)，点C在第二象限，＝(2，2)，且与的夹角为，·＝2.
(1)求点D的坐标；
(2)当m为何值时，＋m与垂直．
[解] (1)设C(x，y)，D(a，b)，则＝(x＋1，y－2)．
∵与的夹角为，·＝2，
∴＝＝，
化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①
又·＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.②
联立①②解得或
又点C在第二象限，∴C(－1，3)．又＝，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)，
解得a＝－3，b＝1.∴D(－3，1)．
(2)由(1)可知＝(0，1)，∴＋m＝(2m，2m＋1)，＝－＝(－2，－1)．
∵＋m与垂直，
∴(＋m)·＝－4m－(2m＋1)＝0，解得m＝－.
1．在四边形ABCD中，若＝，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状是( )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
C [＝，∴∥，且||＝||，
∴四边形ABCD是平行四边形，
|＋|＝||，|－|＝||，
∴||＝||，∴平行四边形是矩形．]
2．已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则·的最小值为( )
A．－4
B．－25
C．－9
D．－16
D [以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设点H(x，y)，则B(－5，0)，C(5，0)，
所以＝(－5－x，－y)，＝(5－x，－y)，
则·＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2＋y2－25，
又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点，所以9≤x2＋y2≤25，
其中当取AB的中点时取得最小值，所以·＝9－25＝－16，故选D．]
3．如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是( )
图1 图2
A．[－4，4]
B．[－，]
C．[－5，5]
D．[－6，6]
C [如图建立平面直角坐标系，
令正三角形边长为3，则＝i，＝－i＋j，可得i＝，j＝＋，
由图知当点P在点C时，有＝j＝2＋3，此时x＋y有最大值5，
同理当点P在与C相对的下顶点时有＝－j＝－2－3，
此时x＋y有最小值－5.故选C．]
4．已知△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，·＝6，·＝，则·的值为________．
[以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设D，则＝，
∵AB＝AC＝3，记∠BAC＝θ，
∴A，B，C(3cos
θ，3sin
θ)，
则＝，＝(3cos
θ，3sin
θ)，
∵·＝6，·＝，∴3x＝6，3xcos
θ＋3ysin
θ＝，∴x＝2，2cos
θ＋ysin
θ＝，
又D为边BC上一点，∴∥，则y＋3sin
θ＝0，即sin
θ＝y，
又θ∈，∴y＝，
∴2cos
θ＋＝2cos
θ＋1＋cos
θ＝，解得cos
θ＝，
∴·＝9cos
θ＝.]
5．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，D是线段BC上一点，且＝，f
为线段AB上一点．
(1)设＝a，＝b，设＝xa＋yb，求x－y；
(2)求·的取值范围；
(3)若F
为线段AB的中点，直线CF
与AD相交于点M，求·.
[解] (1)∵＝＋＝＋＝＋＝a＋b，
而＝xa＋yb∴x＝，y＝∴x－y＝.
(2)∵在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，
∴∠CAB＝，BC＝，
∴·＝·＝·＋·，①
不妨设||＝x，x∈.
∴①式＝1×x×cos－x2＝－x2＋x，x∈，
∴·∈.
(3)∵f
为线段AB的中点，∴＝＋＝＋，
不妨设＝λ，∴＝＋，
∴＝－＝＋，＝－.
∵A，M，D三点共线．，
∴＝μ，即＋＝μ，
∴
∴λ＝∴＝＋.
∴·＝·＝2－2＝.
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